Álgebra Lineal Mora (171)

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Álgebra lineal
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Ejercicio 6.3.3. Sea A � 
2 0 0
a �1 0
c b �1
 1. Determine condiciones necesarias y sufi cientes para que A sea diagonalizable y la 
forma canónica de Jordan de A.
 2. Si A no es diagonalizable, encuentre su forma canónica de Jordan.
6.4. Matrices reales con valores 
característicos no reales
Bajo la fuerte hipótesis que el polinomio mínimo de un operador se factorice comple-
tamente, en la sección anterior presentamos una discusión general sobre la represen-
tación de un operador mediante una matriz diagonal por bloques. Gracias al teorema 
fundamental del álgebra, esta hipótesis se tiene si el espacio vectorial es complejo. 
Entonces surge una pregunta, ¿qué es lo mejor que se tiene en el caso de espacios vec-
toriales reales? Sabemos, por el teorema 6.2.1, que si el polinomio mínimo tiene raíces 
diferentes, el operador es diagonalizable, sin embargo, en el caso complejo la matriz 
que diagonaliza, así como la matriz diagonal, no son reales. En esta sección demos-
traremos que el operador puede ser representado por una matriz diagonal por blo-
ques reales de órdenes uno o dos. Los bloques de orden dos son matrices similares a 
una rotación seguida de una homotecia. El caso general lleva a lo que en algunos textos 
le llaman la Forma Canónica de Jordan Real.
6.4.1. Matrices 2 × 2
Iniciamos con el caso de matrices 2 � 2 que no tienen valores característicos reales.
Sea:
B � 
a b
c d
una matriz cuyo polinomio mínimo no tiene raíces reales; mostraremos que B es si-
milar a una de la forma:
A � 
m �n
n m
, con n � 0
Por lo observado antes, iniciamos la discusión considerando este tipo de matrices.
Dada la matriz A, pongamos λ� 	m n2 2 λ: y
R � 
m
λ 
�n
λ
n
λ 
m
λ
Haciendo sen (θ)� n
λ
 y cos(θ)� m
λ
, se tiene que R es la matriz de una rotación,
ecuación 4.7, página 101.
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.4. Matrices reales con valores característicos no reales
	6.4.1. Matrices 2 × 2