Álgebra Lineal Mora (176)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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ral” más lo que aumenta gracias a las presas. Este aumento está representado por 
bykxk.
5
En la ecuación 6.19 se tiene que sin depredadores, la población aumenta a tasa 
constante, mientras que con la presencia de depredadores el cambio neto es lo que 
aumenta sin depredadores, menos dxkyk que se debe a la interacción de los depreda-
dores sobre las presas.
Note que el sistema representado por las ecuaciones 6.18 y 6.19 no es lineal. Para 
aplicar los métodos lineales introduciremos una hipótesis adicional, supondremos que 
las ecuaciones se transforman a:
xk 	 1 � �axk 	 byk (6.20)
yk 	 1 � cyk � dxk (6.21)
con interpretaciones como sigue:
La ecuación 6.20 se interpreta diciendo que el cambio neto en la población de 
depredadores se debe a los que mueren naturalmente, más una cantidad proporcional 
a la cantidad de presas que hacen aumentar la población.
De manera análoga, la ecuación 6.21 signifi ca que la cantidad neta de presas es la 
diferencia de los que aumentan naturalmente, menos los que son devorados por los 
depredadores. Esto último se interpreta diciendo que cada depredador consume una 
cantidad constante de presas por unidad de tiempo.
Con estas consideraciones, las ecuaciones 6.20 y 6.21 se pueden representar en for-
ma matricial.
AXk � Xk 	 1 (6.22)
En donde A � 
�a b
�d c
 y Xk � 
xk
yk 
. Suponiendo conocidas las poblaciones al mo-
mento de iniciar la experimentación y llamándolas x0 y y0 se tiene:
X1 � 
�a b
�d c 
x0
y0
X2 � 
�a b
�d c 
x1
y1
� 
�a b
�d c 
�a b
�d c 
x0
y0
� 
�a b
�d c 
2
 
x0
y0
 5 Ley de acción de masas para una población. La tasa de cambio de una población debida a la interacción con otra es 
proporcional al producto de las dos poblaciones.
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