Álgebra Lineal Mora (188)

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Capítulo 7. Espacios con producto interno
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Otra demostración. La idea de esta demostración se ilustra en la fi gura 7.2. Por la 
defi nición 3.3.4, página 96, sabemos que �� 	
�
u
, β
� ��2
β , con u y 
�, β
� ��2
β ortogonales. 
Aplicando el teorema de Pitágoras y la observación 7.1.1 se tiene:
�� �� �� ��
�� �� �� �� �
� � 	
�
�
�
�
�
2 2
2
2
2
2 2
u
, , ,β
β
β
β
β
β
β
�� ��
�� ��
�� ��β
β
β
β4
2
2
2
�
�,
Por lo que �� ��
�� ��
� �
�
2
2
2
, β
β
, y de esto la conclusión se obtiene tomando raíz cuadrada 
y pasando el denominador al primer miembro de la desigualdad.
Nótese que hay igualdad ⇔ u � 0, y esto ocurre ⇔ α coincide con su proyección 
sobre β, es decir, α y β son linealmente dependientes.
La ventaja de la segunda demostración es que no utiliza las propiedades de orden 
en los números reales, por lo que se puede aplicar a espacios vectoriales complejos con 
producto interno. 
Teorema 7.1.3. (Desigualdad del triángulo). Sea V un espacio euclidiano, α, β ∈ V. 
Entonces ��α 	 β�� ≤ ��α�� 	 ��β��.
Demostración. Se tiene ��α 	 β��2 � 〈α 	 β, α 	 β〉 � ��α��2 	 2〈α, β〉 	 ��β��2 ≤ ��α��2 	 
2�〈α, β〉� 	 ��β��2. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la expresión de la dere-
cha se tiene:
��α 	 β��2 � ��α��2 	 2��α�� ��β�� 	 ��β��2 � (��α�� 	 ��β��)2
La conclusión se obtiene tomando raíz cuadrada en esta desigualdad.
Defi nición 7.1.3. Sea V un espacio euclidiano. Un subconjunto S de V se dice orto-
normal si 〈α, β〉 � 0 para todos α, β ∈ S, con α ≠ β y 〈α, α〉 �1 para todo α ∈ S. Cuando 
S es base de V, se dice que S es base ortonormal.
Teorema 7.1.4. (Proceso de Gram-Schmidt). Todo espacio euclidiano de dimen-
sión fi nita admite una base ortonormal.
Demostración. Sea V un espacio euclidiano de dimensión fi nita; procederemos a 
demostrar el teorema por inducción sobre la dimensión de V. Denotemos a la dimen-
sión de V por n. Si n � 1 y α es un generador de V, el elemento 
�
��� tiene norma 1.
Para ilustrar la construcción de la base, discutiremos con detalle el caso n � 2.
�
��, �
�
||�||2
�
u
Figura 7.2. Proyección ortogonal 
de un vector sobre otro.