Álgebra Lineal Mora (182)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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c 0 0 · · · 0 0
1 c 0 · · · 0 0
0 1 c · · · 0 0
· ·
 · 
 
 · ·
 ·
 
 
· ·
 ·
0 0 0 · · · c 0
0 0 0 · · · 1 c 
z1
z2
z3
· ·
 ·
zn�1
zn 
� 
z1
z2
z3
· ·
 ·
zn�1
zn
 (6.35)
el cual es equivalente a
&&z1 � cz1 (6.36)
&&z2 � z1 	 cz2 (6.37)
&&z3 � z2 	cz3 (6.38)
 
· ·
 ·
&&zn � zn – 1 	 czn
y este sistema puede ser resuelto fácilmente resolviendo 6.36, luego 6.37 y así sucesi-
vamente.
Observación 6.5.1. Si A es diagonalizable, el problema es más sencillo; se reduce a 
resolver un sistema en donde cada ecuación es de la forma &&z � cz. El nuevo sistema se 
llama no acoplado.
Observación 6.3.2. La matriz del sistema original se llama tridiagonal y existe toda 
una teoría para estudiar este tipo de matrices.
6.6. Ejercicios
 1. Calcule el polinomio mínimo de las siguientes matrices:
 a) 
1 0 0
0 1 4
0 3 0 
, 
1 0 3
0 1 4
0 3 0
 , 
 1 0 0
 �1 1 0
 0 0 3
 , 
3 �1 �1 �2
1 1 �1 �1
1 0 0 �1
0 �1 �1 1
 b) A � (aij), en donde aij �
1 si j � i 	 1, i � 1, 2, ..., n � 1
0 en otro caso6
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 2. ¿Cómo deben ser las raíces del polinomio mínimo de un operador para que sea 
inversible?
 3. Sea A una matriz n � n, λ un escalar tal que A � λI es no singular. Pongamos 
B � (A � λI)�1. Demuestre que B es diagonalizable ⇔ A lo es. Más aún, A y B 
se diagonalizan simultáneamente. Sugerencia: si {X1, X2, ..., Xn} es una base de 
vectores propios de A, también será una base de vectores propios de B. Para 
probar la implicación recíproca, note que los valores característicos de B son 
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.6. Ejercicios