Álgebra Lineal Mora (173)

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Álgebra lineal
158
es no singular con inversa:
P1
�1 � 
1
c
 
c �a
0 1
Haciendo los cálculos indicados se tiene:
P1
�1BP1�
1
c
 
c �a
0 1 
a b
c d 
1 a
0 c 
� 
0 bc �ad
1 a	d
Notemos que la matriz de la derecha es de la forma dada en la ecuación 6.12. 
Tomado esto como referencia concluimos:
1 �n2 �m2
0 2m
 � 
1 bc �ad
0 a	d
 ⇔ m � 
a	d
2
 y �n2 � m2 � bc � ad
sustituyendo en esta última ecuación el valor de m y simplifi cando obtenemos 
n2 � 
�(a�d)2�4bc
4
.
Por otro lado, la hipótesis sobre B es equivalente a que el discriminante de su po-
linomio mínimo sea negativo. Se encuentra que el polinomio mínimo de B es m(x) � 
x2 � (a 	 d)x 	 ad � bc, por lo que B no tiene valores característicos reales ⇔
(a � d)2 	 4bc � 0 (6.13)
Esta última condición garantiza que n
a d bc
�
� � �( )2 4
2
 es real.
Defi niendo P � 
1 m
0 n 
se tiene:
 
 PP1
�1BP1P 
�1� 
m �n
n m 
(6.14)
probando que B es similar a la matriz A tratada al inicio y ésta a su vez es similar a una 
rotación seguida de una homotecia, en resumen, hemos probado el siguiente teorema.
Teorema 6.4 1. Toda matriz real 2 � 2 con valores característicos no reales es simi-
lar a una de la forma 
m �n
n m
, con n � 0.
6.4.2. Matrices reales con valores 
 característicos diferentes
Sea A una matriz real n � n, supongamos que λ ∈ C es un valor característico de A, en-
tonces existe un X ∈ Cn \ {0}, tal que AX � λX. Defi niendo el conjugado de una matriz, 
entrada por entrada y, denotando el conjugado de A por A , y tomando en cuenta que 
A tiene entradas reales, se tiene AX � AX , por otro lado, AX � λX � λ X , concluyendo 
que AX � λ X , es decir, λ tiene asociado al vector característico X .
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.4. Matrices reales con valores característicos no reales
	6.4.2. Matrices reales con valores característicos diferentes