Álgebra Lineal Mora (193)

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Álgebra lineal
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 1. 〈α, β〉 � β α, para todos α, β ∈ V.
 2. 〈aα 	 bβ, γ〉 � a〈α, γ〉 	 b〈β, γ〉, para todos a, b ∈ C y para todos α, β, γ ∈ V.
 3. 〈α, α〉, ≥ 0, para todo α ∈ V y 〈α, α〉 � 0 solamente si α � 0.
Observación 7.2.1. Note que las dos primeras propiedades en la defi nición anterior 
implican 〈α, λβ〉 � λ〈α, β〉, para todos α, β ∈ V y para todo λ ∈ C. Esta propiedad coincide 
con la del caso real, pues el conjugado de un real es el mismo.
Ejemplo 7.2.1. Sea V � Cn; si X, Y ∈ Cn se consideran como vectores columna, entonces 
la función 〈 , 〉 : V � V → Cn defi nida por 〈X, Y〉 :� Y t X representa un producto interno en V.
Si A es una matriz n � n entonces 〈AX, Y〉 :� Y t AX . Usando una propiedad de la 
transpuesta y de la operación de conjugación de complejos se tiene:
 〈AX, Y 〉 � 〈X, At Y 〉 (7.6)
Los conceptos de ortogonalidad y norma se establecen igual que en el caso real.
7.3. Formas cuadráticas y bilineales
Por el ejercicio 13, del capítulo 4, página 114, sabemos que una transformación lineal 
f de Rn a los reales es de la forma f (x1, x2, ..., xn) � a1x1 	 a2x2 	 · · · 	 anxn, en donde a1, 
a2, ..., an son números reales fi jos. Notemos que f se puede representar en términos 
del producto interno en Rn, es decir, si hacemos X � (x1, x2, ..., xn) y A � (a1, a2, ..., an) 
entonces f(x1, x2, ..., xn) � f(X) � 〈X, A〉 � a1x1 	 a2x2 	 · · · 	 anxn. Esta interpretación de 
f muestra la relación que existe entre las funciones lineales de Rn a los reales y el 
producto interno. De manera más general, si V es un espacio con producto interno y 
β ∈ V es un vector fi jo, se puede defi nir una transformación lineal Tβ : V → R como 
sigue:
Tβ(α) � 〈α, β〉
Las propiedades de linealidad de Tβ equivalen a las propiedades de linealidad en 
la primera entrada de la función producto interno. Para defi nir el concepto de función 
bilineal tomaremos como punto de partida las propiedades del producto interno.
Defi nición 7.3.1. Una función bilineal en el espacio vectorial real V, es una función 
B: V � V → R que satisface las propiedades:
 1. Para todos a, b ∈ R y para todos α, β y γ elementos de V, B(aα 	 bβ, γ) � aB(α, γ) 	 
bB(β, γ).
 2. Para todos b, c ∈ R y para todos α, β y γ elementos de V, B(α, bβ + cγ) � bB(α, β) 	 
cB(α, γ).
Una forma alternativa de expresar que B es bilineal es considerándola como fun-
ción de dos variables, lineal en cada una.
Cuando B satisface B(α, β) � B(β, α) para todos α y β en V, se dice que B es una 
función bilineal simétrica.
Observación 7.3.1. Note que todo producto interno en un espacio vectorial real es 
una función bilineal, pues un producto interno requiere las condiciones de simetría y 
positividad además de las de linealidad.
Ejemplo 7.3.1. Si V es el espacio de las funciones Riemann integrables en el inter-
valo [a, b], entonces la función B : V � V → R determinada por B(f, g) := fg
a
b∫ es bili-
neal simétrica.
	Álgebra Lineal
	Capítulo 7 Espacios con producto interno
	7.3. Formas cuadráticas y bilineales