Álgebra Lineal Mora (172)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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De esto se concluye que A es el producto de la homotecia λI y la rotación R, como 
lo muestra la ecuación:
A � 
m �n
n m
 � 
λ 0
0 λ
 
m
λ 
�n
λ
n
λ 
m
λ
 
En términos geométricos, el efecto de aplicar A a un vector X se ilustra en la fi -
gura 6.1.
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
AX
X�
Figura 6.1. Rotación y homotecia 
del vector 
r
x bajo la acción de A.
Resumiendo, dada la matriz:
A � 
m �n
n m 
, con n � 0,
la acción de A en un vector X es rotarlo un ángulo θ � tg�1 n
m
 y magnifi carlo un fac-
tor λ� 	m n2 2 .
Otro aspecto, que es de importancia notar acerca de la matriz A, es la existencia 
de su inversa, condición que se obtiene de la hipótesis sobre n.
Con A como en la discusión anterior, pongamos P � 
1 m
0 n 
, cuya inversa es 
P�1 � 
1
n
 
n �m
0 1 
. De esto se obtiene:
P�1 AP � 
1
n
n �m
0 1 
 
m �n
n m 
1 m
0 n 
 � 
0 �n2 �m2
1 2m
 (6.12)
Sea:
B � 
a b
c d 
tal que su polinomio mínimo no tiene raíces reales. Esta hipótesis y el resultado 
B 
 
1
0 
� 
a
c 
muestran que los vectores 
1
0 
y 
a
c 
son linealmente independientes, por
lo que la matriz:
P1 � 
1 a
0 c
 
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