Álgebra Lineal Mora (194)

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Capítulo 7. Espacios con producto interno
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Discusión. Sean f, g, h ∈ V y c, d ∈ R. Por las propiedades de la integral se tiene B(af 
	 bg, h) :� ( )cf dg h c f h d gh
a
b
a
b
a
b
	 � 	∫ ∫ ∫ , probando que es lineal en la primera entra-
da. La linealidad en la segunda se obtiene de la conmutatividad del producto de fun-
ciones y de la igualdad anterior. Es importante notar que B, no es un producto interno, 
pues es posible que B(f, f) � 0 sin que f sea la función cero. Proporcione un ejemplo de 
tal situación.
Sea V un espacio de dimensión fi nita, {α1, α2, ..., αn} una base de V y B una función 
bilineal. Dados α � x1α1 	 · · · 	 xnαn y β � y1α1 	 · · · 	 ynβn y usando las propiedades 
de bilinealidad de B, se tiene:
 B(α,β) � B(x1α1 	 · · · 	 xnαn, y1α1 	 · · · 	 ynαn)
 � x1B(α1, y1α1 	 · · · 	 ynαn) 	 · · · 	 xnB(αn, y1α1 	 · · · 	 ynαn)
 � x1y1B(α1, α1) 	 · · · 	 x1ynB(α1, αn) 	 · · · 	
 	 xny1B(αn, α1) 	 · · · 	 xnynB(αn, αn) 
 � [ x1 · · · xn ] 
B(�1,�1) · · · B(�1,�n)
B(�2,�1) · · · B(�2,�n)
B(�n,�1) · · · B(�n,�n)
· · ·
· · ·
· · ·
y1 
yn 
· · ·
Defi niendo la matriz A, cuyas entradas son los elementos B(αi, αj), y acordando 
que X y Y son matrices con una columna y n fi las con entradas xi y yi, respectivamen-
te; la expresión para B(α, β) se representa en la forma:
 B(α, β) � X tAY (7.7)
Note que la expresión de la derecha en la ecuación 7.7 depende de la base elegida 
en V y le llamaremos la forma bilineal de B respecto a la base {α1, α2 ..., αn}.
Sea {� ′1, � ′2, ..., � ′n} otra base de V, con P la matriz de cambio de base y sean X ’ y Y ’
los vectores coordenados de α y β respecto a esta nueva base, entonces de acuerdo con 
la ecuación 4.14, página 108 se tiene X � PX ′ y Y � PY ′. Si C denota la matriz asociada 
a B respecto a la base {� ′1, � ′2, ..., � ′n}, se tiene:
 B(α, β) � X ′t CY ′t � X t(P�1)tCP�1Y � X tAY (7.8) 
por lo que necesariamente, A � (P�1)tCP�1. Esto último equivale a:
 C � P tAP. (7.9)
Resumiendo la discusión anterior se ha demostrado el siguiente teorema:
Teorema 7.3.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita y B una función bilineal 
en V. Si A y C son matrices representando a B en las bases {α1, α2, ..., αn} y {� ′1, � ′2, ..., � ′n}, 
respectivamente, y la matriz de cambio de base está representada por P, entonces C � PtAP.
Defi nición 7.3.2. Sean A y C matrices n � n. Se dice que C es congruente con A, si 
existe una matriz inversible P tal que C � PtAP.
Observación 7.3.2. Dos matrices n � n representan a la misma función bilineal ⇔ 
son congruentes.
Ejemplo 7.3.2. Sea B : R3 � R3 → R expresada por:
B ((xl, x2, x3), (yl, y2, y3)) � 2xly1 	 x1y2 	 x2y1 	 x2y3 	 x3y1 	 x3y3