Álgebra Lineal Mora (174)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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Con esto hemos preparado el siguiente teorema:
Teorema 6.4.2. Sea T : Rn → Rn un operador. Supongamos que el polinomio caracte-
rístico de T, f(x), tiene raíces de multiplicidad uno. Entonces existe una base de Rn respecto 
de la que T se representa por una matriz de la forma:
D �
 
λ1 0 · · · 0 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0 0 · · · 0
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0 0 · · · λ1 0 · · · 0
0 0 · · · 0 D1 · · · 0
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0 0 · · · 0 0 · · · Dr
 (6.15)
en donde λ1, ..., λl son las raíces reales de f(x) y Dj � 
mj �nj
nj mj
 , con mj, nj ∈ R para todo 
j � 1, 2, ...., r.
Demostración. Aplicando el teorema fundamental del álgebra, podemos suponer 
que f(x) � (x � λ1)(x � λ2) · · · (x � λl)(x � μ1)(x � μ
–
1)(x � μ2)(x � μ
–
2) · · · (x � μr)(x � μ
–
r), 
con λj ∈ R y μj ∈C \ R. Sean X1, ..., Xl, Y1Y1, ..., Yr, Yr , vectores característicos correspon-
dientes a los valores característicos. Note que Xk ∈ R
n para todo k � 1, 2, ..., l y Yt ∈ C
n 
para todo t � 1, 2, ..., r.
Para j � 1, 2, ..., r defi namos Z2j�1 � 
1
2
(Yj � Yj ) y Z2j � 
i
2
(Yj � Yj ).
Se tiene que {X1, ..., Xl, Z1, Z2, ..., Z2r – 1, Z2r} es una base de R
n (demuéstrelo); inci-
dentalmente note que n � 2r 	 l.
También se tiene T(Xk) � λkXk para k � 1, 2, ..., l,
T(Z2j�1) � T(
1
2
(Yj � Yj ))
� 
1
2
T(Yj 	 TYj ))
� 
1
2
(μjYj 	 μ
–Yj )
� 
1
2
[(mj 	 inj)Yj 	 (mj � inj)Yj ]
� 
1
2
[mj(Yj 	 Yj ) 	 inj(Yj 	 Yj )]
� mjZ2j �1 � njZ2j
para j � 1, 2, ..., r. Un cálculo como el anterior muestra que T(Z2j) � njZ2j � 1 	 mjZ2j.
Poniendo Dj � 
mj �nj
nj mj
 y usando la defi nición de matriz asociada a una trans-
formación en una base se tiene la conclusión del teorema.
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