Álgebra Lineal Mora (186)

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Capítulo 7
171
Espacios con producto interno
Los espacios euclidianos R2 y R3 son los que por lo común utilizamos para representar 
problemas que surgen de situaciones del mundo real macro. Una de las característi-
cas de éstos es lo concerniente a sus propiedades geométricas, las cuales se precisan 
por medio de los conceptos fundamentales de ángulo y distancia. Usando la estructura 
de espacio vectorial, más precisamente el concepto de producto interno en estos es-
pacios, se pueden precisar dichos conceptos, los cuales resultan de gran utilidad en 
muchos problemas que admiten una representación geométrica. Dado que Rn y los 
espacios vectoriales abstractos son una generalización de R2 y R3, es natural pregun-
tarse: ¿qué se requiere para introducir en estos espacios los conceptos que permitan 
defi nir distancia y ángulo? La respuesta se obtiene a través de la formulación del con-
cepto de producto interno.
7.1. Aspectos geométricos de un espacio vectorial
En esta sección defi nimos el concepto de producto interno y demostramos algunos de 
los resultados de gran importancia, tales como el teorema de Pitágoras, la desigualdad 
de Cauchy-Schwarz, entre otros.
Defi nición 7.1.1. Diremos que el espacio vectorial real V es euclidiano si hay defi -
nida una función 〈 , 〉 : V � V → R que satisfaga:
 1. Para todos α, β, ∈ V, 〈α, β〉 � 〈β, α〉.
 2. Para todos α, β, γ ∈V y para todos a, b ∈ R, 〈aα 	 bβ, γ〉 � a〈α, γ〉 	 b〈β, γ〉.
 3. Para todo α ∈ V, 〈α, α〉 � 0, y 〈α, α〉 � 0 solamente si α � 0.
Ejemplo 7.1.1. Sea V el espacio de las matrices n � n. Defi nimos en V � V la función 
〈 , 〉 determinada por la ecuación: 〈A, B〉 :� tr(ABt). Mostraremos que esta función hace 
de V un espacio euclidiano.
Usando la defi nición de transpuesta de una matriz, es directo demostrar que la 
función propuesta satisface las dos primeras propiedades de la defi nición 7.1.1, por lo 
que justifi caremos sólo la tercera. Si A tiene entradas aij y C denota la matriz AA
t, en-
tonces la entrada cii de C se obtiene mu1tip1icando la fi la i-ésima de A por la columna 
i-ésima de At, es decir, cii � a a ai i in1
2
2
2 2	 	 	··· , entonces:
A A AA at ij
i j
n
, ( )
,
� � �
�
tr 2
1
0∑
por lo que 〈A, A〉 � 0 ⇔ cada aij � 0.
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