Álgebra Lineal Mora (192)

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Capítulo 7. Espacios con producto interno
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Recordemos que el conjunto de los números complejos se denota usualmente por C 
y a sus elementos los representamos en la forma z � a 	 bi, en donde i es una raíz 
fi ja de la ecuación x2 	 1 � 0, es decir, i satisface i 2 � �1. Dado un número complejo 
z � a 	 bi, se defi nen las partes real e imaginaria de z como Re (z) :� a e Im (z) :� b 
respectivamente. También se defi ne el conjugado de z, denotado 
r
z :� a � bi.
Una de las propiedades fundamentales de los números complejos es el teorema 
fundamental del álgebra.
Otro aspecto que es importante señalar es que los números reales se consideran 
como subconjunto de C, haciendo la parte imaginaria de un complejo igual a cero.
La defi nición de espacio vectorial complejo es exactamente la misma que la de es-
pacio vectorial real, defi nición 3.5.1, página 91, salvo que los escalares son números 
complejos. El ejemplo típico de espacio vectorial real es Rn; en el caso complejo lo aná-
logo a Rn es Cn.
Todos los conceptos fundamentales y resultados de los espacios vectoriales reales 
se establecen para el caso de espacios vectoriales complejos, haciendo notar sólo que 
los escalares son números complejos.
Es importante notar que si V es un espacio vectorial complejo, también es un espa-
cio vectorial real; el recíproco no es cierto. Por ejemplo, Rn no es un espacio vectorial 
com plejo. Otro aspecto que se debe enfatizar es el cambio de dimensión al considerar 
escalares reales y complejos. Por ejemplo, en Cn el conjunto:
 A � {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 0, 1)}
es una base cuando los escalares son complejos, pues cualquier elemento de Cn es 
combinación lineal, de manera única, de los elementos de A. Sin embargo, cuando se 
consideran escalares reales el conjunto A sigue siendo linealmente independiente pero 
no genera, pues el elemento (i, 0, ..., 0) no se puede obtener como combinación lineal, 
con escalares reales, de los elementos de A. De hecho ninguno de los elemen tos (0, ..., 0, 
i, 0, ..., 0) se puede expresar como combinación lineal de los elementos de A, con esca-
lares reales. Esta observación sugiere proponer el conjunto:
B = {(i, 0, 0, ..., 0), (0, i, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 0, i)}
para tratar de completar a una base de Cn sobre los reales.
Invitamos al lector a demostrar que el conjunto A ∪ B es una base de Cn sobre los 
reales. Con esto se tiene: dimensión de Cn � 2n, cuando se considera sobre los reales.
Si A es una matriz con entradas complejas, defi nimos la conjugada de A, denotada 
A , como la matriz que se obtiene de A conjugando los elementos de sus entradas. 
Por ejemplo, si:
A � 
1 	 i 3 � i
2 � i 1 	 i
, entonces A � 
1 � i 3 	 i
2 	 i 1 � i
En particular, se defi ne el conjugado de un vector columna Y de Cn como el vector 
que se obtiene de Y conjugando sus entradas.
Otro aspecto que se debe hacer notar es la forma en que se defi ne un producto in-
terno en un espacio vectorial complejo. Esto se precisa en la siguiente defi nición.
Defi nición 7.2.1. Diremos que el espacio vectorial complejo V tiene producto interno 
si hay una función 〈 , 〉 : V � V → C que satisfaga:
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