Álgebra Lineal Mora (190)

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Capítulo 7. Espacios con producto interno
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Si {α1, α2, ..., αr} es una base ortonormal de W, entonces:
�̂ � 〈α, α1〉α1 	 〈α, α2〉α2 	 · · · 	 〈α, αr〉αr
En efecto, pues si �̂ � c1α1 	 · · · 	 crαr, tomando el producto interno de �̂ con αi 
se tiene 〈 �̂ , αi〉 � ci.
Teorema 7.1.6. Sea V un espacio euclidiano de dimensión fi nita, W un subespacio de 
V, α ∈ V y �̂ la proyección de α sobre W, entonces:
 �� �� �� ����� � ��ˆ β
para todo � � �W∈ { }ˆ .
Demostración. Sea β ∈ { }W � �̂ . Se tiene α � β � α � β 	 �̂ � �̂ � (α � �̂ ) 	 ( �̂ � β) 
y (α � �̂ ) ∈ W⊥. Aplicando el teorema de Pitágoras y tomando en cuenta que β ≠ �̂ 
obtenemos:
��α � β��2 � ��α � �̂ ��2 	 �� �̂ � β��2 
 ��α � �̂ ��2
La conclusión fi nal se logra tomando raíz cuadrada en la desigualdad anterior, por 
supuesto usando que la función raíz cuadrada es monótona.
7.1.1. Método de mínimos cuadrados
Cuando se tiene un sistema de ecuaciones AX � B que no tiene solución, una forma 
de abordar el problema puede consistir en encontrar la mejor aproximación, es decir, 
encontrar un vector X̂ tal que ��A X̂ � B�� sea lo más pequeño posible. ¿Qué signifi ca 
esto en términos más precisos?
Defi nición 7.1.5. Sea A una matriz m � n, B un vector columna en Rm. Una solución 
por mínimos cuadrados de AX � B es un X̂ en Rn tal que:
��A X̂ � B�� � ��AX � B�� 
para todo X en Rn.
Recordemos que el sistema AX � B tiene solución ⇔ B se encuentra en el espacio 
columna de A. De manera más precisa, si A1, A2, ..., An representan a las columnas de A, 
entonces el sistema AX � B es equivalente a la ecuación x1A1 	 x2A2 	 · · · 	 xnAn � B, en 
donde x1, x2, ..., xn son las entradas de X y esta última ecuación es la que establece que 
B pertenece al espacio columna de A siempre y cuando el sistema tenga solución. En-
tonces encontrar un X̂ que haga mínimo ��A X̂ � B�� equivale a encontrar un vector B̂
en el espacio columna de A que satisfaga �� B̂ � B�� es mínimo. Si llamamos W al espacio 
columna de A, entonces aplicando el teorema 7.1.6 se tiene que el vector que satisface 
la condición de minimalidad es precisamente la proyección ortogonal de B en W.
¿Cómo encontrar B̂ ? Dado que B̂ pertenece al espacio columna de A, el sistema 
AX � B̂ tiene solución, llamemos X̂ a esta solución. 
Por otro lado, el vector B � B̂ se encuentra en el complemento ortogonal del espa-
cio columna de A, teorema 7.1.5. Entonces, B � B̂ � B � A X̂ es ortogonal a todas las 
columnas de A, lo cual equivale a At(B � A X̂ ) � 0, o en forma alternativa:
 At A X̂ � AtB (7.3)
Nótese que las soluciones de (7.3) corresponden exactamente a las soluciones del 
problema de mínimos cuadrados formulado en la defi nición 7.1.5, el cual siempre tiene 
solución.
	Álgebra Lineal
	Capítulo 7 Espacios con producto interno
	7.1. Aspectos geométricos de un espacio vectorial
	7.1.1. Método de mínimos cuadrados