Álgebra Lineal Mora (195)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
180
Encuentre la expresión para B respecto a la base {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}
Discusión. La representación dada para B es respecto a la base canónica, y la matriz 
de B respecto a esta base se obtiene usando la ecuación 7.7, notando que sus entradas 
son los coefi cientes de los términos xiyj, en donde el índice i representa el número de 
fi la mientras que j representa el número de columna. De acuerdo con esto obtenemos 
que la matriz de B respecto de la base canónica es: A � 
 2 1 0
 1 0 1
 1 0 1
.
Por otro lado, la matriz de cambio de base es P � 
 1 1 1
 1 1 0
 0 1 0
. Aplicando el teo-
rema 7.3.1 se tiene que la matriz de B respecto a la nueva base es:
 
 P t AP � 
 1 1 0
 1 1 1
 1 0 0
 
 2 1 0
 1 0 1
 1 0 1
 
 1 1 1
 1 1 0
 0 1 0
 � 
 4 5 3
 5 7 4
 3 3 2
Si las coordenadas de un vector respecto a la base {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} las 
denotamos por (x ′1, x ′2, x ′3), entonces se tiene que B está dada por:
 B((x ′1, x ′2, x ′3), (y ′1, y ′2, y ′3)) � [x ′1 x ′2 x ′3] 
 4 5 3
 5 7 4
 3 3 2
 
 y ′1
 y ′2
 y ′3
 � 4 x ′1 y ′1 	 5 x ′1 y ′2 	 3 x ′1 y ′3 	 5 x ′2 y ′1 	 7 x ′2 y ′2 	 4 x ′2 y ′3 
 	 3 x ′3 y ′1 	 3 x ′3 y ′2 	 2 x ′3 y ′3
El ejemplo anterior muestra que la representación de B puede ser más sencilla en 
una base que en otra. Con esto en mente surge una pregunta, ¿existe una base de V de 
tal forma que la representación de una función bilineal dada sea sufi cientemente sen-
cilla? Más precisamente, ¿se puede representar a una función bilineal por medio de una 
matriz diagonal? Note que una respuesta afi rmativa equivale a decir que existe una base 
{α1, α2, ..., αn} tal que:
 B (αi, αj)� 
a i j
i j
i si
si
�
0 �
⎧
⎨
⎩
 (7.10)
De existir tal base, se tendría una especie de análogo del proceso de ortogonaliza-
ción de Gram-Schmidt. Algo adicional a notar es que las condiciones de la ecuación 
7.10 implican que B es simétrica, pues si C es la matriz asociada a B respecto a otra 
base, entonces diag{a1, a2, ..., an} � P
 tCP, con P la matriz de cambio de base. Tomando 
transpuesta en esta ecuación y considerando que la transpuesta de una matriz diago-
nal es ella misma, se tiene diag{al, a2, ..., an} � P
 tC tP, luego P tC tP � P tCP. Ahora, utili-
zando que P tiene inversa se concluye que C t � C.
Las observaciones del párrafo anterior demuestran que para la existencia de la 
base con las condiciones de la ecuación 7.10 es necesario que B sea simétrica. ¿Será 
sufi ciente la condición de simetría en B para que exista tal base?