Análisis de Fourier

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Abel Cordero Salgado
IC43122
Álgebra lineal
1er semestre
Ingeniería civil
Universidad del Valle de Puebla
Análisis de Fourier
El análisis de Fourier es una herramienta matemática que permite expresar una función f(t) en relación a un conjunto de funciones ortogonales gi(t), mediante una combinación lineal de éstas. Es decir, f(t) = ∑ iaigi(t).
Eligiendo convenientemente el conjunto de funciones ortogonales podemos realizar un análisis de f(t) en función de las características o propiedades de las funciones gi(t).
Una de las aplicaciones prácticas más frecuentes del análisis de Fourier es la representación de señales en función de sus componentes de frecuencia. Esto se consigue porque las funciones base en el Análisis de Fourier son sinusoides.
La serie trigonométrica de Fourier
Permite representar una función como una suma de funciones sinusoidales.
Sea f(t) una función definida en el intervalo (t0, t0 + 2π ω0). La serie trigonométrica de Fourier permite representar f(t) en términos del conjunto ortogonal completo de funciones senoidales:
{1; cos(ω0t), cos(2ω0t), ⋯, cos(nω0t), ⋯; sin(ω0t), sin(2ω0t), ⋯, sin(nω0t), ⋯}
Mediante la combinación lineal:
f(t) = a0 + ∑ n=1∞a n cos(nω0t) + bn sin(nω0t)
Donde:
t0 < t < t0 + 2π w0, ω0
Es la componente de frecuencia fundamental expresada en radianes por segundo y a0, an y bn son los coeficientes la serie trigonométrica de Fourier.
Nótese que dicha sumatoria sólo puede reproducir el comportamiento de una función (o una señal) en un intervalo (de tiempo) igual a:
2π ω0
Tal y como se acaba de definir, dicho intervalo es igual al periodo de la componente de frecuencia más baja que existe en la señal.
Usos
La serie de Fourier es muy usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Se utiliza en muchas áreas de ingeniería donde se analiza y diseñan sistemas dinámicos.
Ingeniería mecánica: para balancear rotores y eliminar la vibración que generan cuando no están balanceados.
Ingeniería de control: Para estudiar estabilidad de los sistemas de control utilizados en diversos equipos Ingeniería. El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes.