PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-17

Vista previa del material en texto

47 
 
 
3.1.3 ARREGLO CIRCULAR 
Suponga un grupo conteniendo n elementos diferentes. Un arreglo circular es una permutación 
con todos los elementos del grupo, tal que el primero y el último elemento están conectados. 
Para que los arreglos sean diferentes, se debe fijar un elemento, mientras que los otros pueden 
ser intercambiados. 
 
Definición: Número de permutaciones en un arreglo circular 
 
 (n-1)! n es el número total de elementos 
 
 
Ejemplo: ¿De cuantas formas diferentes pueden colocarse 5 personas alrededor de una mesa? 
 
Respuesta: 4! = 24 
 
 
3.1.4 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS 
Si del total de n elementos, n1 fuesen repetidos, entonces los arreglos tendrían formas idénticas 
cuando se considera el orden de los n1 elementos repetidos. Existen n1! formas de tomar los n1 
elementos repetidos, por lo tanto, la cantidad de permutaciones se reduciría por el factor n1! 
 
Definición: Cantidad de permutaciones con elementos repetidos 
 
 
!n
!n
1
, n elementos, de los cuales n1 son repetidos 
 
Este razonamiento, puede extenderse cuando hay más grupos de elementos repetidos 
 
Sean: n: Cantidad total de elementos 
 n1: Cantidad de elementos repetidos de un primer tipo 
 n2: Cantidad de elementos repetidos de un segundo tipo 
Se debe cumplir que n1 + n2 = n 
 
Definición: Permutaciones con dos tipos de elementos repetidos 
 
 
!n !n
!n
21
, n elementos, de los cuales n1 son de un tipo y n2 son de otro tipo 
 
 
 
Ejemplo: En una caja hay 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco. Las botellas de cada uno 
de los dos tipos de vino tienen la misma marca y forma. ¿De cuantas formas diferentes pueden 
colocarse en una hilera las 5 botellas? 
 
Respuesta: Son permutaciones con elementos repetidos con n=5, n1=3, n2=2, 
 10
3! !2
!5
= 
48 
 
 
La fórmula se puede generalizar a más grupos con elementos repetidos 
 
Definición: Permutaciones con n elementos y k grupos con elementos repetidos 
 
Sean n: Total de elementos, distribuidos en k grupos 
 n1: Número de elementos repetidos de tipo 1 
n2: Número de elementos repetidos de tipo 2 
 . 
 . 
nk: Número de elementos repetidos de tipo k 
 
Siendo n1 + n2+ … +nk = n 
Cantidad de arreglos diferentes que se pueden obtener 
 
!n ... !n !n
n!
k21
 
 
 
. 
Ejemplo. ¿Cuántos arreglos diferentes pueden hacerse con las letras de la palabra 
MATEMÀTICA? 
 n=10. 
 n1=2 (repeticiones de la letra M) 
 n2=3 (repeticiones de la letra A) 
 n3=2 (repeticiones de la letra T) 
 las otras letras ocurren una sola vez 
Respuesta: 
 
10!
2! 3! 2! 1! 1! 1!
= 151200 
 
3.1.5 COMBINACIONES 
Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el 
orden de los elementos en cada arreglo no es de interés. 
 
Cada arreglo se diferencia únicamente por los elementos que contiene, sin importar su ubicación 
 
Sean n: Cantidad de elementos del conjunto 
 r: Cantidad de elementos en cada arreglo 
Se usa la notación nCr, o nrC , o 





r
n
 para denotar la cantidad de combinaciones de tamaño r 
que se pueden realizar con los n elementos distintos de un conjunto 
 
Para obtener la fórmula del número de combinaciones, consideremos la fórmula de las 
permutaciones. 
 
Debido a que en las combinaciones no interesa el orden de los elementos en cada arreglo, es 
equivalente a tener permutaciones con elementos repetidos. Así se obtiene la fórmula. 
 
49 
 
 
Definición: Número de combinaciones 
 
 n elementos con los cuales se forman arreglos conteniendo r elementos 
nCr 
n rP n! n(n 1)(n 1)...(n r 1)
r ! (n r)! r ! r !
− − − +
= = =
−
 
 
 
Ejemplo. Un bar dispone de 10 frutas diferentes de las cuales pueden elegirse tres para un 
batido. ¿De cuantas maneras diferentes puede hacerse la elección? 
Respuesta: Son combinaciones pues el orden de las frutas no es de interés. 
 n=10, r=3, ⇒ 10C3 
 
10! 120
7! 3!
= = 
 
 
Ejemplo. Para probar un test de aptitud debe elegirse una muestra de cinco estudiantes de un 
curso que contiene 20 estudiantes. ¿De cuantas formas puede tomarse la muestra? 
Respuesta: En la muestra no interesa el orden de los estudiantes 
 n=20, r=5, ⇒ 20C5 20! 15504
15! 5!
= =
 
 
 
 
Ejemplo. De una caja que contiene 6 baterías de las cuales 4 están en buen estado, se extrae 
una muestra de dos baterías 
 
a) ¿De cuantas formas diferentes se puede tomar la muestra? 
Respuesta: n=6, r=2, ⇒ 6C2 6! 154! 2!= = 
 
b) ¿En cuantas de estas muestras, las dos baterías están en buen estado? 
Respuesta: n=4, r=2, ⇒ 4C2 4! 62! 2!= = 
 Es la cantidad de formas de sacar 2 baterías en buen estado de las 4 existentes 
 
 
 
 
	3 FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
	3.1 FÓRMULAS DE CONTEO
	3.1.4 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
	3.1.5 COMBINACIONES