Álgebra Lineal Mora (179)

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Álgebra lineal
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y z0 novatos, profesionales y masters, respectivamente, ¿cuántos miembros habrá en 
cada categoría al cabo de 2, 4, 6, etcétera, años?
Discusión. Tomaremos periodos bianuales y en el i-ésimo, llamemos xi, yi y zi a 
las cantidades de miembros de la asociación en las categorías novato, profesional y 
master, respectivamente. La cantidad de novatos al concluir el primer periodo es la 
suma de los que incorporaron los profesionales y masters, pues ningún novato per-
manece más de dos años. En símbolos, x1 � ay0 	 bz0. De igual forma, el número de 
profesionales será y1 � cx0 y el de masters será z1 � dy0. Estas tres ecuaciones se pue-
den formular en forma matricial.
X1 � 
x1
y1
z1
 � 
0 a b
c 0 0
0 d 0
 
x0
y0
z0
 (6.27)
De forma análoga, para el siguiente periodo de dos años, los miembros en cada 
categoría están determinados por las cantidades x1, y1 y z1, pues las reglas no han cam-
biado. En forma simbólica:
X2 � 
x2
y2
z2
 � 
0 a b
c 0 0
0 d 0
 
 
x1
y1
z1
 � 
0 a b
c 0 0
0 d 0
2
 
x0
y0
z0 
(6.28)
En general, después de 2k años y aplicando inducción se tiene:
Xk� 
xk
yk
zk
 � 
0 a b
c 0 0
0 d 0
 
 
xk�1
yk�1
zk�1
 � 
0 a b
c 0 0
0 d 0
k
 
x0
y0
z0 
(6.29)
Para estudiar el comportamiento de Xk estudiaremos los valores característicos de 
A � 
0 a b
c 0 0
0 d 0
 . Por medio del algoritmo 6.2.1, página 151, se encuentra que el poli-
nomio mínimo de A es m(x) � x3 � acx � bdc.
Para estudiar la naturaleza de las raíces de m(x) se utilizan las fórmulas de Car-
dano. Una condición necesaria y sufi ciente para que m(x) tenga raíces diferentes es 
que 4a3c � 27b2d2 � 0. Sugerimos al lector, a modo de ejercicio, que use esta condición 
para decidir si A es diagonalizable y partiendo de esto que haga un análisis del com-
portamiento de Xk.
Ejercicio 6.5.1. Generalice la situación del ejemplo anterior a un club con n diferen-
tes categorías, adaptando las reglas de manera que el proceso se pueda describir me-
diante una matriz que generalice a la matriz A del ejemplo.
6.5.3. Sistema de masas acopladas con resortes
Consideremos un sistema de n masas interconectadas mediante resortes, colocadas 
sobre una mesa como se ilustra en la fi gura 6.2. Supondremos que no hay fuerza de 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.5. Aplicaciones
	6.5.3. Sistema de masas acopladas con resortes