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Álgebra lineal 166 La masa m1 está bajo la acción de los resortes 1 y 2, por tanto m1ÿ1 � �k1y1 k2(y2 � y1); la masa m2 está bajo la acción de los resorte 2 y 3; la fuerza proveniente del resorte 2 es la opuesta a la que actúa sobre m1, así que m2ÿ2 � �k2(y2 � y1) k3(y3 � y2), en general, para 2 � i � n � 1 tenemos: miÿi � �ki(yi � yi � 1) ki 1(yi 1 � yi) � kiyi � 1 � (ki ki 1) yi ki 1yi 1 Para i � n se tiene mnÿn � �kn(yn � yn� 1). Este sistema puede ser escrito en forma matricial: Ÿ � AY, en donde A es la matriz: � k1 k2 m1 k1 m1 0 0 · · · 0 0 k2 m2 � k2 k3 m2 k3 m2 0 · · · 0 0 0 k3 m3 � k3 k2 m3 k4 m3 · · · 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0 · · · kn mn � kn mn A � Por el corolario 6.3.1, sabemos que existe una matriz compleja no singular P tal que P–1AP � diag{J1, ... Jk} es la forma canónica de Jordan. Estamos suponiendo que el vector: Y � y1(t) · · · yn(t) está en Rn. Dado que P es no singular para cada t, existe Z(t) tal que Y(t) � PZ(t), Z(t) ∈ Cn. Como Y(t) tiene segunda derivada, también Z(t) admite segunda derivada y Ÿ(t) � PZ̈(t). De esto obtenemos AY � Ÿ(t) � PZ̈(t), por lo que APZ � PZ̈(t), concluyendo de lo anterior P–1APZ � JZ � Z̈. Como cada matriz Ji es de la forma Ji � diag{Ji1, ..., Jis(i)} entonces el problema ha sido reducido a resolver el sistema:
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