Álgebra Lineal Mora (189)

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Álgebra lineal
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Supongamos que {α1, α2} es una base de V, defi namos β1 � 
�1
��α1��
 de esto se tiene 
que {β1, α2} es una base. Deseamos construir β2 ≠ 0 de forma que 〈β1, β2〉 � 0, para esto 
iniciamos construyendo un elemento γ2 ≠ 0, que sea ortogonal a β1, normalizándolo 
obtendremos el elemento buscado. Proponemos γ2 � b2α2 	 b1β1; claramente podemos 
suponer que b2 � 1. De la condición 〈γ2, β1〉 � 0, se tiene 0 � 〈α2 	 b1β1, β1〉 � 〈α2, β1〉 	 
b1〈β1, β1〉. Como β1 tiene norma 1, entonces b1 � �〈α2, β1〉. Por construcción, γ2 � α2 � 
〈α2, β1〉β1 es ortogonal a β1. Defi niendo β2
2
2
�
�
��� ��
 se tiene que {β1, β2} es la base deseada.
Supongamos que n > 2 y que se han construido β1, β2, ..., β r elementos ortonormales 
que generan el mismo subespacio que α1, α2, ..., α r, entonces {β1, β2, ..., β r, α r	1} genera 
el mismo subespacio que {α1, α2, ..., α r, α r	1}. Construiremos un elemento βr	1 tal que 
〈β r	1, βi〉 � 0, para todo i � 1, 2, ..., r y de forma que el conjunto {β1, β2, ..., β r, β r	1} ge-
nere el mismo subespacio que {α1, α2, ..., α r, α r	1}.
Si γ r	1 es un elemento en el subespacio generado por {β1, β2, ..., β r, α r	1}, enton-
ces γr	1� br	1αr	1 	 brβ r 	 · · · 	 b1β1. Podemos suponer que br+1 � 1, adicionalmente, si 
〈γr	1, βi〉 � 0 para todo i, entonces 0 � 〈αr	1, β i〉 	 bi〈β i, β i〉. Como cada β i tiene norma 1, 
entonces bi � �〈αr	1, β i〉, es decir, se tiene:
 γr	1 �αr	1 � 〈αr	1, β r〉 β r � · · · � 〈αr	1, β1〉 β1 (7.2)
Defi nimos βr
r
r
	
	
	
�
�
�1
1
1�� ��
, con esto se tiene que el conjunto {β1, β2, ..., β r, β r	1} es or-
tonormal y genera el mismo subespacio que {α1, α2, ..., α r, α r+1}.
Defi nición 7.1.4. Sea V un espacio euclidiano, W un subespacio. Defi nimos el com-
plemento ortogonal de W como W⊥ :� {α ∈ V : 〈α, β〉 � 0 para todo β ∈ W}.
Ejercicio 7.1.1. Demuestre que W⊥ es un subespacio.
Teorema 7.1.5. Sea V un espacio euclidiano de dimensión fi nita, W un subespacio, 
entonces V W W� ⊕ ⊥ .
Demostración. Si W � {0} o W � V el resultado es inmediato pues se tiene W ⊥ � V, 
o W ⊥ � {0} respectivamente. Supongamos que W tiene dimensión positiva y menor que 
la de V. Sea {α1, α2, ..., αr} una base ortonormal de W. Por el proceso de Gram-Schmidt 
podemos completar a una base ortonormal de V, sea esta base {α1, α2, αr, ..., αn}. Afi r-
mamos que W ⊥ tiene por base a {αr	1, ..., αn}. Es claro que αi ∈ W
⊥ para todo i � r 	 1, 
..., n. Todo γ ∈ W ⊥ se puede expresar como γ � c1α1 	 · · · 	 crαr 	 cr	1αr	1 	 · · · 	 cnan.
Para cada i � 1, 2, ..., r se tiene 0 � 〈αi, γ〉 � ci, entonces γ pertenece al subespa-
cio generado por {αr+1, ..., αn}, probando con esto lo afi rmado y también el teorema.
Si V es un espacio euclidiano de dimensión fi nita y W un subespacio de V, enton-
ces para todo α ∈ V se tiene ���	ˆ β , con �̂ ∈ W y β ∈ ⊥W . Al vector �̂ le llamare-
mos la proyección ortogonal de α sobre W. La fi gura 7.3 ilustra esta situación.
W
� �
�Figura 7.3. Proyección ortogonal de un 
vector sobre un subespacio.