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Álgebra lineal 176 Se tiene que la matriz AtA es una matriz n × n y por lo observado antes, el sistema (7.3) tiene solución única ⇔ la matriz AtA es inversible. El siguiente teorema establece condiciones necesarias y sufi cientes para que esto ocurra. Teorema 7.1.7. Sea A una matriz m � n. Entonces la matriz AtA es inversible ⇔ las columnas de A son linealmente independientes. Demostración. Recordemos que el sistema AX � 0 tiene sólo la solución cero las columnas de A son linealmente independientes. Para concluir la prueba del teorema, demostraremos que las soluciones de AtAX � 0 coinciden con las de AX � 0. Es claro que si X es solución de AX � 0, también lo es de AtAX � 0. Si AtAX � 0 en- tonces X tA tAX � X t0 � 0. La parte de la izquierda en esta última ecuación es el producto punto de AX consigo mismo, por lo que AX = 0, terminando la prueba. Otro resultado que ayudará a resolver el problema de mínimos cuadrados es el si- guiente. Teorema 7.1.8. Sea A una matriz m � n cuyas columnas, como elementos de Rm, son linealmente independientes. Entonces A � QR, donde Q es una matriz cuyas columnas son ortonormales y R es una matriz triangular superior, cuyos elementos de la diago- nal principal son positivos. Demostración. Sea V el espacio generado por las columnas de A. Por el proceso de Gram-Schmidt, existe una base ortonormal {B1, B2, ..., Bn} de V, más precisamente, si las columnas de A son denotadas A1, A2, ..., An y haciendo las identifi caciones correspon- dientes, de la ecuación 7.2 se tiene: Ci � Ai � 〈Ai, B1〉B1 � · · · � 〈Ai, Bi�1〉Bi�1 (7.4) Con la notación adecuada, Bi � Ci ��Ci�� ; de esto se concluye que Ci � ��Ci��Bi. Susti- tuyendo esta expresión en (7.4) y despejando Ai tenemos: Ai � ciiBi ci�1iBi�1 · · · c1iB1 (7.5) con cii positivo. En términos matriciales la ecuación 7.5 dice que la columna i de A es el producto de la matriz que tiene por columnas a B1, B2, ..., Bn y la transpuesta de [c1i c2i · · · cii 0 · · · 0]; en resumen A = QR, con Q la matriz cuyas columnas son los vectores B1, B2, ..., Bn y R la matriz triangular cuya i-ésima columna es la transpuesta de [c1i c2i · · · cii 0 · · · 0], terminando la demostración. Supongamos que las columnas de la matriz A son linealmente independientes y sea A � QR la descomposición del teorema 7.1.8, entonces el sistema AtA X̂ � AtB equivale a R tQ tQR X̂ � R tQ tB. Como las entradas de la diagonal de R son positivas, entonces R y Rt son inversibles. La condición sobre Q implica que Q tQ � I, por lo que la ecuación anterior se reduce a R X̂ � Q tB o a X̂ � R�1Q tB. Desde el punto de vista computacio- nal, la ecuación R X̂ � Q tB tiene ventajas, dado que se trata de un sistema triangular y resolverlo se logra mediante sustitución regresiva. 7.2. Espacios vectoriales complejos Al abordar varios problemas de ciencias e ingeniería es de gran utilidad considerar es- pacios vectoriales en donde los escalares son números complejos, razón por la cual hace falta precisar la terminología y resultados básicos que se utilizan en este caso. Álgebra Lineal Capítulo 7 Espacios con producto interno 7.2. Espacios vectoriales complejos
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