Álgebra Lineal Mora (178)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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 2. Supongamos que λ1 � λ2 ∈ R. En este caso A es diagonalizable, es decir, los vec-
tores característicos de A forman una base de R2. Denotemos a los vectores 
característicos de A por V1 y V2, entonces existen escalares reales μ1 y μ2, tales que 
X0 � μ1V1 	 μ2V2. De esta ecuación se tiene:
Xk � A
kX0 � μ1V1 	 μ2V2 (6.25)
Si |λ1| , |λ2| � 1, las dos especies se extinguirán, pues λ1
K y λ2
K se aproximan a 
cero cuando k se aproxima a infi nito. ¿Qué ocurre si |λ1| � |λ2|?
 3. Si los valores característicos son complejos, entonces uno es conjugado del 
otro, por lo que sus módulos son iguales. También se tiene que la matriz A es 
diagonalizable sobre los complejos, es decir, existe una matriz compleja P no 
singular, cuyas columnas son precisamente los vectores característicos de A 
cuando se le considera como matriz compleja. De esto se tiene una ecuación 
análoga a (6.25). De manera más precisa, se tiene la ecuación: X0 � μ1V1 	 μ2V2, 
con μ1, μ2 como números complejos y V1 y V2 vectores característicos comple-
jos asociados a los valores característicos. A partir de esto se tiene:
Xk � A
kX0 � μ1λ1
KV1 	 μ2λ2
KV2 (6.26)
como en el caso real. Ahora, el análisis se hace en términos del módulo de los 
valores característicos.
•�Si |λ1| � 1, los vectores Xk giran en una órbita elíptica, por lo que las especies 
coexisten sin extinción de alguna de ellas. (Explique esto.)
•�Si |λ1| � 1, los vectores Xk se aproximan a cero, es decir, las dos especies se ex-
tinguen.
•�Si |λ1| 
 1, los vectores Xk se “alejan” del origen, es decir, las poblaciones de las 
especies crecen sin cota. Por supuesto, esto es imposible desde el punto de 
vista biológico.
6.5.2. Sistemas dinámicos lineales discretos
Hay muchas situaciones en las que el comportamiento de un “estado” soló depende 
del previo; esto ocurre en la naturaleza, en la sociedad y en muchas otras situaciones.
El siguiente es un caso hipotético de movimiento en las categorías de una asocia-
ción deportiva.
La asociación deportiva “Venados de Pisafl ores” tiene tres categorías: novatos, 
profesionales y masters. Los miembros de la asociación deben permanecer exactamen-
te dos años en cada categoría antes de pasar a la siguiente. No hay penalización por 
abandonar antes de concluir el periodo correspondiente. Los masters deben abando-
nar la asociación al concluir su periodo. La asociación tiene las siguientes reglas: los 
novatos no tienen obligación alguna; mientras que cada profesional está obligado a 
traer una cantidad a de novatos durante los dos años que dura la categoría profesio-
nal; asimismo, cada master está obligado a traer b novatos antes de que emigre. Se 
estima que un porcentaje c de novatos pasará a profesionales, mientras que un por-
centaje d de profesionales pasará a masters. Si al iniciar la asociación se tienen x0, y0 
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.5. Aplicaciones
	6.5.2. Sistemas dinámicos lineales discretos