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FISICA GENERAL CINEMATICA DE UNA PARTICULA Prof. Ing. Alberto Pacci 1 I. INTRODUCCIÓN 2 MECANICA MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE MECANICA DE CUERPO RIGIDOS DINAMICAESTATICA CINETICACINEMATICA II. NOCION DE CINEMATICA • La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. • También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento. • En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia. 3 II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 1. ESPACIO ABSOLUTO. • Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. • Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. • El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo. 4 II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2.TIEMPO ABSOLUTO La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos. 5 II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. MOVIL El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado. 6 III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO • Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia. • En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes. a. un origen O, que es un punto del espacio físico. b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico. 7 III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO • Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo. • En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial. • De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos. 8 III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO En la Figura hemos representado dos observadores, S y S′, y una partícula P. Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente. Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes. 9 III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO • Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi circular en torno a la TIERRA. • Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea ondulante. • Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrán reconciliar sus observaciones 10 IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta 1. POSICIÓN. 11 La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O. Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O. IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 2. DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo Δx. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo 12 ' ˆ ˆ' ' x x x r r r x i xi IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3. VELOCIDAD MEDIA Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será 13 2 2 2 1 ˆ ˆ' ' ' ' m m x xx v t t t r r r x i xi v t t t t t IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3. VELOCIDAD MEDIA La velocidad media también puede interpretarse geométricamente para ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura x y base t. La pendiente de la recta es x/t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo 14 IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valores más pequeños de x. Por tanto: 15 0 0 lim( ) ˆlim( ) t t x dx v t dt r dr dx v i t dt dt 16 IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 17 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA • Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 5. RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir, 18 ( ) Trap S v t IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6. ACELERACIÓN MEDIA . Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces: 19 La aceleración media se define como: ' ' med v v v a t t t IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6. ACELERACIÓN INSTANTANEA . La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando t tiende a cero es decir: 20 0 2 2 lim( ) ( ) t v dv a t dt d dx d x a dt dt dt Ejemplo 01 • La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación Determinar: • (a) La posición, velocidad y aceleración en t = 0; • (b) La posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) La posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) El desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s; 21 2 36x t t Solución • La ecuaciones de movimiento son: • Las cantidades solicitadas son: 22 326 ttx 2312 tt dt dx v t dt xd dt dv a 612 2 2 • En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2 • En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0 • En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s 2 • En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = -24 m/s2 V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t). Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir 23 DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓNa = f(x). Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir 24 V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA 2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v). Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir 25 V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA 4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son: 26 Ejemplo El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determinar su posición y aceleración cuando t = 3,0 s. Considere que cuando t = 0. S = 0 27 Solución POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es Cuando t = 3 s, resulta • ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt • Cuando t = 3 s 28 Ejemplo 02 Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determinar la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil. 29 Solución Velocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt 30 Ejemplo 03 • Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B 31 Solución • Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm • La velocidad cuando S = 0,2 m es • El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma • Cuando S = 0,2 m el tiempo es 32 33 MOVIMIENTO RECTILÉNEO UNIFORMEMENTE VARIADO MRUV ( a = CTE) 34 EJERCICIOS: 1. Un móvil parte del reposo y alcanza una velocidad de 100 km/h en 10 segundos en un MRUV. Determinar: a) La aceleración b) El espacio total recorrido c) El espacio que recorre en el cuarto segundo de movimiento t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s t = 5 s v0 = 0 1°Seg. 2°Seg. 3°Seg. 4°Seg. 5°Seg. MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE (MRUV a=g) 35 36 EJERCICIOS 1. Desde el borde de la terraza de un edificio de 60 metros es lanzada verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 25 m/s. Determinar: a) La altura máxima alcanzada respecto a la base del edificio b) El tiempo que permanece en el aire considerando que se estrella finalmente con la base del edificio c) El espacio que recorre en el segundo segundo de su movimiento Ejemplo 04 Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en función del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente 37 tvtvdtdv a dt dv ttv v 81.981.9 sm81.9 0 0 2 0 ttv 2s m 81.9 s m 10 0 21 0 2 0 10 9.81 10 9.81 10 9.81 y t t y dy v t dt dy t dt y t y t t 2 2s m 905.4 s m 10m20 ttty Solución 38 Solución 0 s m 81.9 s m 10 2 ttv s019.1t • Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene. 2 2 2 2 s019.1 s m 905.4s019.1 s m 10m20 s m 905.4 s m 10m20 y ttty m1.25y Cuando la bola alcanza su altura máxima su velocidad es cero, entonces se tiene 39 Solución • Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos: 0 s m 905.4 s m 10m20 2 2 ttty s28.3 s243.1 t t s28.3 s m 81.9 s m 10s28.3 s m 81.9 s m 10 2 2 v ttv s m 2.22v 40 SOLUCION: • Remplazando la posición, velocidad inicial y el valor de la aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene. 2 2 2 2 1 00 20 s m 905.4 s m 18m12 s m 81.9 s m 18 ttattvyy tatvv B B • La posición y la velocidad del ascensor será: ttvyy v EE E s m 2m5 s m 2 0 41 Resolución gráfica de problemas en el movimiento rectilíneo • La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo están dadas por las ecuaciones, • La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante. • La segunda ecuación expresa que la aceleración es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante 42 / / v dx dt a dv dt VII. Resolución gráfica de problemas en el movimiento rectilíneo • Integrando la ecuación de la velocidad tenemos • El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo • El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo 43 2 2 1 1 2 1 2 1; t t t t A x x vdt A v v adt 44 Otros métodos gráficos • El momento de área se puede utilizar para determinar la posición de la partícula en cualquier tiempo directamente de la curva v- t: 1 0 1 0 0 1 1 area bajo la curva v v x x v t v t t t dv usando dv = a dt , 1 0 11001 v v dtatttvxx 1 0 1 v v dtatt Momento de primer orden de área bajo la curva a-t con respecto a la línea t = t1 1 0 0 1 1área bajo la curva abscisa del centroide x x v t a - t t t t C 45 Otros métodos gráficos • Método para determinar la aceleración de una partícula de la curva v-x tan a BC dv a v dx AB a BC subnormal EJEMPLO 10 • Un ciclista se mueve en línea recta tal que su posición es descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la gráfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0≤ t ≤ 30 s 46 EJEMPLO 11 Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una línea recta acelerando a razón constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razón constante hasta detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t’ que emplea en detenerse 47 Solución: Gráfica v - t La gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t. Usando la condición inicial v = 0 cuando t = 0 Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene 48 tvdtdvast tv 10,10;10100 00 1202,2;2;10 10100 tvdtdvatts tv Cuando t = t´, la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t’ + 120 t’ = 60 s Solución: Grafica s - t La gráfica posición-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial s = 0 cuando t = 0 Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene 49 Cuando t = t´, la posición S = 3000 m 2 00 5,10;10;100 tsdttdstvst ts 6001201202;1202;6010 2 10500 tts dttdstvsts ts Ejemplo 12 La gráfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta es el mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m 50 Solución Grafico a-s. Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser determinada usando la ecuación dv = a ds 51 0 ;15;12060 6.004.0 32.0;600 ds dv va vmsm s ds dv va svms Solución Calculo del tiempo. El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0 Cuando s = 60 m, t = 8,05 s 52 3ln5)32.0ln(5 32.0 32.0 ;32.0;600 0 st s ds dt ds v ds dtsvms st o Solución Calculo del tiempo. Para el segundo tramo de movimiento Cuando S = 120 m, t´= 12 s 53 05.4 15 15 15 ;15;12060 6005.8 s t ds dt ds v ds dtvms st Ejemplo 13 Una partícula parte del reposo y se mueve describiendo una línea recta, su aceleración de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuación la aceleración adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determinar: (a) La aceleración durante el segundo intervalo de tiempo, (b) El intervalo total de tiempo. 54 55 Solución En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo , ya que a = constante. La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto Como la aceleración es la pendiente de la curva v-t, tenemos 2 1 1 1 2 2 1 1 1 5 / 5 / ( ) 5 / (12 ) 60 / (1) v tg a m s t v m s t m s s v m s 1 2 1 2 1 3 3 2 3 3 1 1 780 ( ) ( ) 2 2 1 1 (12 )60 / ( ) 780 (2) 2 2 Td A A m t t v t v s t m s t v m 56 Solución El desplazamiento viene expresado por: 1 2 1 2 1 3 3 2 3 3 1 1 180 ( ) ( ) 2 2 1 1 (12 )60 / ( ) 180 (3) 2 2 x A A m t t v t v s t m s t v m Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta 2 2 (12 )60 / 960 4 (4) s t m s m t s La aceleración en el segundo intervalo tiempo es: 1 2 2 2 60 / 4 15 / (5) v m s a tg t s a m s 57 Solución Se determina t3 23 2 3 2 3 3 15 / 15 / ( ) (6) v a tg m s t v m s t Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene 3 3 2 2 3 3 1 1 (12 4 )60 / ( )(15 ) 180 2 2 15 / 480 ( ) 180 2 6,32 s s m s t t m m s m t m t s El intervalo total de tiempo será: 1 2 3 12 4 6,33 22,33 t t t t s s s t seg Ejemplo 14 Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales están separados 90 m tal como se indica. Determine el desplazamiento Δx del cuerpo durante los dos últimos segundos antes de llegar a B. 58 Problemas propuestos 1. El movimiento de una partícula se define por la relación donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando la velocidad es nula. 2. El movimiento de una partícula se define mediante la relación donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La posición y la distancia total recorrida cuando t = 8 s 59 3 22 6 15x t t 22 20 60x t t Problemas propuestos 3. La aceleración de una partícula se define mediante la relación . La partícula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 a t = 5 s. 4. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partícula se reduzca al1% de su valor inicial 60 2 2(64 12 ) /a t pul s VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva. 61 VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 62 OBJETIVOS 1. Describir el movimiento de una partícula que viaja a lo largo de una trayectoria curva 2. Expresar las cantidades cinemáticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial, así como radial y transversal MOVIMIENTO CURVILÍNEO 1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa por r = r(t). 63 MOVIMIENTO CURVILÍNEO 64 2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partícula se mueve durante un pequeño intervalo de tiempo t hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t + ). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa '( ) ( )r r t t r t VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 65 3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como ' ' m r r r v t t t La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento es decir es secante a la curva. La velocidad media depende del intervalo de tiempo. VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 66 4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño (t0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea. Es decir. La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria. 0 0 ' lim lim 't t r r r dr v t t t dt VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 3. Velocidad Instantánea: Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la longitud del arco s = acrPQ, obtenemos 67 0 0 0 lim lim lim t t t r s r s v s t s t A medida que Q se acerca a P la magnitud de r se aproxima a s, entonces se tiene: Además se tiene 0 lim t t dr r e ds s 0 lim t s ds v t dt t ds v e dt VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir: 68 La aceleración media es un vector paralelo a v y también depende de la duración del intervalo de tiempo Q P m Q P v vv a t t t VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 3. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir 69 La aceleración media es un vector paralelo a v y también depende de la duración del intervalo de tiempo Q P m Q P v vv a t t t VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media es decir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo 70 La aceleración instantánea es un vector que tiene misma dirección que el cambio instantáneo de la velocidad es decir apunta hacia la concavidad de la curva 0 2 2 lim t v dv a t dt d dr d r a dt dt dt MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano. 71 r t x t i y t j 2 1 2 1 2 1 r r t r t r x x i y y j x yv t v t i v t j v t x t i yt j x y x y a t a t i a t j a t v t i v t j a t x t i y t j 8.3. MOVIMIENTO PARABÓLICO Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria 72 MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis: (a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie); (b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) terrestre con la altura; (c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte. 73 74 DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0 75 0 2 0 0 2 2 0 0 ; 1 ; 2 2 ( ); x x x v v a t x x v t a t v v a x x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x x x x v v x x v t v v MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2 76 0 2 0 0 2 2 0 0 ; 1 ; 2 2 ( ); y y y y y y y y v v a t y y v t a t v v a y y 0 2 0 0 2 2 0 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) y y y y y v v gt y y v t gt v v g y y MOVIMIENTO PARABÓLICO: Altura máxima y alcance alcanzado por el proyectil 77 Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos características son de especial interés. 1. El alcance R, es la máxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil 2. La altura máxima h alcanzada por el proyectil 2 2sin 2 i ivh g 2 sin2i ivR g MOVIMIENTO PARABÓLICO: alcance alcanzado por el proyectil El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de lanzamiento es 45° 78 79 Ejercicio 1.- Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular: a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?. b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?. c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?. 80 Ejercicio 2.- Una persona arroja una pelota a una velocidad de 25,3 m/s y un ángulo de 42º arriba de la horizontal directa hacia una pared como se muestra en la figura. La pared está a 21,8 m del punto de salida de la pelota. a) ¿Cuánto tiempo estará la pelota en el aire antes de que golpee a la pared?; b) ¿A qué distancia arriba del punto de salida golpea la pelota a la pared?; c) ¿Cuáles son las componentes horizontales y verticales de su velocidad cuando golpea a la pared?; d)¿Ha pasado el punto más elevado de su trayectoria cuando la golpea? 81 Ejercicio 2.- Una persona arroja una pelota a una velocidad de 25,3 m/s y un ángulo de 42º arriba de la horizontal directa hacia una pared como se muestra en la figura. La pared está a 21,8 m del punto de salida de la pelota. a) ¿Cuánto tiempo estará la pelota en el aire antes de que golpee a la pared?; b) ¿A qué distancia arriba del punto de salida golpea la pelota a la pared?; c) ¿Cuáles son las componentes horizontales y verticales de su velocidad cuando golpea a la pared?; d)¿Ha pasado el punto más elevado de su trayectoria cuando la golpea? SOLUCIÓN a) Vx = (25.3 m/s) cos (42º) = 18,80 m/s El tiempo de vuelo está dado por: b) La distancia que se pide se mide en el eje y. Analizando el movimiento en ese eje, se puede encontrar la velocidad final, en y, antes de golpear la pared: Voy = (25,3 m/s) sen (42º) = 16,93 m/s La velocidad final, en y, es: Vfy = Voy + g*t = (16,93 m/s) + (-9,8 m/s^2)*(1,16 s) = 5,56 m/s 82 c) Las componentes verticales y horizontales de la velocidad final se calcularon en literales anteriores: Vfx = 18.80 m/s Vfy = 5.56 m/s d) El punto h se puede comparar con el punto más alto del movimiento, tomando como Vfy = 0 m/s: Ejemplo Un saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con una velocidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6 m desde el piso. Determinar el tiempo necesario para que saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que avanza 83 Ejemplo 84 La máquina de picar está diseñada para extraer madera en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el tubo se orienta a 30° respecto a la horizontal como se muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida es 6 m Ejemplo 85 La pista de carreras de este evento fue diseñado para que los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30°, desde una altura de 1m. Durante la carrera, se observó que el conductor permaneció en el aire 1,5 s. Determinar la velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal alcanzada y la altura máxima que se eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamaño de ambos. Ejemplo Un jugador de basquetbol lanza una pelota de baloncesto según el ángulo de θ = 50° con la horizontal. Determine la rapidez v0 a la cual se suelta la pelota para hacer el enceste en el centro del aro. ¿Con qué rapidez pasa la pelota a través del aro?. 86 Ejemplo Un bombero desea saber la altura máxima de la pared a la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera. ¿A qué ángulo, θ, respecto de la horizontal debe inclinar la boquilla para lograr el objetivo? 87 Ejemplo La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa con una rapidez de 15 m/s bajo un ángulo de 40°respecto a la horizontal y aterriza en el punto B. Determine la distancia horizontal R que viaja y el tiempo que permanece en el aire 88 Ejemplo El esquiador sale de la rampa formando un ángulo de θA = 25° y aterriza en el punto B de la pendiente. Determine la velocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece en el aire 89 Ejemplo • El hombre lanza una pelota con una velocidad inicial v0 = 15 m/s . Determine el ángulo θ bajo el cual podría lanzar la pelota del tal manera que choque contra la valla en un punto de máxima altura posible. El gimnasio tiene una altura de 6 m. 90 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL OBJETIVOS • Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva. 91 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL APLICACIONES 92 Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleración, debido al cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad. ¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?. Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte más alta de su trayectoria. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL POSICIÓN 93 Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria. En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partícula. El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la dirección del movimiento y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL POSICIÓN 94 En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un El radio de curvatura ρ,es la distancia perpendicular desde curva hasta el centro de curvatura en aquel punto. La posición es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL VELOCIDAD 95 Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el tiempo. La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud se determina derivando respecto del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se tiene: / tv vu v s dS dt COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN 96 Consideremos el movimiento de una partícula en una trayectoria curva plana En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en dirección tangente y una aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleración normal) La aceleración tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la velocidad La aceleración normal es la responsable del cambio en la dirección de la velocidad COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN 97 Tracemos en A un vector unitario . La aceleración será: Si la trayectoria es una recta, el vector sería constante en magnitud y dirección, por tanto Pero cuando la trayectoria es curva la dirección de cambia por lo tanto ˆ ˆ( ) ˆt t t d ve dedv dv a e v dt dt dt dt ˆ 0t de dt t̂e t̂e ˆ 0t de dt COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN 98 Introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado cóncavo de la curva. Sea β el ángulo que forma la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene: La derivada del vector unitario tangente será ˆ ne ˆˆ cos ˆˆ cos( ) ( ) 2 2 ˆˆ cos t n n e i sen j e i sen j e sen i j ˆ ˆ( ) cos ˆ ˆ t t n de d d sen i j dt dt dt de d e dt dt COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN Por otro lado se tiene que Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt. Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces La razón de cambio del vector unitario tangencial es 99 d d dS d v dt dS dt dS 1 dS d d dS ˆ 1 ˆt n de e dt COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene: Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben • La magnitud de la aceleración total será 100 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t t t n t t n n dedv a e v dt dt dv v a e e dt a a e a e 2 ˆ ˆ: t t t n dv v a e a e dt 2 2 t na a a CASOS ESPECIALES 1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta => an = v 2/ 0 > a = at = v La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la velocidad 2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante at = v = 0 => a = an = v 2/ La componente normal representa la razón de cambiode la dirección de la velocidad 101 3) La componente tangencial de la aceleración es constante, at = (at)c. So y vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0 4. La partícula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es: 2 0 0 0 2 2 0 0 1 ( ) 2 ( ) 2( ) ( ) c c c c c c s s v t a t v v a t v v a s s 2 3/ 2 2 2 [1 ( / ) ] / dy dx d y dx CASOS ESPECIALES 102 Ejemplo 01 • Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y aceleración en el instante que llega a A. Desprecie en los cálculos el tamaño del esquiador. 103 Solución • Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene. • La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su dirección será • Por lo tanto en A la velocidad forma 45° con el eje x 1, 20 1 10 2 xdx dy xy 104 Solución • La aceleración se determina aplicando la ecuación • Para ello se determina el radio de curvatura 105 2 ˆ ˆ t n dv v a e e dt 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 [1 ( / ) ] / [1 ( /10) ] 1/10 28.28 dy dx d y dx x m 2 2 ˆ ˆ 6 ˆ ˆ2 28,3 ˆ ˆ2 1,27 A t n A t n A t n dv v a e e dt a e e a e e Solución • La magnitud y la dirección de la aceleración serán: 106 2 2 2 1 2 1.237 2.37 / 2 tan 57.5 1.327 a m s Ejemplo 02 • Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante. 107 Solución • Se sabe que la aceleración tangencial es constante e igual a: • La aceleración normal será • La aceleración total será • La velocidad en este instante será 108 2 0 2,1 / 0 2,1 t t a m s Entonces v v a t v t 2 2 2 2(2,1 ) 0.049 / 90 n v t a t m s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ2,1 0.049 2,1 [0.049 ] 2,4 2,1 [0.049 ] 4,87 t t n t n v a a e e a e t e a t t t 2.1 10.2 /v t m s Ejemplo 03 Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s 2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B 109 Ejemplo 03 La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A. La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es: 110 0 0 2 0.2 (1) 0.2 0.1 (2) t v t a v t dv tdt v t Ejemplo 03 Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir De la geometría se tiene sB = 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m. Entonces tenemos: 111 2 2 0 0 3 0.1 0.1 0,0333 (3) S t ds v t dt ds t dt S t 36,142 0,0333 5,69 t t s Ejemplo 03 Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta: En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será: La aceleración total será: Su modulo y dirección serán: 112 2 2 ( ) 0.2(5.69) 1.138 / 0.1(5.69) 3.238 / B t B B a v m s v m s 2 2( ) 5.242 /BB n B v a m s 2 , ˆ ˆ ˆ ˆ1,138 5,242 B B t B t n B t n v a a e e a e e 2 2 2 2 1,138 [5,242] 5,36 / a a m s 1 5.242[ ] 77,75 1,138 tg Ejemplo 04 113 Una partícula se mueve en una trayectoria curva de tal manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceración a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación: 3 1 vxa v Ejemplo 04 Sabemos que la aceleración en cualquier instante es Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos Debido a que la aceleración tangencial son colineales su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos Remplazado la aceleración normal tenemos: 114 t na a a t n t n t n a a a vxa vx a a vxa vxa vxa 0 90 n n n n n vxa vxa vxa vxa vxa vxa va sen va 2 3 ( ) 1 v vxa v vxa v Ejemplo 115 Ejemplo 116 Ejemplo 117 Ejemplo • Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del bote en t = 3 s. 118 Ejemplo • Un avión viaja a lo largo de una trayectoria parabólica vertical . En el punto A el avión tiene una velocidad de 200 m/s la cual se incrementaa razón de 0,8 m/s2. Determine la magnitud de la aceleración del avión cuando pase por A. 119 20,4y x Ejemplo • El jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30° como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento y (b) en el vértice. Calcular en cada caso, la variación de celeridad por unidad de tiempo. 120 ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un marco de referencia fijo. Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia. Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano. 121
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