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5« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría TEMA 01 SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. Lado inicial Lado final O Vértice Giro antihorario es positivo + Giro horario es negativo - Nota: Ángulo de una vuelta: Ángulo de media vuelta: Ángulo de un cuarto de vuelta: 1. Sistema Sexagesimal Es aquel que tiene como unidad a un grado sexagesimal (1°) que es equivalente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta. 1 vuelta 1º 1 vuelta 360º 360º Sub-unidades: Minuto sexagesimal: 1º 1' 60' 1º 60 Segundo sexagesimal: 1' 1" 60" 1' 60 Luego: 1º = 60' = 3600" ; 1º 1" 3600 2. Sistema Radial Es aquel que tiene como unidad a 1 radián (1 rad). Un radián: es el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. O r 1rad r r r: radio de la circunferencia Consideraciones: * 1 vuelta 2 rad 1 * vuelta rad 2 1 * vuelta rad 4 2 CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Es el procedimiento por el cual la medida de un ángulo puede expresarse en otra unidad diferente. Sea "S" y "R" las medidas de un mismo ángulo expresado en los sistemas sexagesimal y radial respectivamente. Si: 1 vuelta 360º 2 rad S 360 R 2 180 S R 180 Como regla práctica utilizaremos un factor de conversión (Fc). 1. Convertir "" radianes a grados sexagesimales. S R 180 180 180 S . Fc Si: 3 rad 180 S . 3 540º 2. Convertir "" grados sexagesimales a radianes. R S 180 R . Fc 180 180 Si: 50º R 18 0 . 5 0 5 rad 18 6 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria Bloque I 1. Calcular: 5º 30' E 10 ' 2. Calcular: 2º 20' E 5 ' 3. Calcular: 3º15' K 15' 4. Convertir 10º a radianes. 5. Convertir 15º a radianes. 6. Convertir 20º a radianes. 7. Convertir rad 3 a grados sexagesimales. 8. Convertir rad 6 a grados sexagesimales. 9. Convertir rad 18 a grados sexagesimales. 10. Calcular: rad 10º 2H 20º 11. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, ¿a qué es igual "E"? CE S 12. Siendo "S" y "C" lo convencional para un ángulo no nulo; reducir: 7« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría C SL C S 13. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, que verifica: S + C = 19, siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. 14. Halle la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: C – S = 2; donde "S" y "C" son lo conocido para dicho ángulo. 15. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: 2S CK C S Bloque II 1. Calcular: rad 14º 5M 10º 2. Calcular: rad 12º 10K 30º 3. Calcular "x", si: (3x 5)º rad 9 4. Calcular "x", si: (2x 1)º rad 36 5. Calcular "x", si: (7x 4)º rad 4 6. Calcular "x", si: 40º x rad 8 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 7. Calcular "x", si: 300º rad x 8. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo. Calcule la medida centesimal si se cumple: 1 1 S C 2 1 SC 1. Calcular 72º en radianes. 2. Calcular 22,5º a radianes. 3. Calcular: 7º 9K 20 4. Calcular "x". 5. Señale la medida radial de un ángulo que cumple: C – S + R = 20 + 6. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo; calcule el ángulo en radianes si se cumple: S = xx + 1 C = xx + 3 9. Señale la medida radial de un ángulo que cumple: 2 2 2S C 20R S C R 9 10 10. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo, tales que: S 1 C 1x 2x 9 x 10 x 7. Calcule la medida de un ángulo en radianes que cumple: C 17 S 7n n 10 18 Siendo "S" y "C" lo convencional. 8. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia de sus números de grados centesimales y sexagesimales es 5. 9. Sabiendo que el doble del número de grados centesimales de un ángulo excede a su número de grados sexagesimales en 22, calcule la medida centesimal del ángulo. 10. Calcule la medida circular de un ángulo que cumple: S + C + R = 380 + Siendo "S", "C" y "R" lo conocido. 9« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría N OT A 2. Calcule la medida sexagesimal de un ángulo que verifica: C – S = 3; siendo "S" y "C" lo convencional. 3. Efectuar: 20 4P 21 grad 1. Calcular la medida radial de un ángulo que cumple: S C R 1 180 200 5 10 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria TEMA 02 LONGITUD DE ARCO - SECTOR CIRCULAR LONGITUD DE UN ARCO Viene a ser una aplicación del radián que permite calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central en una circunferencia. Del gráfico: O A R R L B rad L : Longitud del arco AB. : # de radianes contenidos en el ángulo central. R : radio de la circunferencia. Se cumple: L R PROPIEDADES 1. L1 L2 R r 2 1 L R L r 2 . L1 L2 d d 2 1L L d 3. L 2L 3L 4. L1 L1 L1 O C D EF B A L2 1 3 2 4L L L L ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR Viene a ser otra aplicación del radián que permite calcular el área de la región limitada por un ángulo central y su arco correspondiente en una circunferencia. Del gráfico: O A R R L S B rad Región AOB: Sector circular AOB. L: Longitud del arco AB. R: Radio de la circunferencia. : # de radianes contenidos en el ángulo central. S: Área del sector circular AOB. Se cumple: 2RS 2 LRS 2 2LS 2 11« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría Bloque I 1. Calcular l, si: 45º r=8c m l 2. Calcular si: l cm r=20 cm 3. Calcular si: l 5 m r=15 m 4. Calcular l a si: 2m 2 m l a 3m 5. Calcular l b si: 3m l b 2m 2m 6. Calcular "x", si: 2m (x-2)m xm 8m 7. Calcular "x", si: xm xm (5-x) m 4m 12 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 8. Calcular "". 3 m 8m 2 m 9. Calcular "". m m m 2 10. Calcular "", si: 5m 3m 2m 11. Del gráfico calcule el área del sector circular. B O 6m 6m A rad 6 12. Calcule el área del sector circular. B O 36º 20m 20m A 13. Calcule el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 40g y su radio mide 10m. 14. En un sector circular el radio mide 4m y el arco correspondiente mide 3m, ¿cuál es el área del sector? 15. En un sector circular el ángulo central mide 20º y el arco correspondiente mide 4m. ¿Cuál es el área del sector circular? Bloque II 1. Calcular: 1 + 2 l 12m l 2 13« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 2. Calcular: 1 2 3 2 E l 1 l 2 l 3 3. Calcular "", si: 8l 4l 4. Calcular "", si: 3l 2l 5. Calcular: 1 + 2 l 1 20º 30º 18m l 2 6. Calcule el área de la región sombreada. A C 45º 2 2 D B 7. Del gráfico, calcule el área de la región sombreada. 8 11 A B C D F E O 9 14 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 8. Del gráfico, calcule: 2 1 S E S O C D S1 A S2 B 9. Calcule "L", si: S = 3u2 O 30º M N L S A B 2 2 10. Calcular: 1 + 2 l 1 20º 10º 24m 2a l 2 a 1. En un sector circular de radio 20m y ángulo central 20g. ¿Cuánto mide la longitud del arco? 2. En un sector circular, se cumple que el arco mide 3 y el radio mide 9m. ¿Cuál es la medida del ángulo central? 3. En un sector circular el arco mide 4m y el ángulo central mide 45º. ¿Cuánto mide el radio? 4. Calcularl, si: 60º r=10 m l 5. Calcular la longitud de un arco cuyo ángulo central mide 30º y su radio mide 24 cm. 6. En un sector circular, la longitud del arco es 4cm y el ángulo central mide 50g. ¿Cuánto mide su radio? 7 7. Calcular si: l cm r=6c m 15« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 8. En un sector circular el ángulo central mide 45º y el radio 8m. ¿Cuál es su área? 9. En un sector circular el ángulo central mide 40g y el radio 5cm. ¿Cuál es su área? 10. Calcular 1 2 . l 1 30º 60º 10m l 2 N OT A 2. Calcular l, si: 30º r=12 cm l 3. Calcular: 1 2 3 1 E 3 l 1 l 2 l 3 1. En un sector circular el ángulo central mide 100g y el radio 4cm. ¿Cuál es su área? 16 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria TEMA 03 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I Sea el triángulo ABC. c 90º B C A ca b a: cateto opuesto al . b: cateto adyacente al . Seno: Cat. Opuesto a sen hipotenusa c Coseno: Cat. Adyacente b cos hipotenusa c Tangente: Cat. Opuesto a tg Cat. Adyacente b Bloque I 1. Calcular: 2 2E sen cos 2 3 2. Calcular: sen . tg E tg cos 5 3 3. Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3cm y b=4cm. Calcular el coseno del menor ángulo agudo. 4. Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos están en la relación de 3 a 2; calcule el seno del mayor ángulo agudo. 5. Calcular: E sen sen Si: a b 5 3 a b 6. Si: 1 sen 3 Calcular: tg Donde "" es agudo. 17« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 7. Si: 3 cos 4 Calcular: sen Donde "" es agudo. 8. Si: 1 Tg 2 Calcular: E sen . cos ; " ": agudo 9. Calcular tg: 9 1 10. Calcular tg: 9 4 Bloque II 1. Calcular: 2E 13 sen 1 Si: 3 cos ; : agudo 13 2. Calcular: E 10 cos 2 tg Si: 3 sen ; : agudo 10 3. Calcular: 1 E sen cos 4 8 x x+2 4. Calcular: E 5(sen cos ) 4 x x+2 18 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 5. Calcular: tg M tg 3 1 6. Si: 8 sen es agudo. 17 Halle: tg + sec 7. Si: 2 5 1 sen – sen , donde es agudo. 3 24 4 Calcule: sen4 3G ctg csc – 3tg 8. Calcular: K tg . tg 2 3 9. Calcular "x", si: M tg . tg 10. Si: 5 tg 7 ; calcule tg. Donde ABCD es un cuadrado. A B D C P 19« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 1. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7 . Calcular el seno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. 2. En un triángulo rectángulo los catetos miden 2 y 5 . Calcular la secante del mayor ángulo agudo. 3. Si: a c 8 10 Calcular: E sen cos a b c 4. Calcular tg, si: 1 8 5. Calcular: E tg tg 3a 2a a 6. Si: 1 tg 2 Calcular tg. 7. En un triángulo rectángulo ABC c 90º Si: senA 2 . senC Calcular tgA. 8. Calcule: P = tg + sec2 + 9csc2 3 10 9. En un triángulo ABC (B=90º) Si: tgA = 2,4 Calcule: 1 1 E sen C ctg A 10. Del gráfico, calcular “sen” A 0 B88 C T 1 20 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria N OT A 2. Calcular tg: 4 1 3. Siendo un ángulo agudo y: 15sen – 8cos = 0 Calcule: M = 0,5sen + 2cos 1. Si “” es un ángulo agudo; tal que: cos q = 1/3; calcu- lar “tan ”. 21« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría TEMA 04 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II c b a AB C Para el ángulo . b : Hipotenusa a : Cateto Opuesto c : Cateto Adyacente Luego podemos definir ctg = Cateto Adyacente Cateto opuesto = c a sec = Hipotenusa Cateto adyacente = b c csc = Hipotenusa Cateto opuesto = b a Bloque I 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º). Reducir: E = senA . secC 2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º). Reducir: K=cosC . secC + 2tgA . tgC 3. Si sen= 3 5 ; donde "" es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, calcular: 2M 1 ctg 4. Siendo: tg= 8 15 , es agudo. Calcular: 2P 1 tg 5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe que: b = 13 y a = 5. Calcular: E = secC + ctgA 6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe que: a + b = 3c. Calcular: R = secA + ctgC 22 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 7. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. 8. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doble de uno de los catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo. 9. Siendo un ángulo agudo donde: 9 sen – 4 cos = 0 Calcule: N ctg – tg 10. Si: 3 sec 10 Calcule: tg+ ctg Bloque II 1. Del gráfico, calcular: E = ctg ctg Si: MNPQ es un cuadrado. M a N Q P 2a 2. Calcular: E ctg .sec 8 6 3. Dado: sen 0,6 . Calcular: 2 2R sec tg Donde es agudo. 4. Si: cos = 0,8 , calcular: M =3csc +4sec Donde es agudo. 23« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 5. Calcular: ctg. Si AM es bisectriz. M A B C 3 2 6. Calcular: tgx. Si: 1 sen = 2 x 7. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe: tgA= 12 5 . Calcular: E = cscC+ctgC 8. Si: tg = 3 4 . Calcular: M 2csc ctg Donde es agudo. 9. Si en un triángulo rectángulo ABC ( B̂ = 90°), se cumple que: 3 senA = senA5 (cos C) Calcular: E = 11 cotA + 4cscA 10. Del gráfico, calcular: ctg ctg K tg A C M B 24 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 1. Del gráfico, calcular: E = tg . tg 2. Calcular: tgA. Si PQRS es un cuadrado. R P S B A Q 1 4 3. Sea un triángulo ABC (recto en B). Si: senA . senC= 1 2 . Calcular: E = ctgC + ctgA 4. Si: ctg = 1 3 ; donde : ángulo agudo.. Calcule: sec . csc 5. Si: ctg = 4. Calcular: sen cos E csc Donde es ángulo agudo. 6. Si: 1sen 2 ; donde es agudo.. Calcule: csc2 - ctg2 7. Calcule: E = tg . tg 8. Determine: tg Si: 3 2 tg , AD AC 2 11 B A CD 9. Del gráfico, calcule: tg · tg. 3a a 10. Calcule: tg2 3 5 25« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría N OT A 2. Si sen= 4 5 ; donde "" es un ángulo agudo de un triángulo rec- tángulo, calcular: 2M 1 tg 1. Del gráfico, calcule: Q = (ctg + tg)2 2m 6m 3. Calcule: csc 2 8 4 26 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria TEMA 05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS NOTABLES 60º 30º 2k 3 k k 45º 45º k k 2k 53º 37º 3k 5k 4k 74º 16º 7k 25k 24k 30º 37º 45º 53º 60º 16º 74º sen 1 2 3 5 2 2 4 5 3 2 7 25 24 25 cos 3 2 4 5 2 2 3 5 1 2 24 25 7 25 tan 3 3 3 4 1 4 3 3 7 24 24 7 cot 3 4 3 1 3 4 3 3 24 7 7 24 sec 2 3 3 5 4 2 5 3 2 25 24 25 7 csc 2 5 3 2 5 4 2 3 3 25 7 25 24 Bloque I 1. Calcular: E = 8sen45º + 4cos45º 2. Calcular: M = 3. tg 30º 4 cos60º 3. Calcular: R = cos260º . tg245º . sen230º 4. Resolver: A = sen53º . cos60º + sen37º . sen30º 27« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 5. Calcular: 2R 1 cos 60º 6. Calcular: E = cos37º. ctg53º.sec60º 7. Calcular: 2A 3.tg 60º. 8 sen30º 8. Calcular: E = 16Cos60º + 32Sen37º 9. Calcular: A = (csc30º)tg45º –(ctg45º)sec60º 10. Calcular: E = (sec 60º + csc30º) . sen 37º 11. Calcular: M = 32sen53º + 9sen30º 12. Si: tg = Cos 30º. Calcular: sen es agudo. 13. Si: sen= sen30º . tg37º . sec60º. Calcular: cos; es agudo. 14. Calcular: E a b ; si: a = sen30º + tg37º b = sec60º + cos230º 15. Calcule: E = sen16º . cos 16º 28 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria Bloque II 1. Del gráfico, calcular: tg. 45º B A C D2 1 2. Calcular x del gráfico. x 53º 45º 8 3. Calcular: tg 37ºM Q N P 4. Calcular: x. 30º B A D C 20 x 5. En el gráfico, calcular: x. A A 30° H x C D 16 6. Del gráfico, calcular: tg. 45º AB C D 29« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 7. Calcule: ctg, en el gráfico. 37º A B C M 8. Calcular: DB, si: AC 2 6 C BA 45º 60º D 9. Del gráfico; calcular: sen. O: Centro de la semicir- cunferencia. 16º O 10. Del gráfico, calcular: tgx. C B A x 74º 100 D 4 30 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria N OT A 2. Del gráfico, calcular: ctgx. 37º BA C x 1. Del gráfico, calcular: tgx. x 3. Calcular: C = 24cos37º . tg16º . sec37º . sec74º 1. Calcule: S = tg74º + ctg16º 2. Calcule: R = tg53º . sec16º 3. Calcule: P = cos53º . tg74º 4. Calcular: E = tg2 30º . sen 2 30º 5. Calcular: Q = sen2 30º + tg37º 6. Calcule: tg. 37ºA M B C \ 7. Calcule: 2R 1 tg 16 8. Del gráfico, calcular: tg. 37º A M B C 9. En el gráfico mostrado, calcular: ctgx. Si: B A C60º 60º M 3 2 x 10. Calcule: 2 sen30º . tg16º . ctg53º H tg 45º 31« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría TEMA 06 PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Bloque I 1. Calcular x, si: senx . csc10º = 1 2. Calcular x, si: cos2x . sec20º = 1 3. Calcular x, si: tg3x . ctg(x + 40º) = 1 4. Calcular x, si: cos(x + 40º) . sec(2x + 10º) = 1 5. Calcular x, si: senx = cos40º 6. Calcular x, si: sen csc15 1x R.T. RECÍPROCAS De las R.T. definidas, para un mismo ángulo se puede notar que tres de ellas son las recíprocas de las otras tres, esto es: seno y secante sen . csc 1 coseno y secante cos . sec 1 tan . cot 1tangente y cotangente R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Para dos ángulos cuya suma es 90º; es decir, son complementarios, se cumple: También :Si : 90º , entonces : sen cossen cos tan cot 90ºtan cot sec cscsec csc x y x yx y x y x yx y x yx y 7. Calcule x, si: cos3x.sec12°=1 8. Calcule x, si: tg4x.ctg(2x+30°)=1 9. Calcule x, si: sec(2x–50°) . csc(x+20°)=1 10. Calcule x, si: tg2x=ctg60° 11. Calcular 2x – y, si: senx . csc2y = 1 tgy . ctg20º = 1 32 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 12. Calcular x, si: sen(x – y) = cos(2x + y) 13. Calcular x, si: tg2x . tg40º = 1 14. Calcular x – 5º, si: sen(x – 10º) . sec(x + 10º) = 1 15. Calcule x, si: sec(x+20°)=csc(x–20°) Bloque II 1. Simplifique: sen 20 tg35 E cos 70 ctg55 2. Reduce: sec 20º ctg10º cos 31º csc 70º tg80º sen59º 3. Calcule: E sen10 csc10 3 sec 80 4. Reduce M = cos22º (sec22º – 8csc68º) 5. Calcular: 4ctg( 20º) 3sec(20º )8sen10ºE cos80º tg(70º ) csc( 70º) 6. Simplifique: cos8 sec16 tg25 E sen72 csc74 ctg65 7. Calcule: E 9 sen40 csc 40 8. Reduce: E tg1 tg2 tg3 ... tg89 33« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 9. Calcule x, del gráfico: A B CD x 8 Además: tg 2 45 ctg 0 10. Simplificar: 2 2 2 2 a b cos50º ab(sen40º 1)K a b sen40º ab(cos50º 1) N OT A 2. Calcular x + 5º, si: tg2x = ctg40º 3. Sabiendo que: cos(60°–x) .sec2x=1 sen3x=cos3y Determine (2y –x) . 1. Calcule x, si: tg 2 40 ctg 10 1x x 34 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 1. Calcule x, si: senx . csc 10° = 1 2. Calcule y, si: cos 2y . sec 20° = 1 3. Calcule tg x, si: tg(x+10°)=ctg(x – 10º) 4. Simplifique: E = (sen 40° + 2 cos 50°) . csc 40° 5. Simplifique: E = tg 10° . tg 20°. tg 30° ... tg 80° 6. Calcular x; si: sen7x = cos2x 7. Calcular x, si: cos5x . sec40º = 1 8. Calcular: P = (tg40º + 3ctg50º) ctg40º 9. Calcular: C = tg1º . tg2º . tg3º ..... tg89º 10. Calcular: sen16º cos18º sec35ºP cos74º sen72º csc55º 35« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría TEMA 07 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CÁLCULO DE LADOS lado desconocido=R.T ángulo conocido lado conocido Se tienen los siguientes casos: I. Conocido el ángulo agudo y el cateto L adyacente a dicho ángulo. A B C L xy Aplicando: tg L tg L sec L sec L x x y y Es decir: A B C L A B C L Lsec Ltg II. Conocido el ángulo agudo y el cateto L opuesto a dicho ángulo. A B C L x y Aplicando: ctg L ctg L csc L csc L x x y y A B C L A B C Lctg Lcsc L III. Conocido el ángulo agudo y la hipotenusa L del triángulo. A B C L x y Aplicando : sen Lsen L cos L cos L x x y y A B C L A B C Lcos LsenL ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo cualquiera es igual al semiproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. En el gráfico; S área del triángulo ABC. A B CH a c h b . S 2 b h pero: h=a senC . sen .sen 2 2 b a C ab S C Es decir: S senC senB sen A 2 2 2 ab ac bc Por ejemplo; en el triángulo ABC: 37°A B C 10 7 S 7.10 S sen37 2 3 pero : sen37 5 7.10 3 luego : S . 2 5 S 21 5 3 4 37º 53º 36 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria Bloque I 1. Calcule (x+y) en términos de m y x m y 2. Calcule el área del triángulo en términos de a y . a 3. Calcule x del gráfico; en términos de a, y a x 4. Calcule x en términos de m, y xm 5. Calcule BC en el gráfico: 10 A B C 6. Determine x; en el triángulo x 8 60° 7. Determine el perímetro del triángulo dado: m 8. Calcule el perímetro del triángulo dado: a 9. Calcule sen , si ABCD es un rectángulo.. A B C D 2 2 3 37« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 10. Calcule, sen , si ABCD es un rectángulo.. A B C D 12 9 16 Bloque II 1. Calcule x en términos de a, y x a 2. Calcule x en términos de y r x r 3. Calcule x en términos de H, y . H x 4. Calcule x en términos de d, y . d x 5. Calcule x en términos de a, y a x 38 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 6. Calcule x en términos de a y Si ABCD es un rombo. x a A B C D 7. Calcule x en términos de my m x 8. Calcule x. x 4 53º37º 9. Calcule “tg ” 1 23 10. Calcule x en términos dea y a x 39« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 1. Calcule “AB” del gráfico en términos de : 5 CA B 2. Calcule x del triángulo. 70º x 14 3. Calcule x del gráfico en términos de n y x 45º n 4. Calcule el perímetro del triángulo ABC. 4 C B A 5. Calcule “Tg ” en el gráfico en términos de A D C B 3 2 6. Calcule BC en el gráfico: C AB x m 7. Calcule el perímetro del triángulo ABC. C AB 4 3. Calcule AC en el gráfico. A B CD H 9. Calcule cos 5 3 10. Calcule w = tg– ctg 40 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria N OT A 2. Calcular x en la figura. Si sen 1/ 2 x 6 3. Calcular el valor de y en términos de a y A H C a B y 1. Calcule x en términos de a, y a x 41« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría TEMA 08 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANO CARTESIANO Llamado también sistema de coordenadas rectangulares, es aquel sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema. X Y (+) (+) ( ) ( ) ICIIC IVCIIIC En el gráfico adjunto se puede apreciar la división del plano en cuatro regiones, cada una de las cuales se va a denominar cuadrante y tienen la numeración que se indica. Las rectas numéricas se llaman: eje X: eje de abscisas. eje Y: eje de ordenadas. Nota: Los cuadrantes no consideran a punto sobre el eje X e Y. Sobre este plano cartesiano, René Descartes dio origen a su Geometría Analítica y a representar geométricamente ecuaciones algebraicas que relacionaban dos variables (x e y); tal es el caso de las rectas, las cónicas (parábola, elipse, hipérbola), la circunferencia y otras curvas maravillosas (lemniscatas, cicloides, espirales de Arquímedes, etc.); que son materia de análisis en un curso más completo de Geometría Analítica que el que aquí presentamos. PAR ORDENADO (X;Y) Es un conjunto formado por dos elementos que tienen un orden establecido, el primer elemento pertenece al eje de las abscisas, el segundo elemento pertenece al eje de las ordenadas. x: ubicación del punto respecto del eje de abscisas y: ubicación del punto respecto del eje de ordenadas. UBICACIÓN DE UN PUNTO Un punto queda localizado en el plano cartesiano; cuando se conocen los valores que le corresponden a la proyección del punto sobre cada uno de los ejes. En el gráfico: X Y y x y 0 P( )x;y x e y: componentes de P. El punto es: P(x; y) x: abscisa de P. y: ordenada de P. OP : radio vector Se cumple: 2 2 2r x y ; r > 0 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos 1 1 2 2A ; y B ;x y x y ; la distancia entre ellos es calculada así: A( )x ; y1 1 B( )x ; y2 2 2 22 1 2 1(A,B) d x x y y Ejemplo: X Y B(-2;2) A(1;5) 2 -2 1 5 42 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria A(1; 5) y B(–2; 2) 2 2d(A;B) 1 2 5 2 d(A;B) 9 9 18 d(A;B) 3 2 DISTANCIA HORIZONTAL (DH) Dado los puntos P(x1; y) y Q(x2; y), entonces la distancia horizontal (DH), se calcula restando las abcisas de P y Q. H 2 1 2 1 D , dondex x x x Ejemplos: 1. Hallar la distancia horizontal entre P(–4; 3) y Q(5; 3) H HD 5 ( 4) D 9 DISTANCIA VERTICAL (DV) Dado los puntos P(x; y1) y Q(x; y2), entonces la distanc ia ver tica l (DV) , se ca lcula restando las ordenadas de P y Q. V 2 1 2 1 D , donde y y y y 1. Hallar la distancia vertical entre A(–4; 5) y B(–4; –3). V V D 5 ( 3) D 8 2. Hallar la distancia vertical entre R(2; 16) y S(2; 4). V VD 16 4 D 12 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO P (x ; y )1 1 1 x y P (x ; y )2 2 2 M(x ; y )0 0 Las coordenadas del punto medio M(x0; y0) de un segmento cuyos extremos son: 1 1 1P x ;y y 2 2 2P x ;y son: 1 2 0 x x x 2 1 20 y y y 2 PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta “L” se denota por «m» y se define como la tangente de su ángulo de inclinación “ ”. Es decir: m tg Ejemplos: X Y L 30° o m tg30 3 m 3 X YL m t g120 m 3 Si una recta “L” pasa por los puntos 1 1 1P x ;y y 2 2 2P x ;y la pendiente “m” se calcula como sigue: L P (x ;y )1 1 1 P (x ;y )2 2 2 m = y - y x - x 2 1 2 1 Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos 1 2P 2; 3 y P 5;6 Resolución: 6 3 9 m 3 5 2 3 ECUACIÓN DE UNA RECTA Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P(x1;y1) es un punto conocido de ella, entonces la recta “L” queda determinada mediante la ecuación: 0 0y y m x x forma punto-pendiente Esta ecuación la convertimos a una expresión lineal y resulta: Ax By C 0 forma general Ejemplo: Calcule la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(4 ; -3) y B(7 ; 9). 43« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría Resolución Primero; calculamos la pendiente con los puntos A(4;– 3) y B(7 ; 9). 9 ( 3) 12 m 4 7 4 3 Segundo; reemplazamos la pendiente “m” y el punto conocido A(4 ; -3) en la ecuación punto pendiente, así: y =– (–3) = 4 . (x - 4) y + 3 = 4x - 16 0 = 4x - 16 - y - 3 0 = 4x - y - 19 4x y 19 0 forma general Si reemplazamos como el punto conocido a B(7; 9) la ecuación resulta la misma. 4x y 19 0 PROPIEDADES I. Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C=, su pendiente “m” se calcula como sigue: A m B Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta cuya ecuación es: 3x - 4y -12 =0 Resolución: 3 3x 4y 12 0 m ( 4) 3 m 4 II. Si un punto (a;b) pertenece a una recta “L” de ecuación: Ax+By+C=0 , entonces debe satisfacer su ecuación, es decir: (a;b) L: Ax+By+C=0 Aa + Bb + C=0 Ejemplo: El punto (a;5) pertenece a la recta de ecuación: 2x - 3y - 12 =0. Calcule el valor de “a”. Resolución: (a;5) L: 2x – 3y – 12 = 0 2a – 3(5) – 12=0 27 a= 2 Bloque I 1. Indicar las coordenadas de cada punto. -1 -1 -9 -3 -8 4 7 3 5 6 A B C D E G X Y 1 1F 2. ¿En qué cuadrante se ubica P(-3;2)? 3. ¿El punto P(4;0) se ubica en el IC? 4. ¿Cuál es la distancia del punto P(3;6) al eje X? 5. ¿Cuál es la distancia entre P(1;-2) y Q(4;2)? 44 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 6. ¿Cuál es la distancia entre A(3;5) y B(3;-4)? 7. ¿Cuál es la distancia entre M(-2;6) y N(4;-2)? 8. Dado los puntos P(-6;2), Q(4;2); R(1;5) y T(1;-5). Calcule: PQ E RT 9. En el gráfico. Calcule PQ. P(-4;3) Q(5;3) X Y 10. En el gráfico. Calcule DC. D C X Y (-5;-4) (6;-4) 11. En el gráfico. Calcule EF. F(2;-3) E(2;2) X Y 12. En el gráfico. Calcule MN. N(-4;7) M(-4;1) X Y 13. Determine el perímetro de la figura: X Y (-5;-2) (6;5) 45« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 14. Calcule tg , si: X Y (-3;-2) (9;-2) (-3; 7) 15. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(3;1) y B(7;4). Calcular su perímetro. Bloque II 1. Calcule la suma de coordenadas del punto “M” P(2;5) Q(10;7) M 2. Del gráfico, calcule “y0 - x0”: A(–5;2) B(1;8) (x ;y )0 0 X Y 3. Calcule: bE a (6;3) X Y (a;b)(–4;7) 4. Calcule las coordenadas del punto “P” P(x ; y) Q(8;12) M(6;9) 46 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 5. Calcule las coordenadas del punto “N” N(x ; y) (6;2) Q(4;3) 6. Calcule la distancia vertical: (–6;5) (2;5) M (x;–3) DV 7. Del gráfico, calcule: “y0 - x0” A(-2;2) B(8;4) (x ;y )0 0 X Y 8. Halle: b R a (–2;10) (8;2) (a;b) X Y 9. Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es 60º. Halle la pendiente de dicha recta. 10. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 5 y pasa por el punto (2;5) 47« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-1; 3) y B(2; 5)? 2. Calcule la distancia horizontal: X Y (-4; 4) (6; 4) DH 3. Calcule la distancia vertical: X Y (3; -2) (3; 4) DV 4. Calcule: (x0 + y0). X Y B(4; )y(-3; 3) 0 C ( ;-4)x0 A 5. Calcule las coordenadas del punto “M” A(4;7) B(10, 3) M 6. Calcule las coordenadas del punto “A” A B(8;6) M(12;10) 7. Calcule : a E b (–4;–2) (a;b) X Y M(4;2) 8. Calcule la pendientede la recta que pasa por los puntos (2;5) y (4;11). 9. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5;1) y (7;3). 10. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 4 y pasa por el punto (3;3). 48 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria N OT A 1. Calcule la suma de distancias de los segmentos AB y CD. (-4;6) (10;6) X Y (7;4) (7;-4) A BC D 3. Calcule las coordenadas del punto “R” Q(–4,–2) R (x ; y) M(4;2) 2. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (3;4). 49« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría TEMA 09 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD I Llamada también en posición canónica o standar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano, siendo el que indica a que cuadrante pertenece el ángulo. Y X ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL En el gráfico, por ejemplo no es un ángulo canónico (note donde se inicia). Como , y son ángulos canónicos; decimos: IIC, IIIC; IVC. PROPIEDAD Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta, entonces se cumple que: Si IC 0 90 Si IIC 90 180 Si IIIC 180 270 Si IVC 270 360 DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico, tomamos un punto que pertenezca a su lado final. Luego: Donde: X: abscisa Y: ordenada r: radio vector Además: r2 = x2 + y2 Y X P(x; y) r sen csc cos sec tg ct y r r y x r r x y xg x y Bloque I 1. Calcular la longitud de OP , si: P(3; 4) y ‘‘O’’ es el origen del sistema. 2. Calcular el radio vector del punto P(8; 6) 3. Hallar “y0” (12; )y13 Y X 0 50 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 4. Hallar sec (–2; 4) X Y 5. Calcular: E = sen + cos ( 3; 2) Y X 6. Calcular: E = tg+ ctg Y X (–6; –8) 7. Calcular: E = ctg – csc Y X (15; –8) 8. Hallar: M 5 cos sen Y X –6 3 9. Del gráfico, calcular: E = 8(sec – tg) Y X (8; –15) 10. Calcular: senE 1 cos Y X (–3; 4) 1. Del gráfico, calcule “sen ” Y X (–3;–4) O 2. Del gráfico, calcule “sen ” Y X (4;–3) O 51« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 3. Del gráfico, calcule “cos ” Y X (–12;–5) o 4. Del gráfico, hallar “cos ”. ;1– 3 X Y O 5. Hallar tg : Y X P(–24;–7) O Bloque II 1. Calcular m, si ctg = –2 Y X ( –5; –2)m m 2. Calcular tg Y X (– , 2 )a a 3. Hallar: C = 5cos+ 6tg Y X 6 –8 4. Calcular: E = sen + 2cos –3 Y X 4 5. Del gráfico, calcular tg Y X 37º 6. Hallar tg : X Y (2n;–n) 52 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 1. Calcular la longitud de OP , si: P(12; 5) y “O” es el origen del sistema. 2. Hallar “x0” Y X ( ; –5)x 0 13 3. Hallar sen (–1; 2) Y X 4. Calcular tg (4; 3) Y X (–2; 7) 7. Si el punto P(2;–3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”. Calcule: E = 2tg+ 13 cos . 8. Calcular ctg Y X –8 (–2; 6) 9. Del gráfico, calcule: tg. Y X B(–2;0)A(–8;0) C 10. Del gráfico; calcule “tg” 37º Y X 53« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 5. Hallar: M = 5(cos – sen) Y X (–3; –4) 6. Del gráfico, calcule sen. Y X (–2;1) 7. Del gráfico, calcule tg: Y X (–12;4) 8. Calcule: E 34 sen 5tg Y X (5;–3) 9. Si M punto medio de AB, calcule: A = ctg . A (–10;6) M B (4;2) Y X 10. Según el gráfico mostrado, calcule: sec + tg . X Q(–5;–12) Y N OT A 2. Calcular: E = sen + cos ( 7; 2) Y X 3. Hallar: P = csc + ctg Y X (–3; –4) 1. Del gráfico, calcule: M = sen. cos: X (2;7) (8;1) Y 54 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria TEMA 10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD II SIGNOS DE LAS R.T. sen csc (+) Positivas todas tg ctg (+) cos sec (+) Y X Ejemplo: ¿Qué signo tiene la expresión? sen100º cos 200º E tg 300º Resolución: Y X 100° IIC 200° IIIC IVC X Y Y 300° X Aplicamos la regla práctica: 100º IIC sen100º es (+) 200º IIIC cos200º es (–) 300º IVC tg300º es (–) Reemplazamos en E E E E Bloque I 1. Determinar el signo de: E = sen100ºcos220º 2. Calcular el signo de tg230º sen205º E tg320º 3. Si: sen>0 cos<0, determinar a que cuadrante pertenece 4. Determinar a que cuadrante pertenece , si sen>0 tg<0. 55« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría 5. Si es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto P(1; 3). Calcular: E 10sen tg 6. Si el punto M(–3; 4) es un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal. Calcular: E sen cos tg 7. Si: 1sen 3 y IIIC , calcular el valor de: R 8 sec tg 8. Si: tg = 2,4 y IIIC . Calcular cos 9. Si: 1cos 2 ; IIC . Calcular tg 10. Si: sen cos 0 ; ¿En qué cuadrante podría estar ubicado ? Bloque II 1. Si “” es un ángulo positivo menor que una vuelta del IIC, determine el signo de: 3 N sen2 cos 2 2. Determine a qué cuadrante pertenece “”, si: sen > 0 tg < 0 56 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 3. Determine a qué cuadrante pertenece “”, si: ctg · cos120º > 0 y cos · ctg240º > 0 4. Si: 1 sen II 2 Determine cos: 5. Si: 5sen – 3 = 0 IIC Calcular: E sec tg 6. Si el lado final de un ángulo canónico pasa por P(1; –3); calcular: K sec csc 7. Si: 3 sen 5 y pertenecen al tercer cuadrante. Calcular: E sec tg 8. Si: 2tg 3tg8 sec45º y IV , Calcular: E Sec Tg 9. Si: tg 15 125 y IIIC . Calcular: M sec csc 10. Si: tg2 8 ; IIIC . Calcular: P 10sen cos 57« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Segundo Año de Secundaria Trigonometría Bloque III 1. Si: 3sec – 13 ; tg 0 tg – 2 0 ; II Calcule: K 13sen 5 csc 2. Si: 2tg –3tg8 sec 45º y IV Calcule: E = sec – tg 3. Si: 4 tg 3 , calcular n Y X (2 –2; 3 –2)n n 4. Calcular: tg Y X (4, –3) 5. Del gráfico mostrado, halla: P 5ctg 34 cos Y X M(3; –5) 58 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre » Trigonometría Segundo Año de Secundaria 1. Señale el signo de: P = sen124ºcos110º 2. Determine a qué cuadrante pertenece , si: tg <0 cos >0 3. Si: 1 cos ; IVC 3 . Calcular tg 4. Si: tg 13 27 y IIIC , calcular: E csc sec 5. Del gráfico determine: M 12tg 5sen Y X (4; 3) 6. Si: 1 cos IV 3 Calcule: sen. 7. Si: 3 cos – y sen 0 5 Calcule: 12tg 8. Si: 5 tg y cos 0 12 Calcule: N = csc + ctg 9. Determine a qué cuadrante pertenece “”, si: cos < 0 tg < 0 10. Si se cumple: 3tgx + 4 = 0; x IVC. Calcule: A = cscx – ctgx N OT A 2. Si: tg = 3, calcular a Y X ( –1; 4 –1)a a 3. Determine el signo de: tg240º sen295º E csc 342º 1. Si: 3tg+1 = 27 y IIIC. Calcule: E = csc – sec
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