Álgebra Lineal Mora (177)

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Álgebra lineal
162
De manera inductiva se obtiene:
Xk �
�a b
�d �c 
k
 
x0
y0 
(6.23)
Para entender la matriz Ak y su efecto en X0 � 
x0
y0 
, utilizaremos la forma canónica
de Jordan. Para tal fi n, encontraremos sus valores característicos. El polinomio carac-
terístico de A es:
f(x) � 
�a�x b
�d c�x
 � x2 	 (a � c)x � ac 	 bd (6.24)
de esto se tiene que los valores característicos de A son:
x � 
c a a c bd ac� � � �± ( ) ( )2 4
2
� 
c a a c bd� 	 �± ( )2 4
2
Sean λ1 � 
c a a c bd� � 	 �( )2 4
2
 y λ2 � 
c a a c bd� 	 	 �( )2 4
2
 los valores carac-
terísticos de A. Distinguimos los siguientes casos.
 1. Supongamos que λ1 � λ2 � 
c�a
2
 . Si además A fuese diagonalizable, entonces
 existe P no singular tal que P�1AP � λ1I. De esto se concluye que A � λ1I, lo 
cual es imposible debido a que las entradas de A no son cero. De lo anterior se 
tiene que λ1 � λ2 implica que A no es diagonalizable, por lo que su forma ca-
 nónica de Jordan es J � 
λ1 0
l λ1 
y existe una matriz no singular P tal que 
 P�1AP � J, en forma equivalente, A � PJP�1. De esta última ecuación se tiene 
 que Ak � PJkP�1. Por inducción se demuestra que Jk � 
λ1
k 0
k kλ1
1− λ1
k
.
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 6.23 se tiene:
Xk � P 
λ1
k 0
k kλ1
1− λ1
k
 P 
x0
y0
 
Como λ1 � 
c�a
2
 las conclusiones sobre el crecimiento de las poblaciones 
de presas y depredadores dependen sólo de las tasas de crecimiento de cada 
una de las poblaciones, de acuerdo con las ecuaciones 6.20 y 6.21.