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1º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS CC SS – TEMA 2.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 
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1.- OPERACIONES CON POLINOMIOS 
 
Suma y resta de polinomios 
Para sumar o restar polinomios se reducen los términos semejantes realizando las sumas/restas de 
los mismos. 
Ejemplo: 
7x3 – 3x – 6 – (2x3 + 10x2 – 4) + (x2 – 4x + 1) = 7x3 – 3x – 6 – 2x3 – 10x2 + 4 + x2 – 4x + 1 = 
 
 
= (7x3 – 2x3) + (–10x2 + x2) + (–3x – 4x) + (–6 + 4 + 1) = 5x3 – 9x2 – 7x – 1 
 
Producto de polinomios 
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término de un 
polinomio por todos los términos del otro. 
Ejemplo: 
(5x2 – 4x + 6).(3x – 7) = 5x2(3x – 7) – 4x(3x – 7) + 6(3x – 7) = 
 
= 15x3 – 35x2 – 12x2 + 28x + 18x – 42 = 15x3 – 47x2 + 46x – 42 
 
Si tuviésemos que multiplicar tres polinomios, se multiplican dos de ellos y el resultado se multiplica 
por el tercero. Por ejemplo, (2x – 1)(3x + 1)(x + 2) = (6x2 – x – 1)(x + 2) = 6x3 + 11x2 – 3x – 2 
 
Igualdades notables 
 
Cuadrado de una suma 
 
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
Ejemplos: 
 
(5x + 4)2 = (5x)2 + 2.5x.4 + 42 = 25x2 + 40x + 16 
 
(3y2z + 2xyz)2 = (3y2z)2 + 2.3y2z.2xyz + (2xyz)2 = 9y4z2 + 12xy3z2 + 4x2y2z2 
 
Cuadrado de una diferencia 
 
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2 
 
Ejemplos: 
 
(2x – 7)2 = (2x)2 – 2.2x.7 + 72 = 4x2 – 28x + 49 
 
(ab2c – a2b)2 = (ab2c)2 – 2.ab2c.a2b + (a2b)2 = a2b4c2 – 2a3b3c + a4b2 
 
 
 
Suma por diferencia 
 
(A + B)(A – B) = A2 – B2 
 
Ejemplos: 
 
(4x + 9)(4x – 9) = (4x)2 – 92 = 16x2 – 81 (3m + 2pq)(3m – 2pq) = (3m)2 – (2pq)2 = 9m2 – 4p2q2 
 
 
Potencia de un polinomio 
Para calcular una potencia de base un polinomio, se multiplica el polinomio tantas veces como 
indique el exponente. 
Ejemplo: 
(x2 – x + 5)2 = (x2 – x + 5)(x2 – x + 5) = x4 – 2x3 + 11x2 – 10x + 25 
 
 
Operaciones combinadas con polinomios 
Para realizar operaciones combinadas con polinomios se sigue el siguiente orden: 
1º) Se hacen las potencias 2º) Se hacen las multiplicaciones 3º) Se reducen los términos semejantes 
 
Ejercicio 1 Realiza las siguientes operaciones combinadas: 
5x(x + 2)(x – 2) – (x + 3)2 + 2(3x – 1)(x2 + x – 2) – (2x – 3)3 
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2.- DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN 
 
División de polinomios 
Para dividir un polinomio p(x) entre otro polinomio q(x) seguimos un método similar a la división 
entre números naturales. 
 
 
 
p = Dividendo, q = Divisor c = Cociente , r = Resto 
 
Una vez hecha la división, se cumple la regla de la división: 
“El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto” 
p = q . c + r 
 
Regla de Ruffini 
Es un método para dividir un polinomio entre un binomio del tipo (x + a) ó (x – a) 
 
Raíces de un polinomio 
Son los valores que anulan al polinomio. Se puede demostrar que las posibles raíces enteras de un 
polinomio deben ser divisores del término independiente 
 
Por otra parte, si el polinomio p(x) es de grado 1 o 2, podemos obtener las raíces resolviendo la 
ecuación p(x) = 0 
 
Si el polinomio p está expresado como producto de otros polinomios, p = p
1
 . p
2
. … . p
n
 , entonces 
para encontrar las raíces igualamos a 0 cada uno de los factores del polinomio p y despejamos x. 
 
Teorema del resto y del factor 
 
Si “a” es una raíz de p(x) (es decir p(a) = 0)  El resto de la división p(x) : (x – a) es p(a) = 0 
entonces p(x) = (x – a). c(x), siendo c(x) el cociente de la división 
 
Factorización de polinomios 
 
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible. 
 
Hay polinomios que no se pueden factorizar, por ejemplo los de grado 1 y los que no tienen raíces 
reales. Estos polinomios se llaman irreducibles 
 
Para factorizar un polinomio p(x) procederemos de la siguiente forma: 
 
1º) Sacamos factor común, en el caso de que falte el término independiente. 
 
2º) Probamos a ver si tiene alguna raíz entera. Si una raíz es x = a, nos queda p(x) = (x – a).c(x) 
Repetimos el proceso con el cociente c(x) obtenido hasta llegar a un polinomio irreducible. 
 
3º) Probamos a ver si se puede expresar como potencia de un binomio o como suma por diferencia, 
usando las igualdades notables 
 
3.- FRACCIONES ALGEBRAICAS Y OPERACIONES 
 
Concepto de fracción algebraica 
Una fracción algebraica es una expresión del tipo p(x)
q(x)
, siendo p(x) y q(x) polinomios. 
Las propiedades y reglas que se usan para las fracciones algebraicas son las mismas que para 
fracciones numéricas estudiadas en el tema de los números reales. 
 
p q 
r c 
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Simplificación de una fracción algebraica 
Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan numerador y denominador y después se 
simplifican los factores que se repitan en el numerador y el denominador. 
Ejercicio 2 Simplifica las fracciones algebraicas: a)
4 2
3 2
15a b c
30ab c
 b)
3
3 2
5x
10x 15x c) 
   
  
4 3 2
3 2
2x x 11x 11x 3
2x 3x 8x 3
 
 
Suma y resta de fracciones algebraicas 
Si tienen el mismo denominador, se deja el mismo denominador y se suman o restan los 
numeradores: 
 
Ejemplo: 2 x 3 1 5x 2 x 3 1 5x 6x
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
      
   
    
 
 
Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y se aplica lo anterior. 
 
Para reducir a común denominador fracciones algebraicas, se calcula el mcm de los denominadores, 
factorizando primero los polinomios. 
El mcm es el producto de todos los factores irreducibles elevados al mayor exponente que aparezcan 
en la factorización 
 
Ejercicio 3 Realiza las siguientes operaciones: 
a)   
   2
x 1 5x 1 2x
x 2 x 1 (x 2)
 b) 3 2 3 2
x 5 1 2x 3
x 4x x 4x 4 x 2x
 
 
    
 
Producto de fracciones algebraicas 
Para multiplicar fracciones algebraicas, primero se simplifican y luego se multiplican, multiplicando 
numerador por numerador y denominador por denominador. 
p r p.r
.
q s q.s
 
Antes de realizar los productos debes simplificar, si se puede. 
 
Ejercicio 4 Efectúa 
2
3 1 1
3 3 3 2 1
x x
.
x x x
 
  
 
 
 
División de fracciones algebraicas 
Para dividir fracciones algebraicas, primero se simplifican y luego se dividen, multiplicando en cruz. 
p r p.s
:
q s q.r
 
 
Antes de realizar los productos debes simplificar, si se puede. 
 
Ejercicio 5 Efectúa 
2
2
1 2
6 36
x x x
x x
  
 
: 
 
 
Operaciones combinadas con fracciones algebraicas 
Para realizar operaciones combinadas con fracciones algebraicas, se hacen primero las 
multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y después las sumas y restas. Si hubiese 
paréntesis, se realizan en primer lugar las operaciones situadas dentro de ellos en el orden indicado 
anteriormente 
Ejercicio 6 Efectúa       2
1 2x 1 2
:
x 1 x 1 x 1x 1
 
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4.- ECUACIONES 
 
 
Ecuaciones de primer grado 
Son ecuaciones donde la incógnita está elevada a 1. 
 
En estas ecuaciones, una vez hechas las operaciones, se pasan los términos de la x a un miembro y 
los términos independientesal otro, se reducen los términos y luego se despeja la x 
 
Ejemplo: 
4x – 2(5x – 5) = 6 – (3x – 5) + 3(1 – 2x)  4x – 10x + 10 = 6 – 3x + 5 + 3 – 6x 
 
4x – 10x + 3x + 6x = – 10 + 6 + 5 + 3  3x = 4  
4
x
3
 
 
 
 
Ecuaciones de 2º grado 
Son ecuaciones donde la incógnita está elevada a 2. 
 
Ecuaciones de 2º grado completas 
Son del tipo ax2 + bx + c = 0 , con b, c ≠ 0. Para resolverlas usamos la fórmula 
2b b 4ac
x
2a
  
 
La expresión D = b2 – 4ac se llama discriminante de la ecuación. 
 
Si D > 0 la ecuación tiene 2 soluciones, porque la raíz cuadrada nos da un nº positivo 
 
Si D = 0 la ecuación tiene 1 solución (doble), porque la raíz cuadrada nos da cero 
 
Si D < 0 la ecuación no tiene solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo 
 
 
Ecuaciones de 2º grado incompletas sin término de x 
 
Son del tipo ax2 + c = 0. 
Para resolverlas despejamos x2 y luego hallamos la raíz cuadrada. 
Si nos da la raíz cuadrada de un número negativo, entonces la ecuación no tiene solución. 
ax2 + c = 0  
 
   2
c c
x x
a a
 Ejemplo: 25 – 9x2 = 0       2
25 25 5
x x
9 9 3
 
 
Ecuaciones de 2º grado incompletas sin término independiente 
 
Son del tipo ax2 + bx = 0 , con b ≠ 0. 
Para resolverlas, sacamos factor común x , igualamos a cero cada factor y despejamos x. 
ax2 + bx = 0  x(ax + b) = 0  

    
x 0
b
ax b 0 x
a
 
Ejemplo: 3x – 5x2 = 0  x(3 – 5x)=0  

    
x 0
3
3 5x 0 x
5
 
 
Ecuaciones factorizadas 
 
Son ecuaciones de la forma P(x) . Q(x). …. = 0. 
Para resolver este tipo de ecuaciones, se iguala a 0 cada factor y después se resuelven las ecuaciones 
que resulten. 
Ejemplo: (2 – 3x)(3x2 _ 12) = 0 → 2
2 3x 0
3x 12 0
 
  
  
2
x
3
x 2
 

  
 
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Ecuaciones de grado superior a 2 
 
Son ecuaciones del tipo P(x) = 0 , siendo P(x) un polinomio de grado superior a 2. 
Para resolverlas, se factoriza el polinomio para encontrar las raíces o soluciones de la misma. 
 
Ejemplo: Para resolver la ecuación x4 + x3 – 9x2 – 9x = 0 factorizamos el polinomio 
 
Obtenemos x(x + 1)(x – 3)(x + 3) = 0 ¡Compruébalo! 
 
Obtenemos una ecuación factorizada. Resolvemos entonces:
 










303
303
101
0
xx
xx
xx
x
 
 
Por tanto, las soluciones de la ecuación son: 3310 4321  x,x,x,x 
 
 
Ecuaciones bicuadradas 
 
Son ecuaciones del tipo ax4 + bx2 + c = 0 
Para resolverlas se hace el cambio:   
2
2 4
t x
t x
 
Sustituyendo nos queda la ecuación de 2º grado at2 + bt + c = 0. 
Resolvemos la ecuación y obtenemos el valor de “t”; después calculamos “x” hallando la raíz cuadrada 
 
Ejercicio 7 Resuelve 9x4 + 5x2 – 4 = 0 
 
 
Ecuaciones racionales: Son ecuaciones que llevan la incógnita x en el denominador. 
Para resolverlas, se reduce a común denominador y se eliminan los denominadores en los dos 
miembros. De esta forma se llega a una ecuación polinómica o racional. 
En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar que los valores obtenidos de la incógnita 
cumplen la ecuación inicial, pues puede aparecer alguna solución “extraña” que anule algún 
denominador. 
Ejercicio 8 Resuelve 

 
 2 2
x 4 2
0
x 5x x 25
 
 
 
Ecuaciones con radicales: Son ecuaciones que llevan la incógnita x dentro de una raíz. 
Para resolverlas, se despeja el término que lleva la raíz y después se elevan los dos miembros de la 
ecuación al índice del radical. De esta forma se llega a una ecuación polinómica o racional. 
En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar que los valores obtenidos de la incógnita 
cumplen la ecuación inicial, pues puede aparecer alguna solución “extraña” que haga que no se 
cumpla la ecuación inicial. 
Ejercicio 9 Resuelve 2x 25 x 1   
 
 
 
Ecuaciones reducibles mediante operaciones 
Si hay operaciones, debemos realizarlas y luego resolver la ecuación 
Si la ecuación tiene denominadores podemos reducir las fracciones a común denominador y luego 
eliminar los denominadores iguales en los dos miembros. 
De esta forma obtenemos una ecuación equivalente sin denominadores. 
 
Ejercicio 10 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 5(x-1) x+5- = 7 -
3 6 4
 b) (2x – 1) (x + 4) = 81 
 
c) 3(x + 1)2 – (2x + 1)(2x – 3) = 7x2 + x + 2 + (x – 2)2 
 
 
 
 
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Ecuaciones exponenciales 
 
Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente. 
En las ecuaciones exponenciales más básicas, podemos usar la equivalencia 
 
aX = aY  X = Y 
 
Ejercicio 11 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 
1 2x
31 32
2

   
 
 b) 

x1
2
1
0,2
25
 
 
Ecuaciones logarítmicas 
 
Son ecuaciones con alguna incógnita en el logaritmo. 
En las ecuaciones logarítmicas más básicas podemos usar 
 
log
a
 M = log
a
 M  M = N 
 
log
a
 M = k  ak = M 
Ejercicio 12 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log
3
 x = 1
2
 b) ln (x2 – x) = ln 2 
 
 
Cálculo de una ecuación polinómica conocidas sus soluciones 
 
Si las soluciones de una ecuación polinómica de grado n son x1, x2, … , xn , entonces la ecuación se 
puede escribir de la forma a(x – x1)(x – x2). …. . (x – xn) = 0, siendo a cualquier número distinto de 0. 
 
Ejemplo: 
Una ecuación de grado 3 de soluciones x = 2 , x = –1 , x = 1 es: 
(x – 2)(x + 1)(x – 1) = 0  x3 – 2x2 – x + 2 = 0 
 
 
5.- SISTEMAS DE ECUACIONES 
 
Concepto de sistema de ecuaciones 
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones. 
Ejemplos: 
  

 
2x 3xy 22
x y 5
 
   
  
  
3x 5y+z 4
2x y+3z 9
4x 7y+z 5
 
Resolver un sistema es averiguar el valor de las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones 
a la vez. 
 
A veces, decimos simplemente sistema cuando nos referimos a un sistema de ecuaciones 
 
Tipos de sistemas 
 
Sistemas lineales: Están formados por 2 o más ecuaciones lineales. 
 
Una ecuación lineal con dos incógnitas es aquella que se puede escribir de la forma ax + by = c. 
 
Por ejemplo, 2x + 3y = –6 es una ecuación lineal con dos incógnitas. 
 
Análogamente, una ecuación lineal con tres incógnitas es aquella que se puede escribir de la forma 
ax + by + cz = d. Por ejemplo, x + 2y – 7z = 1 es una ecuación lineal con tres incógnitas. 
Ejemplos: 
2x 5y 4
x 3y 9
  
  
 , 
   
   
    
x y z 0
2x y z 5
x 2y z 3
 
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Sistemas no lineales: Son aquellos en los que hay alguna ecuación que no es lineal 
Por ejemplo, el sistema 
  

 
2x 3xy 22
x y 5
 es NO lineal porque la primera ecuación no es lineal. 
 
Método de sustitución 
Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. 
De esta forma se llega a una ecuación con una incógnita. 
 
Método de igualación 
Consiste en despejar la misma incógnita en todas las ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. 
De esta forma se llega a una ecuación con una incógnita. 
 
Método de reducción 
Consiste en buscar otro sistema equivalente, o sea con las mismas soluciones, en el que los 
coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos. 
 
Esto se consigue multiplicando lasecuaciones por números adecuados. 
Después se suman las ecuaciones, llegándose así a una ecuación con una incógnita. 
 
Ejercicio 13 Resuelve: a) 
x y 1
6
3 2
5x 4(y 1) 2
  

    
por los 3 métodos b) 
  

 
2x 3xy 22
x y 5
 c)
 

 
2 2
xy 6
x y 13
 
 
 
Método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones 
 
Consiste en representar gráficamente cada ecuación. 
 
Si las gráficas se cortan, el punto o puntos de corte de las gráficas obtenidas corresponderán a la 
solución o soluciones del sistema de ecuaciones. 
 
Si las gráficas no se cortan, entonces el sistema no tiene solución. 
 
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se clasifican según el nº de soluciones: 
 
- Sistemas compatibles determinados (S.C.D.): son los que tienen una única solución. 
En este caso, se obtiene un valor de “x” y otro valor de “y”. 
Las ecuaciones corresponden a dos rectas secantes 
 
- Sistemas compatibles indeterminados (S.C.I.): son los que tienen infinitas soluciones. 
En este caso, se llega a una identidad del tipo 0 = 0. 
Las ecuaciones corresponden a dos rectas coincidentes 
 
- Sistemas incompatibles (S.I.): son los que no tienen solución. 
En este caso, se llega a una contradicción. Por ejemplo, 0 = 3 
Las ecuaciones corresponden a dos rectas paralelas 
 
Para clasificar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 
  
  
ax by c
a´x b´y c´
 podemos usar las siguientes reglas: 
Si Si Si  
a b a b c a b cS.C.D. = = S.C.I. = ≠ S.I.
a´ b´ a´ b´ c´ a´ b´ c´
≠ 
 
 
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Ejercicio 14 Clasifica e interpreta geométricamente los siguientes sistemas. 
Resuelve por el método gráfico aquel que sea compatible determinado: 
a)
2x 5y 1
6x 15y 3
  
  
 b)
3x 6y 54
5x 4y 20
 
  
 c)
9x 2y 1
18x 4y 3
   
   
 
 
Método de Gauss 
 
Es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 
Se usa fundamentalmente para sistemas de más de dos incógnitas. 
 
Consiste en transformar el sistema en otro equivalente (o sea con las mismas soluciones) en el que 
cada ecuación tenga al menos una incógnita menos que la ecuación anterior (sistema escalonado). 
 
El sistema escalonado resultante se resuelve entonces de forma más sencilla empezando a despejar 
por la ecuación que tiene menos incógnitas. 
 
Ejercicio 15 Resuelve por el método de Gauss: a)
    

  
    
x y z 4
3x y 3z 0
x 2y 2z 3
 b) 








1434
9345
122
zyx
zyx
zyx
 
 
Ejercicio 16 Un inversor compró acciones de las empresas A, B y C por un valor total de 20 000 €, 
invirtiendo en C el doble que en A. Al cabo de un año la empresa A le pagó el 6% de beneficio, 
la B el 8% y la C el 10%. Si el beneficio total fue de 1 720 €, ¿qué dinero invirtió en cada empresa? 
 
Ejercicio 17 Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un 
total de 1 600 €. Se sabe que cobra 50 € por cada silla, 150 € por cada sillón y 200 € por cada butaca, 
y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. 
Calcular cuántos muebles de cada clase ha vendido ese taller. 
 
ACTIVIDADES PROPUESTAS 
 
1.- OPERACIONES CON POLINOMIOS 
1 Efectúa las siguientes operaciones combinadas con polinomios: 
a) x – (1 – 2x)(3x – 2)2 – 2x(2x + 3)2 + 3x(2x – 1)(2x + 1) 
 
b) 1 + 5(x2 – 2x)2(3x + 1) – 2(7x – 1)(7x + 1) – x3(–x + 3) 
 
c) (2x – 3)2 + 2x(x + 5)(x – 5) – (x + 1)3 – 3(2x – 5)(x2 – x + 1) 
 
2.- DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN 
2 Efectúa las siguientes divisiones de polinomios y haz la prueba de la división: 
a) (2x3 – 5x – 3x5 + 3) : (–3x + 1 – x2 ) b) (6x3 – 17x2 + 7x) : (2x – 5) 
 
3 Realiza por Ruffini: a) (2x2 – 5x + 1) : (x – 3) b) (x5 – 3x2 + 1) : (x + 1) 
 
4 Encuentra una raíz entera de los polinomios: a) x3 – 3x2 – 4x + 12 b) x3 + 2x2 – x – 2 
 
5 Factoriza los siguientes polinomios: a) x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 b) x6 + x5 + 3x4 + 9x3 – 54x2 
 
c) 4x3 – 4x2 + x d) 6x3 + x2 – 4x + 1 e) x7 – 16x5 f) x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16 
 
 
 
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3.- FRACCIONES ALGEBRAICAS Y OPERACIONES 
6 Simplifica las siguientes fracciones: a) 
4
9
24x
42x
 b) 
4
2
24x yz
60xy z

 c) 
3
3
2x 18x
4x 12x


 
 
d) 
x 4


3x 12 e) 
 
2
2
3x 12
6x 6x 12
 f) 2
3x + 6
3x + 9x + 6
 g) 
2
2
x +2x 3
x + 4x + 3
 
 
h) 
3 2
3 2
x 2x 9x +18
x 7x +16x 12
 
 
 i) 

2
2
7x
14x 21x
 j) 
 
3 2x 5x
3 2x 10x 25x
 
 
7 Realiza las siguientes sumas y restas con fracciones: a)  
2
2 3
3x+1 5 5x +2
+
x 4x 6x
 
b) 
3 2
x x 1


 c) 2xx 1
x 2
 

 d)
2
2 x
1
x 1x 1
 

 e)
2 2 2
5 3x 3
x x x x x 2
 
  
 
 
8 Realiza los siguientes productos y cocientes con fracciones: a)
2
x 1 x 1
.
2x 2 x 2x 1
 
  
 
b) 
2
2 2
x 2 4x 8x
x 6x 9 x 2x 3
 
   
: c) 
x
x 2
 . 
22x 8
x +1
 : 
3 2
2
2x + 4x
x x 2 
 
 
9 Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones: a)
2
x 1 x 1 5x
x 1 x 1 x 1
:
2
2
2x     
    
 
 
b) 22 3
x 91 x 1
x 3xx x 9x
 
 
 
 


: c) 
2 2 2
2 2 2
6x 2x 7x 3 4x
.
x 9 3x x 2x 3
 

  
 d) 
21 2 x x
x x 1 x 1 x 1
      
 
 
4.- ECUACIONES 
 
10 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado: a) 25x2 – 20x + 4 = 0 b) x2 – x + 2 = 0 
 
c) 6x2 – x – 2 = 0 d) 81x2 – 49 = 0 e) 5x2 + 3x = 0 f) x2 = x 
 
 
11 Resuelve las siguientes ecuaciones reducibles: a) 
2x 5 x 2 x + 8x 3+ 2 =4 3 6
     
   
b) 3(x + 1)2 – (2x + 1)(2x – 3)=7x2 + x + 2 + (x – 2)2 
 
c) (2x – 3)(x – 1) – 2(x + 5)2=10 + (3x + 2)(3x – 2) 
 
12 Resuelve la siguiente ecuación factorizada: x(x – 7) (x2 + 9) (x2 – 5) (2x + 5)2 = 0 
 
 
13 Resuelve las siguientes ecuación de grado superior: x3 – x2 – 8x + 12 = 0 
 
14 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x4 – 29x2 + 100 = 0 b) 9x4 + 23x2 = 12 
 
15 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: a)   
2 3
2 3 2
1
xx x
 b)  

2
2
2
63x
9x 8
x 5
 
 
c)    

2x 5 3
x 4
3 3 x
 d)   
 2
3 x 2 x 2
x 2 x 2x 4
 
 
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16 Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: a) 5x 2
3
 = 4 b) 
3 2x = 4 
c) 1+ 2x 5 = x2 d) x 1 – x + 2 = 1 
 
5.- SISTEMAS DE ECUACIONES 
 
17 Resuelve los siguientes sistemas: a) 
  

      
x y
1
3 2
x 3(y x) 8x 5(2y 3) 19y
 
 
b) 
  

     
x 5
y 1
4
8y 3(x y) y 3
 c) 2 2
x y 3 0
x y 5
  

 
 d) 
2 2xy 5
xy 6
   
 
 
 
18 Clasifica los siguientes sistemas y resuelve por el método gráfico los que sean SCD: 
 
a)
2x y 0
3x 5y 0
 
  
 b) 
x 2y 1
3x 4y 12
 
   
 c) 
2x y 1
6x 3y 5
 
  
 d) 
3x 2y 6
12x 8y 24
 
   
 
 
 
19 Resuelve por el método de Gauss: a) 
   
   
    
x y z 0
2x y z 5
x 2y z 3
 b) 
   
    
   
x y z 6
x y z 4
3x y z 8
 c) 
   
  
  
3x 5y+z 4
2x y+3z 9
4x 7y+z 5
 
 
 
 
20 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 litros de leche, 6 kg de jamón 
serrano y 12 litros de aceite de oliva. Calcula el precio unitario de cada artículo, sabiendo que 1 litro 
de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite 
más 4 litros de leche. 
 
21 Un monedero contiene 1 euro en monedas de 2, 5 y 10 céntimos; en total hay 22 monedas. 
Sabiendo que el número de monedas de 5 y 10 céntimos juntas excede en 2 unidades al número de 
monedas de 2 céntimos, obtenga el número de monedas de cada tipo que hay en el monedero. 
 
22 Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además, el precio 
del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de 
carne y 250 gramos de gambas, ¿cuánto pagaríamos por 2 kilos de carne, 1 kilo de tomates y 500 
gramos de gambas? 
 
23 En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: 
vainilla, chocolate y nata. 
El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros 
el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. 
Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de 
comprar el 20% más que de vainilla. 
 
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran 
a la semana. 
b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.