Álgebra Lineal Mora (183)

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Álgebra lineal
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no cero. Si X es un vector característico de B con valor característico μ, enton-
 ces X es vector característico de A con valor característico 
1 	 λμ
μ .
 4. Sea A una matriz n � n, cuyas entradas son todas iguales a uno. Demuestre que 
los únicos valores característicos de A son n y 0.
 5. Sea A una matriz inversible con polinomio mínimo m(x) � xk 	 ak � 1x
k � 1 	 
⋅ ⋅ ⋅ 	 a1x 	 a0. ¿Cuál es el polinomio mínimo de A
�1? ¿Cómo representa a A�1 
en términos de A? Si A es diagonalizable, ¿qué puede decir al respecto de A�1?
 6. Suponga que la matriz A es diagonalizable. ¿Es Ak diagonalizable para todo en-
tero positivo k? Si Ak es diagonalizable para algún entero positivo k, ¿es A dia-
gonalizable?
 7. Sean, A una matriz diagonalizable con valores característicos λ1, λ2, ..., λn y 
q(x) un polinomio no constante. Defi nimos la matriz B :� q(A). ¿Es diagona-
lizable la matriz B? Si su respuesta es afi rmativa, ¿a cuál matriz diagonal es si-
milar B?
 8. Sea A matriz 6 � 6 con polinomio mínimo x2(x � 3)3. Determine las posibles for-
mas canónicas de Jordan de A.
 9. Sean T y T1 dos operadores en V que conmutan y son diagonalizables. Demues-
tre que existe una base de V en la cual ambos se representan por matrices dia-
gonales.
10. Demuestre que la matriz del ejercicio 1b es similar a su transpuesta. Sugeren-
cia: A puede ser considerada la matriz de un operador T respecto a la base {α1, 
α2, ..., αn}, entonces T(αi) � αi 	 1 para i � 1, 2, ..., n � 1 y T(αn) � 0.
11. Use el ejercicio anterior para demostrar que toda matriz es similar a su trans-
puesta.
12. Sea A una matriz diagonalizable. Demuestre que todos los valores característi-
cos de A son iguales ⇔ A � cI, para algún c.
13. Sea p(x) un polinomio mónico. ¿Existen matrices no similares que tengan a p(x) 
por polinomio mínimo?
14. ¿Existen matrices simétricas reales que tengan por polinomio mínimo a x4 � 1?
15. Sean A y B matrices nilpotentes de orden 3. Demuestre que son similares ⇔ tie-
nen el mismo polinomio mínimo.
16. Si los polinomios mínimo y característico de A son (x � 3)2 y (x � 3)3 respecti-
vamente. Determine las posibles formas canónicas de Jordan de A.
17. Sea g(x) el polinomio en la ecuación 6.4, página 136. Demuestre que g(x) tiene 
grado � n2 y que g(A) � 0, en donde A es la matriz que se usa para construir a 
g(x).
18. Sea p(x) un polinomio con coefi cientes enteros, irreducible y mónico. Si A es 
una matriz n � n cuyo polinomio mínimo es p(x), conteste las siguientes pre-
guntas.
 a) ¿Puede ocurrir que A no tenga entradas enteras?
 b) ¿Es A diagonalizable?
 c) ¿Cuál debe ser el grado de p(x) para que A pueda ser simétrica?
 d) ¿Puede ocurrir que p(x) tenga grado 13?