Algebra Lineal 1

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Ejercicio. Utiliza reducción de filas y sustitución hacia atrás para resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.
Estos son los pasos que debe seguir para obtener la respuesta:
Paso 1. Escriba el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada.
Para aplicar la “reducción por filas”, primero debemos escribir la matriz aumentada que representa el sistema de ecuaciones.
La matriz aumentada se forma a partir de los coeficientes que acompañan a cada variable (x1, x2 y x3) y los términos independientes de cada ecuación (estos términos aparecen después del signo de igualdad). Como el sistema tiene 2 ecuaciones, la matriz aumentada debe tener 2 filas (cada fila de la matriz representa una ecuación), de igual forma tenemos una columna para cada variable y una columna para los términos independientes (son 4 columnas en total). La matriz aumentada es:
Paso 2. Utilice la reducción de filas.
Para realizar la reducción por filas, aplicamos operaciones elementales por filas para obtener una matriz de forma escalonada por filas a partir de la matriz aumentada (obtenida en el paso 1).
Las operaciones elementales a realizar se describen a continuación:
1) Multiplicamos la fila 1 por (2) y restamos de la fila 2, el resultado se coloca en la fila 2:
:
La matriz obtenida anteriormente es la matriz de forma escalonada por filas.
Paso 3. Usa la sustitución hacia atrás.
Cada fila de la matriz obtenida en el paso anterior representa una ecuación (recordar que los valores de las columnas corresponden a los coeficientes de cada variable). Entonces de la segunda fila obtenemos la siguiente ecuación:
 (ec. 1)
Despejando la variable x2 de la ecuación 1, tenemos:
 
 (ec. 2)
La ecuación 2 representa la solución para la variable x2. De la misma forma, de la primera fila de la matriz reducida obtenemos la siguiente ecuación:
 (ec. 3)
Entonces, para obtener la solución para la variable x1, sustituimos la ecuación 2 en la ecuación 3 (tenga en cuenta que estamos usando sustitución hacia atrás):
 
 
 (ec. 4)
Usando sustitución hacia atrás hemos encontrado el valor de x1. Finalmente, debemos tener en cuenta que x3 es una variable libre (el sistema tiene infinitas soluciones). Entonces la solución general del sistema es:
 
 
 
1