Álgebra Lineal Mora (187)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
172
Ejemplo 7.1.2. Sea V el espacio de las funciones continuas en el intervalo [0, 1]. De-
fi niendo en V � V la función, 〈 , 〉 dada por f g f g, �
0
1
∫ , mostraremos que V es un es-
pacio euclidiano.
Como en el ejemplo anterior, la propiedad que requiere ser verifi cada es la tercera, 
es decir, se debe justifi car que f f f, � �2
0
1
0∫ , con igualdad ⇔ f � 0. Un resultado de 
cálculo garantiza que si una función es continua en x0 y f(x0) 
 0, entonces f(x) 
 0 para 
todo x en un intervalo con centro en x0. Usando esto y el hecho que si c es un real entre 
a y b entonces f f f
a
b
a
c
c
b∫ ∫ ∫� 	 , se concluye que f f f, � 20
1∫ � 0 ⇔ f � 0.
Defi nición 7.1.2. Sea V un espacio euclidiano:
 1. Dados α, β ∈ V, diremos que son ortogonales si 〈α, β〉 � 0.
 2. Dado α ∈ V, defi nimos ��α ��:� � �,
 
y le llamamos la norma de α.
Observación 7.1.1. Si a es un escalar, entonces ��aα�� � �a � ��α��.
Demostración. Por defi nición, ��aα ��:� a a a� � � � �, ,2
 
� �α � � �, .
Teorema 7.1.1 (Teorema de Pitágoras). Sea V un espacio euclidiano, α, β ∈ V. En-
tonces α es ortogonal a β ⇔ ��α 	 β��2 � ��α��2 	 ��β��2.
El aspecto geométrico de este teorema se ilustra en la fi gura 7.1.
Demostración. De la defi nición de norma de un vector se tiene: ��α 	 β��2 � 〈α 	 β, 
α 	 β〉 � ��α��2 	 2〈α, β〉 	 ��β ��2. Por defi nición, α es ortogonal a β ⇔ 〈α, β〉 � 0. La con-
clusión se tiene de esto.
Teorema 7.1.2. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si V es un espacio euclidiano, y 
α, β ∈ V, entonces �〈α, β〉� � ��α�� ��β��. Con igualdad ⇔ α y β son linealmente dependientes.
�	�
�
�Figura 7.1. Teorema de Pitágoras.
Demostración. Dados α, β ∈ V fi jos y cualquier x ∈ R se tiene que:
 f(x) :� 〈α 	 xβ, α 	 xβ〉 � ��α��2 	 2��〈α, β〉x 	 ��β��2x 2 (7.1)
defi ne una función cuadrática no negativa para todo x ∈ R, por lo que su discrimi-
nante d, satisface d :� 4〈α, β〉2 � 4��α��2 ��β��2 � 0, y tiene un cero doble ⇔ d � 0. En forma 
equivalente, esto último ocurre ⇔ 4〈α, β〉2 � 4��α��2��β��2 � 0 y esto a su vez ocurre ⇔ �〈α, 
β〉� � ��α�� ��β��. Entonces f(x) � 〈α 	 xβ, α 	 xβ〉 � 0 ⇔ α 	 xβ � 0 ⇔ �〈α, β〉� � ��α�� ��β��. 
De un argumento como el anterior se tiene f(x) � 〈α 	 xβ, α 	 xβ〉 
 0 ⇔ 4〈α, β〉2 � 
4��α��2��β��2 � 0, es decir, α y β son linealmente independientes ⇔ �〈α, β〉� � ��α�� ��β��.