Álgebra Lineal Mora (180)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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fricción y que la masa de los resortes es despreciable en comparación con las masas. 
También supondremos que las fuerzas con dirección hacia la izquierda son negativas y 
aquellas cuya dirección es hacia la derecha son positivas.
A manera de ilustración, iniciamos discutiendo el caso n � 2.
m1 m2 mn
k1 k2 k3 kn
Figura 6.2. Masas acopladas 
con resortes.
Antes de iniciar la discusión, acordamos que la segunda derivada de y respecto del 
tiempo la denotaremos por ÿ.
A partir de la segunda ley de Newton y de la ley de Hooke tenemos:
m1ÿ1 � �k1y1 	 k2(y2 � y1) (6.30)
m2ÿ2 � �k2(y2 � y1)
pues en m1 actúan dos fuerzas, mientras que en m2 sólo actúa una.
Desde luego estamos asumiendo que m1 y m2 no son cero, así que el sistema 6.30 
se transforma en:
ÿ1 � �
k1	k2
m1
 y1 	 
k2
m1
y2 (6.31)
ÿ2 � �
k2
m2
 y2 	 
k2
m2
y1
Este sistema se puede representar en forma matricial:
Ÿ = 
�
k1	k2
m1
 
k2
m1
�
k2
m2
 
k2
m2
 
y1
y2
 (6.32)
Para resolver el sistema anterior, procederemos a indicar cómo se resuelve el caso 
general.
Si li es la distancia entre mi y mi	1, en la posición inicial, y li′ es la distancia al ins-
tante t, entonces la deformación del i-ésimo resorte es li′ � li. Tenemos las siguientes 
ecuaciones:
l1 � y1 	 x1 l1′ � x1 	 y2
l2 � y2 	 x2 l2′ � x2 	 y3 (6.33)
· ·
 ·
 
· ·
 ·
ln � 1 � yn � 1 	 xn � 1 ln′ � 1 � xn � 1 	 yn
de las cuales se obtiene:
 li′ � yi	 1 	 li � yi o li′ � li � yi 	 1 � yi (6.34)
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