Analisis 1

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Analisis 1/6- DERIVADAS- Preguntas- GM_ Revisión del intento1.pdf
PÁGINA PRINCIPAL / MIS CURSOS / CARRERAS DE GRADO / ÁREA DE FORMACIÓN BÁSICA HOMOGENEA (CIENCIAS BÁSICAS) / 1ER AÑO
/ ANÁLISIS I / BLOQUE MG. ING. MENOCAL, G. / 6- DERIVADAS- PREGUNTAS- GM
Comenzado el viernes, 5 de marzo de 2021, 20:08
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 5 de marzo de 2021, 20:10
Tiempo empleado 2 minutos 28 segundos
Puntos 3,00/4,00
Calificación 7,50 de 10,00 (75%)
Pregunta 1
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
La respuesta correcta es: 
https://frt.cvg.utn.edu.ar/
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=73
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=94
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=430
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=430#section-19
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=52318
Pregunta 2
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 3
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
La respuesta correcta es: 
Seleccione una:
 a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
La respuesta correcta es: 
Pregunta 4
Incorrecta Puntúa 0,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
La respuesta correcta es: 
◄ 6- derivadas- ejercicios y
problemas- gm
Ir a... 8-teoremas del cálculo diferencial-gm
►
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=52306&forceview=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/folder/view.php?id=53523&forceview=1
Analisis 1/7-TAREA-Ejercicios y Problemas-Aplic. Derivadas-GM_ Revisión del intento.pdf
18/12/2020 7-TAREA-Ejercicios y Problemas-Aplic. Derivadas-GM: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=165426&cmid=56240 1/2
PÁGINA PRINCIPAL / MIS CURSOS / CARRERAS DE GRADO / ÁREA DE FORMACIÓN BÁSICA HOMOGENEA (CIENCIAS BÁSICAS)
/ 1ER AÑO / ANÁLISIS I / BLOQUE MG. ING. MENOCAL, G. / 7-TAREA-EJERCICIOS Y PROBLEMAS-APLIC. DERIVADAS-GM
Comenzado el viernes, 18 de diciembre de 2020, 20:15
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 18 de diciembre de 2020, 20:17
Tiempo empleado 1 minutos 50 segundos
Puntos 1,00/1,00
Calificación 10,00 de 10,00 (100%)
Pregunta 1
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. a ) A ( )t =π t
b ) V inst .Area=12,77 m/min
b. a ) dom f =R, b ) rgo f = ( )0, ∞
c) m .R . ∄, d ) PI (0, 0) y (1, −1)
c. a ) dom f = ( )−∞, 0 , b ) rgo f =R
c) m .R . (−1, 0), d ) PI ( )− 2 , 4
d. a ) dom f = ( )0, ∞ , b ) rgo f =R
c) M .R . (0, 1), d ) PI (0, 0) y (1, −1)
e. a ) dom f =R, b ) rgo f =R
c) m .R . (0, 0) y (1, −1), d ) PI ∄
Respuesta correcta
https://frt.cvg.utn.edu.ar/
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=73
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https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=430#section-17
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18/12/2020 7-TAREA-Ejercicios y Problemas-Aplic. Derivadas-GM: Revisión del intento
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◄ 10-integral indefinida-gm
Ir a...
8-ejercicios y problemas-teoremas derivada-gm ►
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Analisis 1/7-TP-Aplicaciones DERIVADA-2020-GM.pdf
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
EJERCICIO Nº 3:
Dada la función , dar:
a) intervalos de crecimiento y decrecimiento,
b) ¿Porqué se acerca a 1, cuando x se hace muy grande?
c) Graficar la función.
Solución:
( ) xxxf 4−=
 )
( )
x
xf
fdom
2
1´
,0
−=
=
1
2
0´ ==
x
f
22 == xx




=
−=
2
2
x
x
( ) 0´;2  xfx
f es Decreciente ( ) ( ) 0´;2,0  xfx
f es Creciente 
( )xf ´
( )
x
xfb
2
1´) −= ( ) 1´; →→ xfx
T.P. Nº 7 – APLICACIONES DE DERIVADA
0x x=
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
Recta Tangente:
Dada una función y=f(x), continua en un intervalo que contenga a x0 y a
x, la ecuación de la recta tangente (ERT) a y=f(x), en x=x0, está relacionada
con la derivada de la función. Pueden darse las siguientes situaciones:
01) ( )f x
( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x− = −
La (ERT) en x=x0 es: R.T.Vertical( )02) f x →
La gráfica de la función no posee 
recta tangente en ese punto. 
O sea: f no es derivable en x=x0.
( )03) f x Y no es infinito
La (ERT) es:
0x
0x
0x
( )0´ xf
RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
Recta Normal:
La recta Normal a una curva en un punto, es la perpendicular de la
recta tangente a la curva en ese mismo punto. Entonces:
( )0
1
1) Si
f x


La (ERN) en x=x0 es: 
0 0
0
1
( ) ( )
( )
y f x x x
f x
− = −  −

RT
RN
, RN vertical en x=x0
02) ( ) 0Si f x =
0x x=La (ERN) es :
RT
RNV
La gráfica de la función 
no posee RN en ese punto.
( )03) Si f x
x0
x0
x0
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
Recta Tangente (Normal) a una curva en un punto de la misma
Supongamos que queremos hallar la Ecuación de la Recta Tangente (ERT) a 
una curva en un punto dado de la función. 
EJERCICIO Nº 8:
a) Determine la pendiente de la tangente a la gráfica de en el
punto
b) Determine la ecuación de la recta tangente en ese punto.
Solución:
526 34 ++−= xxy
( )3,1 −−
23 624´) xxya +−=
La pendiente de la tangente a la gráfica en el 
punto en el punto ( )3,1 −−
( ) ( ) ( )23 161241´ −+−−=−y
( ) 181´ =−y
18=tm
( )1183) +=+ xyb
1518 += xy
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
EJERCICIO Nº 10:
a) Determine las coordenadas del punto (o puntos) de la gráfica de
en los que la pendiente de la tangente es 5.
a) Determine la ecuación o ecuaciones de la/s correspondientes recta/s tangentes.
Solución:
( ) xxxf 73 −=
( ) 73´) 2 −= xxfa
La pendiente de la tangente a la gráfica es 5,por 
lo que: 573 2 =−x



=
−=
=
2
2
42
x
x
x
( )6,2−P
( )6,2 −P
ERT en P(-2, 6): ( )256 +=− xy
165 += xy
ERT en P(2, -6): ( )256 −=+ xy
165 −= xy
Recta Tangente (Normal) a una curva que es 
paralela (perpendicular) a otra recta dada
Supongamos que queremos hallar la Ecuación de la Recta Tangente (ERT) a 
una curva que es paralela a otra recta de ecuación dada. 
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
Recta Tangente (Normal) a una curva que pasa 
por un punto A, exterior a la gráfica de f
Supongamos que queremos hallar la Ecuación de la Recta Tangente (ERT) a una
curva que pasa por un punto A, exterior a la gráfica de f.
EJERCICIO Nº 16:
Determine la ecuación de las dos rectas que pasan por el punto (1, -5) que son
tangentes a la curva de ecuación
Solución:
( ) 22 −= xxf
( ) xxf 2´ =
( )125 0 −=+ xxy
02xmt =
La ecuación de la recta que pasa
por (1, -5) y tiene pendiente m, es:
( ) ( )1512 0 −−= xxy
Como el punto C(x0 , f (x0 )) pertenece a la función y a la 
recta: igualando la función con (1): ( ) 22 −= xxf
( ) 5122 00
2
0 −−=− xxx
0322 0
2
0
2
0 =++− xxx
032 0
2
0 =−− xx



=
−=
=
+
=
3
1
2
42
2
1242
2
1
2,1
x
x
x
( )1,1 −−P
( )7,3P
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
EJERCICIO Nº 11:
a) Determine los valores de x para los cuales las tangentes a las gráficas de
tienen la misma pendiente.
a) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes en esos puntos.
Solución:
( ) ( ) 322 xxgyxxf ==
( )
( ) 23´
4´)
xxg
xxfa
=
=
En los puntos cuyas rectas tangentes tienen igual pendiente, sus derivadas 
coinciden: 234 xx =





=
=

3
4
0
x
x
ERT a f en P(0, 0): 0=y
3
16
3
4
4
3
4
´ ==





f






−=−
3
4
3
16
9
16
xy
( ) 043 =−xx
( ) ( )






=





=
9
16
,
3
4
,
9
16
2
3
4
0,0,00
Pf
Pf ( ) ( )






=





=
27
48
,
3
4
,
27
48
3
4
0,0,00
Pg
Pg
ERT a f en P(4/3, 16/9):
9
80
3
16
+= xy
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
y
x
a− a
b−
b
x
y
PROBLEMA de OPTIMIZACIÓN Nº 1:
Se inscribe un rectángulo e la elipse de ecuación:
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse
en la elipse? ¿Cuá es su área?
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
Solución:
Área del rectángulo: yxA 22 = yxA = 4
2
2
1
a
x
by −=
De la ecuación de la elipse se deduce:





by
ax
0
0
Reemplazando y en la 
ecuación del área: 2
2
14
a
x
xbA −=
2
2
2
2
2
12
2
414´
a
x
a
x
xb
a
x
bA
−
−
+−=












−
−−=
2
2
2
2
2
2
1
14´
a
x
a
x
a
x
bA
= 0´/ Ax
2
2
2
2
2
2
1
1
a
x
a
x
a
x
−
=− 2
2
2
2 1 x
a
x
a =





−
2
2
2 ax =
2
a
x =
2
0
a
x  CrecienteesAA  0´
ax
a

2
eDecrecientesAA  0´
..RMáx




 ( ) ( )22222 244´ xabxxabA −=−−=






2
,
2
..
ba
RMáx
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
EJERCICIO Nº 1:
Suponga que g satisface g´(x)<0 para 1<x<3, g´(3)=0 y g´(x)>0 para 3<x<4.
a) ¿Tiene g un extremo local en x=3? En caso afirmativo, ¿es un mínimo o un
máximo Relativo?
b) Suponga que g(3) =-1 . Esboce un gráfico de una función que tenga todas las
propiedades descriptas en este ejercicio.
Solución:
La función g Decrece en el intervalo (1, 3)( )  310´/: xxggSi
La función g tiene Tangente Horizontal en x=3( ) = 03´: gSi
La función g Crece en el intervalo (3, 4)( )  430´: xxgSi
a) Entonces g tiene un mR en x=3
b) Si g(3)=-1
x
y
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
x
y
EJERCICIO Nº 2:
La siguiente gráfica corresponde a la derivada de la función f; f´(x). Esboce la
gráfica de f.
Solución:
f Crece en el intervalo (-∞, 1)( )  10´ xxf
( )xf ´
valores críticos de f( ) 



=
−=
=
1
2
:,0´
x
x
enxf
f Decrece en el intervalo (1, ∞)( )  10´ xxf
Al pasar por x=-2, f´ no cambia de signo;
significa que no es un ER.
Al pasar por x=1, f´ cambia de positivo a
negativo; significa que hay un MR.
x
y
( )xf ´
( )xf
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
EJERCICIO Nº 6:
Efectuar el estudio analítico completo de las siguientes funciones.
( )
( ) 3
2
3
2
64)
23)
xxxfb
xxxfa
−=
−=
( ) ( )
( ) ( )32
32
1)
3)
xxxfd
xxxfc
−=
−=
( ) ( ) ( )
( )
5
2
)
11) 3
2
3
2
−
−
=
+−−=
x
xff
xxxfe
( )
( )
1
1
)
13
)
2 +
−
=
−
=
x
xfh
x
x
xfg
( )
( )
( )
1
)
22
2
)
3
4
)
2
3
2
2
2
−
=
−
−+
=
+
−
=
x
x
xfk
x
xx
xfj
x
x
xfi
( )
( )
( ) x
x
exxfn
exxfm
x
x
xfl
−
−
=
=
−
=
2)
)
1
)
( )
( )
( ) ( ) ( )1ln1)
ln)
)
2
2
−−=
=
= −
xxxfq
xexfp
exfo
x
x
( )
( )
( ) xsen
x
exft
e
xfs
xsenxxfr
=
+
=
+=
−
)
191
20
)
)
2
1
( ) ( )
( ) x
x
xxfv
esenxfu
2)
)
=
=
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
Solución:
( ) xxxfa 23) 3
2
−=
=fdom
023:/ 3
2
=− xxOXc





==
=
= −
8
27
23
0
23
3
13
2
xx
x
xx
( ) ( )0,000:/ PfOYc =
( ) ( )
( ) ( )
SimétricaNo
xfxf
xfxf



−−
−
.... HAniVAtieneNof
( ) 2
1
2´
3
1
−=
x
xf
( )
( )


=
==
0´
10´
xxf
xxf
( )0,− ( )1,0 ( ),1
0=x 1=x
( )xf ´ ( ) 01´ −f ( ) 02/1´ f ( ) 02´ f
( )0,0mR ( )1,1MR
( )
3
4
2
´´
x
xf −=
( )
( )


=
=
0´´/
0´´/
xxfx
xfx
( )0,− ( ),0
0=x
( )xf ´´ ( ) 01´´ −f ( ) 01´´ f
PINo
x
y
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
( ) ( )32 2) −= xxxfc
=fdom
( ) 02:/ 32 =− xxOXc



=
=

2
0
x
x
( ) ( )0,000:/ PfOYc =
( ) ( )
( ) ( )
SimétricaNo
xfxf
xfxf



−−
−
.... HAniVAtieneNof
( ) ( ) ( )223 2322´ −+−= xxxxxf
( )





=
=
=
=
5/4
2
0
0´
x
x
x
xf
( )0,− ( )5/4,0 ( ),2
5/4=x 2=x
( )xf ´ ( ) 01´ −f ( ) 02/1´ f ( ) 01´ f
( )0,0MR ( )1,3,5/4 −mR
( ) ( ) ( )24524´´ 2 +−−= xxxxf
( )
( )













−
=
=
=
hayNoxfx
x
x
xfx
´´/
10
40164
2
0´´/
2,1
( )2,− ( ),2
2=x
( )xf ´´
( )0,2PI
x
y
( ) ( )
( ) ( ) ( )452´
3422
2
2
−−=
+−−=
xxxxf
xxxx
0=x
( )2,5/4
( ) 03´ f
ERNo
( ) 00´´ f ( ) 03´´ f
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
( ) ( )32 1)6 xxxfd −=−
=fdom
( ) 02:/ 32 =− xxOXc



=
=

2
0
x
x
( ) ( )0,000:/ PfOYc =
( ) ( )
( ) ( )
SimétricaNo
xfxf
xfxf



−−
−
.... HAniVAtieneNof
( ) ( ) ( )223 2322´ −+−= xxxxxf
( )





=
=
=
=
5/4
2
0
0´
x
x
x
xf
( )0,− ( )5/4,0 ( ),2
5/4=x 2=x
( )xf ´ ( ) 01´ −f ( ) 02/1´ f ( ) 01´ f
( )0,0MR ( )1,3,5/4 −mR
( ) ( )
( ) ( ) ( )452´
3422
2
2
−−=
+−−=
xxxxf
xxxx
0=x
( )2,5/4
( ) 03´ f
ERNo
( ) ( ) ( )24524´´ 2 +−−= xxxxf
( )
( )













−
=
=
=
hayNoxfx
x
x
xfx
´´/
10
40164
2
0´´/
2,1
( )2,− ( ),2
2=x
( )xf ´´
PINoy
( ) 00´´ f ( ) 03´´ f
x
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
( )
22
2
)6
2
2
−
−+
=−
x
xx
xfj
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
EJERCICIO Nº 5:
Para las funciones cuyas segundas derivadas se dan abajo, encontrar los
intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
( ) ( ) ( )
( ) xsenxxxfb
xxxxfa
=
+−=
2
32
cos´´)
12´´)
Solución:
( ) ( ) ( ) 3212´´) xxxxfa +−=
( )





=
−=
=
=
0
1
2
0´´/
x
x
x
xfx Valores críticos
( )1, −− ( ),2( )0,1− ( )2,0
1−=x 0=x 2=x
( )xf " ( ) 02" −f ( ) 02/1" −f ( ) 01" f ( ) 03" f
PINo ( )0,0PI ( )0,2PI
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
( ) xsenxxxfb =− 2cos´´)5
Solución:
( )









=
=
=
=
=
2
3
2
0
0´´/



x
x
x
x
xfx Valores críticos






2
,0

=x2

=x
( )xf " 0
4
" 





f 0
4
3
" 




 
f 0
4
5
" 




 
f 0
4
7
" 




 
f
PINo ( )0,PI PINo
2
3
=x
2=x0=x








,
2






2
3
,

 







2,
2
3
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
EJERCICIO Nº 8:
a) Determinar la pendiente de la tangente a la gráfica de
( ) ( ) ( )
( ) xsenxxxfb
xxxxfa
=
+−=
2
32
cos´´)
12´´)
Solución:
( ) ( ) ( ) 3212´´) xxxxfa +−=
( )





=
−=
=
=
0
1
2
0´´/
x
x
x
xfx Valores críticos
( )1, −− ( ),2( )0,1− ( )2,0
1−=x 0=x 2=x
( )xf " ( ) 02" −f ( ) 02/1" −f ( ) 01" f ( ) 03" f
PINo ( )0,0PI ( )0,2PI
y
xx
y
r
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
PROBLEMA de OPTIMIZACIÓN Nº 2:
Considerando un círculo de radio r centrado en el origen. Se inscribe un rectángulo
en esa figura y se hace rotar ambas figuras alrededor del eje y. Esta rotación
genera un cilindro inscripto en una esfera.
a) Encontrar el volumen del cilindro generado.
b) Encuentre las dimensiones del cilindro de volumen máximo.
c) ¿Qué relación hay entre los volúmenes de la esfera y el cilindro?
Solución:
Ecuación canónica 
de la circunferencia:
222 ryx =+
halturaBaseSupVcil = ..a) Volumen del cilindro:




−==
=
22
2
22
.
xryh
xSup B 
b) Volumen máximo:
22 xry −=
222
. 2. xrxVol Cil −= 





ry
rx
0
0
( )
( )
22
222
.
2
2
24´.
xr
x
xxrxVol Cil
−
−
+−= 
( )
( )
22
22
.
64
´.
xr
xrx
Vol Cil
−
−
=
 0´/ =Vx



=−
=
064
0
22 xr
x
3
2
= rx
rx =3
2
= rx
(
)xf ´ 02
´ 




 r
f








 rrRM
3
2
,
3
2
..
0=x
( ) 09,0´ f rh =
3
2
c) Relación V.esf./V.cil.:
222
..
3
2
3
2
2 rrrV CilMáx −= 
3
..
33
4
rV CilMáx

=
3
3
..
.
33
4
3
4
r
r
V
V
CilMáx
esf


=


... 3 CilMáxesf VV =
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
PROBLEMA de OPTIMIZACIÓN Nº 3:
Se fija un punto (a, b) en el primer cuadrante y se traza un segmento que va de un
eje coordenado al otro a través de ese punto. ¿Cuál es la mínima longitud que
puede tener ese segmento?
Solución:
Longitud mínima del segmento:
ax
b
m
−
−
=
0
La intersección del segmento con el eje OX, la pendiente 
del mismo es:
( )0−= xmy
El segmento intersecta al eje OY en (0, y), la recta es:
( )122 yxl +=y
x
b
( )ba,
a
( )y,0
( )0,x
xyl =
ax
bx
y
−
−=
Reemplazando en (1) :
2
2






−
−+=
ax
bx
xl
Analisis 1/8-EJERCICIOS y PROBLEMAS-Teoremas Derivada-GM_ Revisión del intento.pdf
19/11/2020 8-EJERCICIOS y PROBLEMAS-Teoremas Derivada-GM: Revisión del intento
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/ 1ER AÑO / ANÁLISIS I / BLOQUE MG. ING. MENOCAL, G. / 8-EJERCICIOS Y PROBLEMAS-TEOREMAS DERIVADA-GM
Comenzado el jueves, 19 de noviembre de 2020, 19:55
Estado Finalizado
Finalizado en jueves, 19 de noviembre de 2020, 19:56
Tiempo empleado 1 minutos
Puntos 1,00/1,00
Calificación 10,00 de 10,00 (100%)
Pregunta 1
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. lim
x→1
x2−x
ln x
=2
b. lim
x→1
x2−x
ln x
=0
c. lim
x→1
x2−x
ln x
=1
d. Ninguna respuesta es correcta.
e. lim
x→1
x2−x
ln x
=∞
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: lim
x→1
x2−x
ln x
=1
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Analisis 1/8-PREGUNTAS-Teoremas Derivada-GM_ Revisión del intento(2).pdf
18/12/2020 8-PREGUNTAS-Teoremas Derivada-GM: Revisión del intento
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Comenzado el viernes, 18 de diciembre de 2020, 20:00
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 18 de diciembre de 2020, 20:04
Tiempo empleado 3 minutos 7 segundos
Puntos 3,00/4,00
Calificación 7,50 de 10,00 (75%)
Pregunta 1
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
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Pregunta 2
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
18/12/2020 8-PREGUNTAS-Teoremas Derivada-GM: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=165415&cmid=56484 3/4
Pregunta 3
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
18/12/2020 8-PREGUNTAS-Teoremas Derivada-GM: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=165415&cmid=56484 4/4
Pregunta 4
Incorrecta Puntúa 0,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta incorrecta.
La respuesta correcta es: 
◄ 8-ejercicios y problemas-teoremas derivada-gm
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regla de lhospital ►
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Comenzado el jueves, 19 de noviembre de 2020, 19:34
Estado Finalizado
Finalizado en jueves, 19 de noviembre de 2020, 19:37
Tiempo empleado 2 minutos 46 segundos
Puntos 3,00/4,00
Calificación 7,50 de 10,00 (75%)
Pregunta 1
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
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Pregunta 2
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
19/11/2020 8-PREGUNTAS-Teoremas Derivada-GM: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=147751&cmid=56484 3/4
Pregunta 3
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
19/11/2020 8-PREGUNTAS-Teoremas Derivada-GM: Revisión del intento
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Pregunta 4
Incorrecta Puntúa 0,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta incorrecta.
La respuesta correcta es: 
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Analisis 1/8-PREGUNTAS-Teoremas Derivada-GM_ Revisión del intento1.pdf
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Comenzado el viernes, 5 de marzo de 2021, 20:13
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 5 de marzo de 2021, 20:16
Tiempo empleado 3 minutos 15 segundos
Puntos 2,00/4,00
Calificación 5,00 de 10,00 (50%)
Pregunta 1
Incorrecta Puntúa 0,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta incorrecta.
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Pregunta 2
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
Pregunta 3
Correcta Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
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b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta correcta
La respuesta correcta es: 
Pregunta 4
Incorrecta Puntúa 0,00 sobre 1,00
Seleccione una:
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Respuesta incorrecta.
La respuesta correcta es: 
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derivada-gm
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Analisis 1/DIFERENCIALES.pdf
DIFERENCIALES 
 
EJERCICIO 1: Dada la función 𝑦 = 5𝑥 + 𝑥2. Calcular 𝑑𝑦 𝑦 ∆𝑦 para 𝑥 = 2; ∆𝑥 = 0,001 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (5 + 2𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (5 + 2.2). 0,001 → 𝑑𝑦 = 0,009 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) → ∆𝑦 = (5.2,001 + 2,0012) − (5.2 + 22) = 14,009001 − 14 → ∆𝑦 = 0,009001 
 
EJERCICIO 2: Si 𝑦 = 30𝑥 − 6𝑥2 determine la diferencia ∆𝑦 − 𝑑𝑦 
𝑎. − 𝑥 = 3 ∆𝑥 = 0,1 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) → ∆𝑦 = (30.3,1 − 6. 3,12) − (30.3 − 6. 32) = 35,34 − 36 → ∆𝑦 = −0,66 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (30 − 12𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (30 − 12.3). 0,1 → 𝑑𝑦 = −0,6 
∆𝑦 − 𝑑𝑦 = −0,66 − (−0,6) = −0,06 
EJERCICIO 3: Hallar la diferencial de las siguientes funciones. 
𝑎. − 
2
√𝑥
 𝑥 = 9 ∆𝑥 = −0,01 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (−
1
𝑥. √𝑥
) . 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (−
1
9.3
) . −0,01 → 𝑑𝑦 = 0,00037̅̅ ̅̅ ̅ 
EJERCICIO 4: Determine 𝑑𝑦 de las siguientes funciones. 
𝑎. − 𝑦 =
𝐶𝑜𝑠 3𝑥
2𝑥
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = [
(−𝑆𝑒𝑛 3𝑥). 3.2𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 3𝑥. 2
4𝑥2
] . 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = − [
6𝑥. 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 + 2. 𝐶𝑜𝑠 3𝑥
4𝑥2
] . 𝑑𝑥 
𝑐. − 𝑦 = 𝑥. ln 𝑥 − 𝑥 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = (1. ln 𝑥 + 𝑥.
1
𝑥
− 1) . 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = ln 𝑥 . 𝑑𝑥 
𝑒. − (𝑥 + 𝑦)2. (2𝑥 + 𝑦) = 1 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = − [
2. (𝑥 + 𝑦). 1. (2𝑥 + 𝑦) + (𝑥 + 𝑦)2. 2
2. (𝑥 + 𝑦). 1. (2𝑥 + 𝑦) + (𝑥 + 𝑦)2. 1
] . 𝑑𝑥 
 
EJERCICIO 5: Utilizando aproximación lineal calcular. 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒅𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 
𝒂. − √𝟑𝟑
𝟓
 𝒙 = 𝟑𝟐; ∆𝒙 = 𝟏 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = √𝟑𝟐
𝟓
+
𝟏
𝟓
.
𝟏
√𝟑𝟐𝟒
𝟓 . 𝟏 → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 = 𝟐, 𝟎𝟏𝟐𝟓 
𝒆. − √𝟏, 𝟎𝟐 𝒙 = 𝟏; ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟐 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = √𝟏 +
𝟏
𝟐
.
𝟏
√𝟏
. 𝟎, 𝟎𝟐 → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟏 
𝒈. − 𝐥𝐧(𝟏, 𝟎𝟎𝟑) 𝒙 = 𝟏; ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝟏 +
𝟏
𝟏
. 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 
𝒉. − 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝟑° 𝒙 = 𝟒𝟓°; ∆𝒙 = −𝟐° 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 
𝝅
𝟒
+ (−𝑺𝒆𝒏 
𝝅
𝟒
) . (−𝟎, 𝟎𝟑𝟓) → 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟕𝟎𝟕. 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟕 = 𝟎, 𝟕𝟑𝟏𝟕 
 
PROBLEMAS 
 
PROBLEMA 1: Calcular el incremento del Área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 
1 mm su lado. 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 4: Obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de 2 m, al 
aumentar el lado 0,003 m. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 6: Un disco metálico se dilata por la acción del calor de manera que su radio aumenta 
de 12 a 12,03 cm; hallar el valor aproximado del incremento del área. 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 7: Un móvil se mueve según la relación 𝑠 = 5𝑡2 + 𝑡, donde (s) representa el espacio 
recorrido medido en metros y (t) el tiempo recorrido en segundos. Se quiere saber los metros que 
recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 7 segundos y (7 +
1
3
)segundos 
 
 
𝑨 = 𝒍𝟐 𝒍 = 𝟐 𝒎; ∆𝒍 = 𝒅𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝑨 = 𝑨′. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝒍. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝟐𝒎. 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒎 
𝒅𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝒎𝟐 
𝑽 = 𝒍𝟑 𝒍 = 𝟐 𝒎; ∆𝒍 = 𝒅𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝑽 = 𝑽′. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑽 = 𝟑. 𝒍𝟐. 𝒅𝒍 → 𝒅𝑨 = 𝟑. 𝟒𝒎𝟐. 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝒎 
𝒅𝑽 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝒎𝟑 
𝑨 = 𝝅. 𝒓𝟐 𝒓 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎; ∆𝒓 = 𝒅𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟑 𝒄𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝑨 = 𝑨′. 𝒅𝒓 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝝅. 𝒓. 𝒅𝒓 → 𝒅𝑨 = 𝟐. 𝝅. 𝟏𝟐𝒄𝒎. 𝟎, 𝟎𝟑𝒄𝒎 
𝒅𝑨 = 𝟐, 𝟐𝟔𝟏𝟗𝒄𝒎𝟐 
 𝒔 = 𝟓𝒕𝟐 + 𝒕 𝒕 = 𝟕 𝒔𝒆𝒈; ∆𝒕 = 𝒅𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟑 𝒄𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒚′. 𝒅𝒙 
𝒅𝒔 = 𝒔′. 𝒅𝒕 → 𝒅𝒔 = (𝟓. 𝟐. 𝒕 + 𝟏). 𝒅𝒕 → 𝒅𝒔 = (𝟏𝟎. 𝟕 + 𝟏)𝟎, 𝟑𝟑 
𝒅𝒔 = 𝟐𝟑, 𝟒𝟑𝒎 
Analisis 1/INTEGRALES TP10 P2.pdf
PRACTICO INTEGRALES 2° PARTE 
 
 
EJERCICIO 3: 
𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗. 𝒅𝒖 
 
a.- ∫ 𝑥2. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝒙𝟐 → 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒆𝒙 
∫ 𝑥2. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑒𝑥. 𝑥. 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒆𝒙 
∫ 𝑥2. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2 [(𝑥. 𝑒𝑥) − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥] = 𝒙𝟐. 𝒆𝒙 − 𝟐𝒙. 𝒆𝒙 + 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄 
 
b.- ∫ 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 
∫ 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒙. 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 
 
c.- ∫ 𝐿𝑛(3𝑥). 𝑑𝑥 = 𝒉 = 𝟑𝒙 → 𝒅𝒉 = 𝟑. 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 =
𝒅𝒉
𝟑
 
1
3
∫ 𝐿𝑛(ℎ). 𝑑ℎ = 𝑢 = 𝑳𝒏(𝒉) → 𝒅𝒖 =
𝟏
𝒉
. 𝒅𝒉; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒉 → 𝒗 = 𝒉 
1
3
∫ 𝐿𝑛(ℎ). 𝑑ℎ = 𝐿𝑛(ℎ). ℎ − ∫ ℎ. 
1
ℎ
. 𝑑ℎ = 𝐿𝑛(ℎ). ℎ − ℎ + 𝑐 = 𝑳𝒏(𝟑𝒙). 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝒄 
 
e.- ∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝑨𝒓𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 → 𝒅𝒖 =
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒙 
∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑥 − ∫ 𝑥.
1
1 + 𝑥2
. 𝑑𝑥 𝒉 = 𝟏 + 𝒙𝟐 → 𝒅𝒉 = 𝟐𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 =
𝒅𝒉
𝟐𝒙
 
∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑥 −
1
2
∫ 𝑥.
1
ℎ
.
𝑑ℎ
𝑥
= 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥. 𝑥 −
1
2
. 𝐿𝑛 ℎ + 𝑐 
∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒙. 𝒙 −
𝟏
𝟐
. 𝑳𝒏(𝟏 + 𝒙𝟐) + 𝒄 
 
g.- ∫
𝑥
𝑒𝑥
. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥. 𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆−𝒙 → 𝒗 = − 𝒆−𝒙 
∫ 𝑥. 𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑥. (−𝑒−𝑥) − ∫(−𝑒−𝑥). 𝑑𝑥 = 𝑥. (−𝑒−𝑥) + ∫ 𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒙. (−𝒆−𝒙) − 𝒆−𝒙 + 𝒄 
 
j.- ∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝒆𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 
∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 . 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑥. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒆𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 
∫ 𝑒𝑥 . 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥. 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − [𝑒𝑥(−𝐶𝑜𝑠 𝑥) − ∫(−𝐶𝑜𝑠 𝑥). 𝑒𝑥. 𝑑𝑥] 
∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 . 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 
2. ∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 . 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥 → ∫ 𝑒𝑥 . 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟐
. 𝒆𝒙. (𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝒙) + 𝒄 
 
EJERCICIO 4: 
 
b.- ∫
𝒅𝒙
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)(𝒙+𝟑)
 
𝟏
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)(𝒙+𝟑)
=
𝑨
𝒙−𝟏
+
𝑩
𝒙+𝟐
+
𝑪
𝒙+𝟑
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 
 
Vamos a tener en cuenta cuales son los valores de (x) que anulan cada termino en el denominador 
𝑥 = 1; 𝑥 = −2; 𝑥 = −3 
 
1
(𝑥
− 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
=
𝐴(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
 
 
Para encontrar el valor de A hacemos 𝑥 = 1 
1 = 𝐴(1 + 2)(1 + 3) + 𝐵(1 − 1)(1 + 3) + 𝐶(1 − 1)(1 + 2) 
1 = 𝐴(3)(4) + 𝐵(0)(4) + 𝐶(0)(3) → 12𝐴 = 1 → 𝑨 =
𝟏
𝟏𝟐
 
Para encontrar el valor de B hacemos 𝑥 = −2 
1 = 𝐴(−2 + 2)(−2 + 3) + 𝐵(−2 − 1)(−2 + 3) + 𝐶(−2 − 1)(−2 + 2) 
1 = 𝐴(0)(1) + 𝐵(−3)(1) + 𝐶(−3)(0) → −3𝐵 = 1 → 𝑩 = −
𝟏
𝟑
 
Para encontrar el valor de C hacemos 𝑥 = −3 
1 = 𝐴(−3 + 2)(−3 + 3) + 𝐵(−3 − 1)(−3 + 3) + 𝐶(−3 − 1)(−3 + 2) 
1 = 𝐴(−1)(0) + 𝐵(−4)(0) + 𝐶(−4)(−1) → 4𝐶 = 1 → 𝑪 =
𝟏
𝟒
 
Reemplazamos en la Integral 
1
12
∫
1
𝑥 − 1
. 𝑑𝑥 −
1
3
∫
1
𝑥 + 2
. 𝑑𝑥 +
1
4
∫
1
𝑥 + 3
. 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟏𝟐
𝐥𝐧|𝒙 − 𝟏| −
𝟏
𝟑
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟐| +
𝟏
𝟒
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟑| + 𝒄 
 
c.- ∫
𝟐𝒙𝟐+𝟒𝟏𝒙−𝟗𝟏
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟑)(𝒙−𝟒)
. 𝒅𝒙 
2𝑥2+41𝑥−91
(𝑥−1)(𝑥+3)(𝑥−4)
=
𝐴
𝑥−1
+
𝐵
𝑥+3
+
𝐶
𝑥−4
 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 
Vamos a tener en cuenta cuales son los valores de (x) que anulan cada termino en el denominador 
𝑥 = 1; 𝑥 = −3; 𝑥 = 4 
2𝑥2 + 41𝑥 − 91
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)
=
𝐴(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)
 
 
Para encontrar el valor de A hacemos 𝑥 = 1 
−48 = 𝐴(1 + 3)(1 − 4) + 𝐵(1 − 1)(1 − 4) + 𝐶(1 − 1)(1 + 3) 
−48 = 𝐴(4)(−3) + 𝐵(0)(−3) + 𝐶(0)(4) → −12𝐴 = −48 → 𝑨 = 𝟒 
Para encontrar el valor de B hacemos 𝑥 = −3 
−196 = 𝐴(−3 + 3)(−3 − 4) + 𝐵(−3 − 1)(−3 − 4) + 𝐶(−3 − 1)(−3 + 3) 
−196 = 𝐴(0)(−7) + 𝐵(−4)(−7) + 𝐶(−4)(0) → 28𝐵 = −196 → 𝑩 = −𝟕 
Para encontrar el valor de C hacemos 𝑥 = 4 
105 = 𝐴(4 + 3)(4 − 4) + 𝐵(4 − 1)(4 − 4) + 𝐶(4 − 1)(4 + 3) 
105 = 𝐴(7)(0) + 𝐵(3)(0) + 𝐶(3)(7) → 21𝐶 = 105 → 𝑪 = 𝟓 
Reemplazamos en la Integral 
 
4 ∫
1
𝑥 − 1
. 𝑑𝑥 − 7 ∫
1
𝑥 + 3
. 𝑑𝑥 + 5 ∫
1
𝑥 − 4
. 𝑑𝑥 = 𝟒 𝐥𝐧|𝒙 − 𝟏| − 𝟕 𝐥𝐧|𝒙 + 𝟑| + 𝟓 𝐥𝐧|𝒙 − 𝟒| + 𝒄 
 
 g.- ∫
𝒅𝒙
𝒙𝟐−𝒙−𝟐 
 
𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟐
=
𝟏
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟏)
=
𝑨
𝒙−𝟐
+
𝑩
𝒙+𝟏
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 
 
Vamos a tener en cuenta cuales son los valores de (x) que anulan cada termino en el denominador 
𝑥 = 2; 𝑥 = −1 
1
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
=
𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
 
 
Para encontrar el valor de A hacemos 𝑥 = 2 
1 = 𝐴(2 + 1) + 𝐵(2 − 2) 
1 = 𝐴(3) + 𝐵(0) → 3𝐴 = 1 → 𝑨 =
𝟏
𝟑
 
Para encontrar el valor de B hacemos 𝑥 = −1 
1 = 𝐴(−1 + 1) + 𝐵(−1 − 2) 
1 = 𝐴(0) + 𝐵(−3) → −3𝐵 = 1 → 𝑩 = −
𝟏
𝟑
 
Reemplazamos en la Integral 
 
1
3
∫
1
𝑥 − 2
. 𝑑𝑥 −
1
3
∫
1
𝑥 + 1
. 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟑
𝐥𝐧|𝒙 − 𝟐| −
𝟏
𝟑
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟏| + 𝒄 
 
h.- ∫
𝒙𝟐+𝟑
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟐)𝟐
. 𝒅𝒙 
𝒙𝟐+𝟑
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟐)𝟐
=
𝑨
𝒙−𝟐
+
𝑩
𝒙+𝟐
+
𝑪
(𝒙+𝟐)𝟐
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 
Vamos a resolver nuestro problema utilizando una IGUALACION DE EXPRESIONES. 
𝒙𝟐 + 𝟑
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)𝟐
=
𝑨(𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝑩(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) + 𝑪(𝒙 − 𝟐)
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)𝟐
 
𝑥2 + 3 = 𝐴𝑥2 + 4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 − 4𝐵 + 𝐶𝑥 − 2𝐶 Igualamos los monomios semejantes 
Termino cuadrático 𝑥2 = (𝐴 + 𝐵)𝑥2 → 𝐴 + 𝐵 = 1 → 𝐵 = 1 − 𝐴 (1) 
Termino lineal 0𝑥 = (4𝐴 + 𝐶)𝑥 → 4𝐴 + 𝐶 = 0 → 𝐶 = −4𝐴 (2) 
Termino independiente 3 = 4𝐴 − 4𝐵 − 2𝐶 (3) 
Reemplazamos (1) y (2) en (3) 
4𝐴 − 4(1 − 𝐴) − 2(−4𝐴) = 3 → 16𝐴 = 7 → 𝑨 =
𝟕
𝟏𝟔
 
Reemplazamos en (1) para conocer B 
𝐵 = 1 −
7
16
 → 𝑩 =
𝟗
𝟏𝟔
 
Reemplazamos en (2) para conocer C 
𝐶 = −4.
7
16
 → 𝑪 = −
𝟕
𝟒
 
Reemplazamos en la Integral 
 
7
16
∫
1
𝑥 − 2
. 𝑑𝑥 +
9
16
∫
1
𝑥 + 2
. 𝑑𝑥 −
7
4
∫
1
(𝑥 + 2)2
. 𝑑𝑥 =
𝟕
𝟏𝟔
𝐥𝐧|𝒙 − 𝟐| +
𝟗
𝟏𝟔
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟐| +
𝟕
𝟒
.
𝟏
𝒙 + 𝟐
+ 𝒄 
 
i.- ∫
𝟑𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓
(𝒙+𝟑)𝟑
. 𝒅𝒙 
𝟑𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓
(𝒙+𝟑)𝟑
=
𝑨
𝒙+𝟑
+
𝑩
(𝒙+𝟑)𝟐
+
𝑪
(𝒙+𝟑)𝟑
 
Tenemos 3 fracciones porque el factor lineal está elevado al cubo. 
Vamos a resolver nuestro problema utilizando una IGUALACION DE EXPRESIONES. 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓
(𝒙 + 𝟑)𝟑
=
𝑨(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝑩(𝒙 + 𝟑) + 𝑪
(𝒙 + 𝟐)𝟑
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝐴𝑥2 + 6𝐴𝑥 + 9𝐴 + 𝐵𝑥 + 3𝐵 + 𝐶 Igualamos los monomios semejantes 
Termino cuadrático 3𝑥2 = 𝐴𝑥2 → 𝐴 = 3 
Termino lineal −2𝑥 = (6𝐴 + 𝐵)𝑥 → 6𝐴 + 𝐵 = −2 → 𝐵 = −20 
Termino independiente 5 = 9𝐴 + 3𝐵 + 3𝐶 → 𝐶 =
38
3
 
Reemplazamos en la Integral 
 
3 ∫
1
𝑥 + 3
. 𝑑𝑥 − 20 ∫
1
(𝑥 + 3)2
. 𝑑𝑥 +
38
3
∫
1
(𝑥 + 2)3
. 𝑑𝑥 = 𝟑 𝐥𝐧|𝒙 + 𝟑| + 𝟐𝟎
𝟏
𝒙 + 𝟑
−
𝟏𝟗
𝟑
.
𝟏
(𝒙 + 𝟑)𝟐
+ 𝒄 
 
 
OTRO CASO MUY INTERESANTE 
 
∫
𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐
. 𝒅𝒙 
5𝑥2 + 3𝑥 − 1
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2
=
5𝑥2 + 3𝑥 − 1
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1)
=
𝐴
𝑥 − 2
+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 1
 
En este caso debemos utilizar este numerador en el segundo termino puesto que factor es cuadrático 
5𝑥2 + 3𝑥 − 1
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1)
=
𝐴(𝑥2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1)
 
5𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 𝐴𝑥2 + 𝐴 + 𝐵𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 2𝐶 
Vamos a resolver nuestro problema utilizando una IGUALACION DE EXPRESIONES. 
Termino cuadrático 5𝑥2 = (𝐴 + 𝐵)𝑥2 → 𝐴 + 𝐵 = 5 → 𝐵 = 5 − 𝐴 (1) 
Termino lineal 3𝑥 = (−2𝐵 + 𝐶)𝑥 → −2𝐵 + 𝐶 = 3 (2) 
Termino independiente −1 = 𝐴 − 2𝐶 → 𝐶 =
𝐴
2
+
1
2
 (3) 
Reemplazamos (1) y (3) en (2) 
−2(5 − 𝐴) +
𝐴
2
+
2
2
= 3 → 𝐴 = 5 
Reemplazamos en (1) para conocer B 
𝐵 = 5 − 5 → 𝐵 = 0 
Reemplazamos en (3) para conocer C 
𝐶 =
5
2
+
1
2
 → 𝐶 = 3 
Reemplazamos en la Integral 
 
5 ∫
1
𝑥 − 2
. 𝑑𝑥 + 3 ∫
1
𝑥2 + 1
. 𝑑𝑥 = 𝟓 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟐| + 𝟑𝑨𝒓𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisis 1/PRACTICA INVERNAL 1 AM 1.pdf
EJERCICIOS DE PRACTICA 
 
Ejercicio 1: Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥4−3𝑥2−4
 
a. Determinar su Dominio. 
b. Simetría. 
c. Intersección con los ejes. 
d. Asíntotas, aplicando límites. 
 
Dominio: 
 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 como vemos se trata de una Bicuadrática, que al resolverla nos 
devuelve los siguientes valores: 
 𝒙𝟏 = −𝟐; 𝒙𝟐 = 𝟐 
 
Con lo cual podemos establecer que su dominio e 
stará dado por: 
 
𝑫 = 𝓡 − {−𝟐, 𝟐} ó 𝑫 = (−∞,−𝟐) ∪ (−𝟐, 𝟐) ∪ (𝟐,∞) 
 
Simetría: 
 Simetría Par: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) 
 
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
=
−𝒙− 𝟏
(−𝒙)𝟒 − 𝟑(−𝒙)𝟐 − 𝟒
≠
−𝒙 − 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑷𝒂𝒓 
 Simetría Impar: 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
= −
−𝒙− 𝟏
(−𝒙)𝟒 − 𝟑(−𝒙)𝟐 − 𝟒
≠
𝒙 + 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 
 
 Intersección con los Ejes Coordenados: 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒚 = 𝟎 
𝟎 =
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
 → 𝒙 − 𝟏 = 𝟎. (𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒) → 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒙 = 𝟎 
𝒚 =
𝟎 − 𝟏
𝟎𝟒 − 𝟑. 𝟎𝟐 − 𝟒
 → 𝒚 =
−𝟏
−𝟒
 → 𝒚 =
𝟏
𝟒
 
Asíntotas: 
 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
=
−𝟐− 𝟏
𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 − 𝟒
=
−𝟑
𝟎
= −∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
=
𝟐 − 𝟏
𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 − 𝟒
=
𝟏
𝟎
= ∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍
𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 (𝟏 −
𝟏
𝒙)
𝒙𝟒 (𝟏 −
𝟑
𝒙𝟐
−
𝟒
𝒙𝟒
)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏 −
𝟏
𝒙
𝒙𝟑 (𝟏 −
𝟑
𝒙𝟐
−
𝟒
𝒙𝟒
)
=
𝟏 − 𝟎
∞. (𝟏 − 𝟎 − 𝟎)
 
∴ 𝒚 = 𝟎 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍
 
 
 
 
 
| 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Resolver los siguientes Límites 
 
a. lim
𝑥→𝜋
1+𝐶𝑜𝑠 𝑥
(𝑥−𝜋)2
 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 (𝑥)𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 
0
0
 
 
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡 = 𝑥 − 𝜋 → 𝑥 = 𝑡 + 𝜋 
 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝜋 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟á 𝑞𝑢𝑒 𝑡 → 0 
 
lim
𝑡→0
1 + 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)
𝑡2
 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑦 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟. 
 
lim
𝑡→0
1 + 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)
𝑡2
 .
1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)
1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)
= lim
𝑡→0
1 − [𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)]2
𝑡2. [1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)]
 𝑃𝑜𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 
 
lim
𝑡→0
[𝑆𝑒𝑛(𝑡 + 𝜋)]2
𝑡2. [1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)]
 𝑃𝑜𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 
 
lim
𝑡→0
(𝑆𝑒𝑛 𝑡. 𝐶𝑜𝑠 𝜋 + 𝐶𝑜𝑠 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝜋)2
𝑡2. [1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)]
 𝑆𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑙 2° 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜; 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠, 𝐶𝑜𝑠 𝜋 = −1 
 
lim
𝑡→0
(𝑆𝑒𝑛 𝑡. (−1))2
𝑡2. [1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)]
= lim
𝑡→0
(𝑆𝑒𝑛 𝑡)2
𝑡2. [1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)]
 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
lim
𝑡→0
𝑆𝑒𝑛 𝑡
𝑡
. lim
𝑡→0
𝑆𝑒𝑛 𝑡
𝑡
. lim
𝑡→𝑜
1
1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)
= 1.1.
1
1 − 𝐶𝑜𝑠𝜋 
=
1
2
 
 
b. lim
𝑧→∞
√3𝑧2−3𝑧−1−𝑧3
𝑧2+√12−10𝑧
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑧4 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 
 
lim
𝑧→∞
√𝑧4 (
3
𝑧2
−
3
𝑧3
−
1
𝑧4
) − 𝑧3
𝑧2 +√𝑧4 (
12
𝑧4
−
10
𝑧3
)
= lim
𝑧→∞
𝑧2. √
3
𝑧2
−
3
𝑧3
−
1
𝑧4
− 𝑧3
𝑧2 + 𝑧2. √
12
𝑧4
−
10
𝑧3
 
 
lim
𝑧→∞
𝑧2. (√
3
𝑧2
−
3
𝑧3
−
1
𝑧4
− 𝑧)
𝑧2. (1 + √
12
𝑧4
−
10
𝑧3
)
 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 (𝑧2) 𝑦 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑑𝑒 (𝑧) 𝑝𝑜𝑟 ∞ 
 
√ 3
∞2
−
3
∞3
−
1
∞4
−∞
1 +√
12
∞4
−
10
∞3
=
√0 − 0 − 0 −∞
1 + √0 − 0
= −∞ 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Analizar la Continuidad de la siguiente función 𝑓(𝑥) =
𝑥
4𝑥−𝑥2
 
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 4𝑥 − 𝑥2 = 0 → 𝑥. (4 − 𝑥) = 0 𝑑𝑒 𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠: 
 
𝒙𝟏 = 𝟎 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 4 − 𝑥2 = 0 → 𝒙𝟐 = 𝟒 
 
𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐷 = ℛ − (0, 4) 
 
𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑇𝑖𝑝𝑜. 
 
Lim
𝑥→0
𝑥
4𝑥 − 𝑥2
= lim
𝑥→0
𝑥
𝑥. (4 − 𝑥)
= lim
𝑥→0
1
4 − 𝑥
=
1
4
 
 
𝐴𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑻𝒊𝒑𝒐 𝑬𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆, 
 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 
𝒇(𝒙) =
{
 
 
 
 
𝒙
𝟒𝒙 − 𝒙𝟐
 𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝟎
 
𝟏
𝟒
 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎
 
 
lim
𝑥→4
𝑥
4𝑥 − 𝑥2
= lim
𝑥→4
𝑥
𝑥. (4 − 𝑥)
= lim
𝑥→4
1
4 − 𝑥
=
1
0
= ∞ 
 
𝐴𝑙 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑻𝒊𝒑𝒐 𝑵𝒐 𝑬𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆, 𝒅𝒆 𝑺𝒂𝒍𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 
 
 
Analisis 1/PRACTICA INVERNAL 2 AM 1.pdf
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 
 
 
Ejercicio 1: Sea la función definida por 𝑓(𝑥) = ln (
𝑥
2𝑥−1
) se pide: 
a. Dominio. 
b. Intersección con los ejes coordenados. 
c. Simetría. 
d. Asíntotas, aplicando límites. 
 
a. Dominio: 
 
Como sabemos el argumento de los logaritmos debe ser mayor a 0. Es decir: 
 
𝒙
𝟐𝒙−𝟏
> 𝟎 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔: 
 
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟏{
𝒙 > 𝟎
𝒚
𝟐𝒙 − 𝟏 > 𝟎 → 𝒙 >
𝟏
𝟐
 ∴ (
𝟏
𝟐
, ∞) ó 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐{
𝒙 < 𝟎
𝒚
𝒙 <
𝟏
𝟐
 ∴ (−∞,𝟎) 
 
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 = (−∞,𝟎) ∪ (
𝟏
𝟐
,∞) 
 
b. Intersección con los Ejes Coordenados: 
 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒚 = 𝟎 
 
0 = ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝒂𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 
 
𝑒0 =
𝑥
2𝑥 − 1
 → 
𝑥
2𝑥 − 1
= 1 → 𝑥 = 2𝑥 − 1 → 𝒙 = 𝟏 
 
∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒙 = 𝟎 
 
𝒚 = 𝐥𝐧 (
𝟎
𝟐. 𝟎 − 𝟏
) → 𝒚 = 𝐥𝐧(𝟎) → 𝒚 = ∞ ∴ 𝑵𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
c. Simetría: 
 
Simetría Par: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) 
𝐥𝐧 (
𝒙
𝟐𝒙 − 𝟏
) ≠ 𝐥𝐧(
−𝒙
−𝟐𝒙 − 𝟏
) 
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑷𝒂𝒓 
 Simetría Impar: 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
 𝐥𝐧 (
𝒙
𝟐𝒙−𝟏
) ≠ −𝐥𝐧 (
−𝒙
−𝟐𝒙−𝟏
) 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 
 
 
 
d. Asíntotas: 
 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→0
ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln lim
𝑥→0
(
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln (
0
0 − 1
) = ln(0) = −∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
lim
𝑥→
1
2
ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln lim
𝑥→
1
2
(
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln(
1
2
1 − 1
) = ln(∞) = ∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→∞
ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln lim
𝑥→∞
(
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln [
𝑥
𝑥. (2 −
1
𝑥
)
] = ln [
1
(2 −
1
∞
)
] = ln (
1
2
) 
∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Resolver los siguientes Límites 
𝑎. lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
1+𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑠𝑒 
 
lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
1
. (
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
𝑥
 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
1
. lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
𝑥
 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→∞
𝑥2 (1 +
1
𝑥2
)
𝑥2 (
2
𝑥2
+ 3)
. lim
𝑥→∞
[
𝑥2 (1 +
1
𝑥2
)
𝑥2 (
2
𝑥2
+ 3)
]
𝑥
 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
 
1 +
1
∞2
2
∞2
+ 3
 . [
1 +
1
∞2
2
∞2
+ 3
]
∞
 → 
1 + 0
0 + 3
 . [
1 + 0
0 + 3
]
∞
 → 
1
3
 . [
1
3
]
∞
 → 
1
3
 . 0 = 0 
 
 
𝑏. 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑥→0
2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛 𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
=
3
2
 
 
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→0
(
2𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
+ 
𝑆𝑒𝑛 𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
) 𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
lim
𝑥→0
2𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
+ lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
 𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 (𝑥)𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 
 
lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥. (3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥)
+ lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥. (3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥)
 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
lim
𝑥→0
2
3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥
+ (lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
 . lim
𝑥→0
1
3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥
) 𝐸𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 
 
2
3 − 𝐶𝑜𝑠 0
+ (1 .
1
3 − 𝐶𝑜𝑠 0
) = 
2
3 − 1
+ 
1
3 − 1
= 1 +
1
2
= 
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Analice la continuidad de la función 
 
𝑔(𝑥) = {
𝑥 −
2
3
 𝑥 <
2
7 𝑥 = 2
√2𝑥2+1−3
𝑥−2
 𝑥 > 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→2+
√2𝑥2 + 1 − 3
𝑥 − 2
=
0
0
 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
 
lim
𝑥→2+
√2𝑥2 + 1 − 3
𝑥 − 2
 .
√2𝑥2 + 1 + 3
√2𝑥2 + 1 + 3
= lim
𝑥→2+
(√2𝑥2 + 1)
2
− 32
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
lim
𝑥→2+
2𝑥2 + 1 − 9
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
= lim
𝑥→2+
2𝑥2 − 8
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
= lim
𝑥→2+
2. (𝑥2 − 4)
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
 𝐷𝑖𝑓. 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→2+
2. (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
= lim
𝑥→2+
2. (𝑥 + 2)
√2𝑥2 + 1 + 3
=
2. (2 + 2)
√2. (2)2 + 1 + 3
=
8
6
=
𝟒
𝟑
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐+
𝒈(𝒙) ∴ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒈(𝒙) =
𝟒
𝟑
 
 
3° Condición: 𝑔(2) ≠ lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) ∴ 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝑻𝒊𝒑𝒐 𝑬𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 (∃ 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒) 
Redefiniendo la Función: 
 
𝑔(𝑥) =
{
 
 
 
 𝑥 −
2
3
 𝑥 < 2
𝟒
𝟑
 𝒙 = 𝟐
√2𝑥2 + 1 − 3
𝑥 − 2
 𝑥 > 2
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando las condiciones de Continuidad para el punto x = 2 
1° Condición: ∃ 𝒈(𝟐) = 𝟕 
2° Condición: Analizamos los Límites Laterales 
lim
𝑥→2−
𝑥 −
2
3
= 2 −
2
3
=
6 − 2
3
=
𝟒
𝟑
 
Ejercicio 4: Dadas las funciones: 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) = log2(𝑥 + 2); se pide: 
 
a. Determinar la existencia de (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
b. Hallar el Dominio de (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
c. Escribir (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
 
a. Condición de existencia de (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
(𝒇𝒐𝒈)𝒙 ∃ 𝒔𝒊 𝑫𝒐𝒎 𝒇 ∩ 𝑹𝒈𝒐 𝒈 ≠ ∅ 
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 → 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙 ≥ 𝟏 → 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = [𝟏,∞) 
𝑹𝒈𝒐 𝒇 = [𝟎,∞) 
 
Para saber el Rgo de g(x), hacemos: 
𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 + 𝟐 > 𝟎 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 > −𝟐 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = (−𝟐,∞) 
 
𝟐𝒈 = 𝒙 + 𝟐 → 𝒙 = 𝟐𝒈 − 𝟐 → 𝑹𝒈𝒐 𝒈 = (−∞,∞) 
 
[𝟏,∞) ∩ (−∞,∞) = [𝟏,∞) ≠ ∅ 𝑳𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
 
b. Para encontrar el Dominio de (𝑓𝑜𝑔)𝑥 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒈/ 𝒈(𝒙) ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒇} 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = (−𝟐,∞)/ 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐) ∈ [𝟏,∞) 
 
𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐) ≥ 𝟏 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑. 
 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 ≥ 𝒄
{
 
 
 
 
𝒂 ≥ 𝒃𝒄 𝒃 > 𝟏 
𝒂 ≤ 𝒃𝒄 𝟎 < 𝒃 < 𝟏
 
 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝑶𝒑𝒄𝒊ó𝒏, 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 
𝒂𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒂 𝟎, 𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐 
𝒍𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔.
 
 
(𝒙 + 𝟐) > 𝟎 → 𝒙 > −𝟐 𝒙 + 𝟐 ≥ 𝟐𝟏 → 𝒙 ≥ 𝟐 − 𝟐 → 𝒙 ≥ 𝟎 
 
(−𝟐,∞) ∩ [𝟎,∞) = [𝟎,∞) 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = (−𝟐,∞) ∩ [𝟎,∞) → 𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = [𝟎,∞) 
 
c. La función (𝑓𝑜𝑔)𝑥 
 
(𝒇𝒐𝒈)𝒙 = √𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙 + 𝟐) − 𝟏 
Analisis 1/PRACTICA INVERNAL 3 AM 1.pdf
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 
 
 
Ejercicio 1: Sea la función definida por 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2−|𝑥|
 se pide: 
a. Dominio. 
b. Intersección con los ejes coordenados. 
c. Simetría. 
d. Asíntotas, aplicando límites. 
 
a. Dominio: 
 
Como sabemos el valor absoluto puede expresarse como: 
 
|𝒙| = √𝒙𝟐 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒅𝒓í𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂: 
 
𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙𝟐 − √𝒙𝟐
 𝑬𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 
 
𝒙𝟐 − √𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐 = √𝒙𝟐 𝑬𝒍𝒆𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒎𝒊𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 
 
𝒙𝟒 = 𝒙𝟐 → 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐. (𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎 𝑫𝒆 𝒂𝒒𝒖𝒊 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓: 
 
𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟎 𝑷𝒐𝒓 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔: 
 
𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙𝟐 = 𝟏 → 𝒙 = ±𝟏 
 
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 = (−∞,−𝟏) ∪ (−𝟏, 𝟎) ∪ (𝟎, 𝟏) ∪ (𝟏,∞) 
 
 
b. Intersección con los Ejes Coordenados: 
 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒚 = 𝟎 
 
𝟎 =
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
 → 𝒙 = 𝟎. (𝒙𝟐 − |𝒙|) → 𝒙 = 𝟎 
 
 
 
∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒙 = 𝟎 
 
𝒚 =
𝟎
𝟎𝟐 − |𝟎|
 → 𝒚 =
𝟎
𝟎
 ∴ 𝑵𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
c. Simetría: 
 
Simetría Par: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) 
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
≠
−𝒙
(−𝒙)𝟐 − |−𝒙|
≠
−𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
 
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑷𝒂𝒓 
 Simetría Impar: 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
 
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
= −
−𝒙
(−𝒙)𝟐 − |−𝒙|
=
𝒙
𝒙𝟐 − |𝒙|
 
 
∴ 𝑻𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 
d. Asíntotas: 
 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→−1
𝑥
𝑥2 − |𝑥|
=
−1
(−1)2 − |−1|
=
−1
1 − 1
=
−1
0
= −∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥2 − |𝑥|
=
0
0
 → lim
𝑥→0
𝑥
𝑥2 − 𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥
𝑥. (𝑥 − 1)
=
1
0 − 1
= −1 ∴ 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥2 − |𝑥|
=
1
12 − |1|
=
1
1 − 1
=
1
0
= ∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥2 − 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥. (𝑥 − 1)
=
1
∞ − 1
= 0 
∴ 𝒚 = 𝟎 𝒕𝒆𝒏𝒈𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Resolver los siguientes Límites 
𝑎. lim
𝑥→0
𝑥2. √1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 𝑥2
2𝑥2. 𝐶𝑜𝑠𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 
 
lim
𝑥→0
𝑥2. (√1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1)
2𝑥3. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
= lim
𝑥→0
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1
2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
lim
𝑥→0
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1
2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
.
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1
√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1
= lim
𝑥→0
(√1 + 𝑇𝑔 𝑥)
2
− 12
(2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥)(√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 
 
lim
𝑥→0
1 + 𝑇𝑔 𝑥 − 1
(2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥)(√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑈𝑡𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑇𝑔 𝑥 
 
lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
∶ (2𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥)(√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1) = lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
2𝑥. (𝐶𝑜𝑠 𝑥)2. (√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 
 
lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
. lim
𝑥→0
1
2. (𝐶𝑜𝑠 𝑥)2. (√1 + 𝑇𝑔 𝑥 + 1)
 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
 
𝟏.
1
2. (𝐶𝑜𝑠 0)2. (√1 + 𝑇𝑔 0 + 1)
= 𝟏.
1
2. 12. (1 + 1)
=
1
2 + 2
=
𝟏
𝟒
 
 
 
𝑏. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 lim
𝑥→−∞
(
1
3)
𝑥+2
+ 4
(
1
3)
𝑥
− 6
 
 
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→−∞
(
1
3)
𝑥
. (
1
3)
2
+ 4
(
1
3)
𝑥
− 6
 𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 (
1
3
)
𝑥
= (3)−𝑥 
 
lim
𝑥→−∞
(3)−𝑥. (
1
3)
2
+ 4
(3)−𝑥 − 6
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 (3)−𝑥 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
lim
𝑥→−∞
(3)−𝑥. [
1
9 +
4
(3)−𝑥
]
(3)−𝑥. [1 −
6
(3)−𝑥
]
 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
 
lim
𝑥→−∞
[
1
9 +
4
(3)−𝑥
]
[1 −
6
(3)−𝑥
]
 = 
1
9 +
4
3−(−∞)
1 −
6
3−(−∞)
 = 
1
9 +
4
3∞
1 −
6
3∞
 = 
1
9 +
4
∞
1 −
6
∞
 = 
1
9 + 0
1 − 0
= 
𝟏
𝟗
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Sea la función 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
|𝑥2−1|
se pide: 
a. Dominio y Rango de la función. 
b. Diga si es Biunívoca. 
c. De no serlo, restrinja su dominio para que admita inversa. 
d. Encontrar 𝑓(𝑥)−1
e. Graficar 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑓(𝑥)−1 
 
a. Al ser una Función Exponencial no presenta restricciones de Dominio, razón por la cual podemos 
decir entonces que: 
 
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = (−∞,∞) 𝒐 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝓡 
 
Para analizar su Rango vamos a valernos de su Gráfica. 
 
De la misma podemos deducir que el Rango estará definido por: 
𝑹𝒈𝒐 𝒇 = (𝟎, 𝟏] 
b. La función NO es Biunívoca puesto que tiene Simetría Par. Además, podríamos justificarlo de la 
siguiente manera: 
 
Dados dos valores cualesquiera pertenecientes al dominio tal que 𝑥1 ≠ 𝑥2, obtenemos que 𝑓(𝑥1) =
𝑓(𝑥2) como, por ejemplo: 
 𝒙𝟏 = −𝟏 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟏 → 𝒇(𝒙𝟏) = 𝒇(𝒙𝟐) = 𝟏 
 
Otra forma sería el análisis gráfico, al trazar una paralela al eje de las Abscisas vemos que corta en 
más de un punto, con lo cual también aseguramos que la función NO es Biunívoca. 
 
c. Por no ser Biunívoca deberemos restringir su Dominio. De la gráfica vemos que es conveniente 
tomar el intervalo correspondiente a [1,∞) y la función estaría dada por: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒚 = (
𝟏
𝟐
)
(𝒙𝟐−𝟏)
 𝑫𝒐𝒎𝒓 𝒇 = [𝟏,∞) 𝑹𝒈𝒐𝒓 𝒇 = (𝟎, 𝟏] 
 
d. Para despejar la variable (x) aplicamos Logaritmo con base 1/2: 
 
𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
(𝒙𝟐−𝟏)
 → 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟏). 𝟏 → 𝒙 = √𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒚 
 
𝒇(𝒙)−𝟏 = √𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙 𝑫𝒐𝒎 𝒇−𝟏 = (𝟎, 𝟏] 𝑹𝒈𝒐 𝒇−𝟏 = [𝟏,∞) 
 
e. 
 
 
 
Ejercicio 4: Analice la Continuidad de la función en el intervalo (-6, -1). Si presenta discontinuidades, 
clasifíquelas y refina si es necesario. 
 
 
 
 
Recordemos que, una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es 
continua en cada punto de ese conjunto. Decimos que 𝒈(𝒙) es continua en (a, b) sí y sólo sí 𝒈(𝒙) es 
continua ∀ x ∈ (a, b). 
Al no haber un signo igual en ningún tramo de la función 𝒈(𝒙) podemos establecer que: 
−𝟓 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒈 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂 ∴ 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒇𝒊𝒓𝒎𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒂 𝒆𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 (−𝟔,−𝟏) 
Para conocer la naturaleza de la misma, debemos calcular los límites laterales. 
lim
𝑥→−5−
4 − √4𝑥2 − 84
𝑥 + 5
=
0
0
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
lim
𝑥→−5−
4 − √4𝑥2 − 84
𝑥 + 5
.
4 + √4𝑥2 − 84
4 + √4𝑥2 − 84
= lim
𝑥→−5−
42 − (√4𝑥2 − 84)
2
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 
lim
𝑥→−5−
16 − 4𝑥2 + 84
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
= lim
𝑥→−5−
−4𝑥2 + 100
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
= lim
𝑥→−5−
−4(𝑥2 − 25)
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
 
lim
𝑥→−5−
−4. (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
(𝑥 + 5)(4 + √4𝑥2 − 84)
= lim
𝑥→−5−
−4. (𝑥 − 5)
(4 + √4𝑥2 − 84)
 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
𝑔(𝑥) =
ە
۔
4ۓ − √4𝑥
2 − 84
𝑥 + 5
 
⬚
6𝑥 + 35 
 
𝑥 < −5 
 
𝑥 > −5 
 
−4. (−5 − 5)
4 + √4(−5)2 − 84
=
40
4 + √16
=
40
8
= 𝟓 
 
lim
𝑥→−5+
6𝑥 + 35 = 6. (−5) + 35 = 𝟓 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟓−
𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟓+
𝒈(𝒙) = 𝟓 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟓
𝒈(𝒙) = 𝟓 
Como los Límites laterales existen y además son iguales, podemos concluir que la Discontinuidad es del 
Tipo Evitable en el Intervalo (−6,−1). 
𝒈(𝒙) = {
𝟒 − √𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝟒
𝒙 + 𝟓
 𝒙 < −𝟓
𝟓 𝒙 = −𝟓
𝟔𝒙 + 𝟑𝟓 𝒙 > −𝟓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisis 1/PRACTICA INVERNAL 4 AM 1.pdf
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 
 
Ejercicio 1: Dadas las funciones: 𝑓(𝑥) = 4 + 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 − 2); se pide: 
 
a. Determinar la existencia de (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
b. Hallar el Dominio de (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
c. Escribir (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
 
a. Condición de existencia de (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
(𝒈𝒐𝒇)𝒙 ∃ 𝒔𝒊 𝑫𝒐𝒎 𝒈 ∩ 𝑹𝒈𝒐 𝒇 ≠ ∅ 
𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 − 𝟐 > 𝟎 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 > 𝟐 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = (𝟐,∞) 
𝑹𝒈𝒐 𝒈 = 𝓡 
 
Ahora buscamos 𝐷𝑜𝑚 𝑓 y 𝑅𝑔𝑜 𝑓 
𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝓡 
𝐴𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢 𝑉é𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∴ 𝑹𝒈𝒐 𝒇 = [𝟒,∞) 
 
(𝟐,∞) ∩ [𝟒,∞) = [𝟒,∞) ≠ ∅ 𝑳𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
 
 
b. Para encontrar el Dominio de (𝑔𝑜𝑓)𝑥 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒇/ 𝒇(𝒙) ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒈} 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = 𝓡/𝟒 + 𝒙
𝟐 ∈ (𝟐,∞) 
 
𝟒 + 𝒙𝟐 > 𝟐 → 𝒙𝟐 > −𝟐 𝒙 ∈ 𝓡 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 
 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = 𝓡 → 𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = (−∞,∞) 
 
c. La función (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
 
(𝒈𝒐𝒇)𝒙 = 𝐥𝐧(𝟒 + 𝒙
𝟐 − 𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Sea la función definida por 𝑓(𝑥) =
ln|𝑥|−1
𝑥
 se pide: 
a. Dominio. 
b. Intersección con los ejes coordenados. 
c. Simetría. 
d. Asíntotas, aplicando límites. 
 
a. Dominio: 
 
Como se trata de una función que tiene Valor absoluto, vamos a descomponerla y estudiar por 
separado: 
𝑓(𝑥) =
ln|𝑥| + 1
𝑥
= {
ln(−𝑥) + 1
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑅𝑎𝑚𝑎 1
ln(𝑥) + 1
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑅𝑎𝑚𝑎 2
 
Para calcular el dominio estudiamos el dominio de cada rama y en particular para cada función 
sus elementos que nos puedan dar problemas, en este caso, por ejemplo, el hecho de que lleve 
un logaritmo y sea racional. 
 
Rama 1: 
 
Debemos tener en cuenta que el intervalo de estudio es (−∞, 0), lo que hace que el argumento 
del (Ln) sea Positivo. Y por otro lado al ser una función Racional debemos analizar el 
denominador: 
𝑥 ≠ 0 ∴ 𝐸𝑙 𝐷𝑜𝑚𝑟1 𝑓 = (−∞, 0) 
 
Rama 2: 
 
De manera análoga lo hacemos para la otra rama, sabiendo que ahora el intervalo de estudio 
esta dado por [0,∞), e igual forma analizamos el denominador: 
 
𝑥 ≠ 0 ∴ 𝐸𝑙 𝐷𝑜𝑚𝑟2 𝑓 = (0,∞) 
 
Siendo entonces el 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) 
 
𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑫𝒐𝒎𝒓𝟏 𝒇 ∪ 𝑫𝒐𝒎𝒓𝟐 𝒇 = (−∞, 𝟎) ∪ (𝟎,∞) = 𝓡 − {𝟎} 
 
 
b. Intersección con los Ejes Coordenados: 
 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒚 = 𝟎 
 
𝟎 =
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
 → 𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏 = 𝟎. (𝒙) → 𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏 = 𝟎 → 𝐥𝐧|𝒙| = −𝟏 
 
𝑩𝒂𝒔𝒆𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝑨𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 |𝒙| = 𝒆−𝟏 =
𝟏
𝒆
 → 𝒙 = {
 
𝟏
𝒆
 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
−
𝟏
𝒆
 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
 
 
 
 
∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒙 = 𝟎 (𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜) 
 
𝒚 =
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
 → 𝒚 =
𝐥𝐧|𝟎| + 𝟏
𝟎
 → {
−∞ 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
 ∞ 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
 ∴ 𝑵𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
c. Simetría: 
 
Simetría Par: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) 
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
≠
𝐥𝐧|−𝒙| + 𝟏
−𝒙
 
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑷𝒂𝒓 
 Simetría Impar: 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
 
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
= −
𝐥𝐧|−𝒙| + 𝟏
−𝒙
=
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
 
 
∴ 𝑻𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 
d. Asíntotas: 
 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→0
ln|𝑥| + 1
𝑥
=
ln|0| + 1
0
= ±∞ ∴ 𝑬𝒏 𝒙 = 𝟎 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→∞
ln|𝑥| + 1
𝑥
= 0 
 
∴ 𝒚 = 𝟎 𝒕𝒆𝒏𝒈𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Resolver el siguiente Límite 
𝑎. lim
𝑥→∞
𝑥. ln (
𝑥2 + 1
𝑥2 + 2
) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→∞
ln (
𝑥2 + 1
𝑥2 + 2
)
𝑥
= ln lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
𝑥2
+ 2
)
𝑥
= ln 1∞ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
]
𝒉(𝒙)
= 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒉(𝒙).[
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
−𝟏]
 
 
ln lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
𝑥2 + 2
)
𝑥
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
𝑥.(
𝑥2+1
𝑥2+2
−1)
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
𝑥.(
𝑥2+1−𝑥2−2
𝑥2+2
)
 
 
ln 𝑒
lim
𝑥→∞
(
−𝑥
𝑥2+2
)
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−𝑥
𝑥2.(1+
2
𝑥2
)
]
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−1
𝑥.(1+
2
𝑥2
)
]
 
 
ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−1
∞.(1+
2
∞2
)
]
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−1
∞.(1+0)
]
= 𝐥𝐧(𝒆𝟎) = 𝟎 
 
 
 
𝑏. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 lim
𝑥→0
√(cos 𝑥 − 1)2
3
𝑇𝑔 𝑥
 
lim
𝑥→0
√(cos𝑥 − 1)2
3
𝑇𝑔 𝑥
=
0
0
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
lim
𝑥→0
√(cos𝑥 − 1)2
3
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √(cos 𝑥 − 1)2
3
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑎𝑖𝑧 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
(cos 𝑥 − 1)2
𝑠𝑒𝑛3𝑥
 
3
 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑟 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
(1 − cos 𝑥)2
𝑠𝑒𝑛3𝑥
 
3
 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = (1 − cos 𝑥)(1 + cos 𝑥) 
 
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 1 − cos 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
1 + cos 𝑥
 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √(
𝑠𝑒𝑛2𝑥
1 + cos 𝑥
)
2
: 𝑠𝑒𝑛3𝑥 
3
 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥. (1 + cos 𝑥)2
3
 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
𝑠𝑒𝑛 𝑥
(1 + cos 𝑥)2
3
= cos 0. √
𝑠𝑒𝑛 0
(1 + cos 0)2
3
= 1. √
0
2
3
= 1.0 = 𝟎 
 
Analisis 1/Practica Recta y Función.pdf
ANALISIS MATEMATICO I 
PRACTICA DE ANALISIS DE FUNCIÓN Y RECTA TANGENTE/NORMAL 
 
Dada la siguiente función 𝑓(𝑥) =
𝑥
3−𝑥2
 , determinar: 
• Dominio. 
 
Al ser una función fraccionaria debemos analizar el denominador: 
3 − 𝑥2 = 0 → 𝑥2 = 3 → 𝑥 = ±√3 𝑫𝒐𝒎 = 𝓡 − {−√𝟑, √𝟑} 
 
• Extremos Relativos. 
 
Para encontrar los extremos debemos saber cuáles son los puntos críticos, para ello: 
 
𝑓′(𝑥) = 0 → 𝑓′(𝑥) =
1. (3 − 𝑥2) − 𝑥. (0 − 2𝑥)
(3 − 𝑥2)2
= 0 
𝑓′(𝑥) =
3 − 𝑥2 + 2𝑥2
(3 − 𝑥2)2
= 0 → 𝑥2 + 3 = 0 → 𝒙 = √−𝟑 ∄ 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 
 
∴ 𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
• Intervalos de Crecimiento/Decrecimiento. 
 
Para conocer el o los intervalos de Crecimiento/Decrecimiento vamos a tomar valores de prueba que 
estén dentro del dominio de la función y reemplazarlos en la 1° derivada para analizar su signo. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 1° DERIVADA CONCLUSION 
(−∞, −√3) -2 
(−2)2 + 3
[3 − (−2)2]2
> 0 Creciente 
(−√3, √3) 0 
02 + 3
[3 − 02]2
> 0 Creciente 
(√3, ∞) 2 
22 + 3
[3 − 22]2
> 0 Creciente 
 
La función es totalmente creciente 
 
• Puntos de Inflexión. 
 
Para saber si la función presenta puntos de inflexión debemos utilizar la 2° derivada e igualarla a cero. 
 
𝑓′(𝑥) =
3 + 𝑥2
(3 − 𝑥2)2
 
 
𝑓′′(𝑥) =
(0 + 2𝑥). (3 − 𝑥2)2 − (3 + 𝑥2). 2. (3 − 𝑥2). (0 − 2𝑥)
[(3 − 𝑥2)2]2
=
2𝑥3 + 18𝑥
(3 − 𝑥2)3
= 0 
 
2𝑥3 + 18𝑥 = 0 → 2𝑥. (𝑥2 + 9) = 0 {
2𝑥 = 0 → 𝒙 = 𝟎
𝑥2 = −9 → ∄ 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝓡
 
 
∴ 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑃(0,0) 
 
• Intervalos de Concavidad 
 
Para analizar los intervalos tomamos el punto de inflexión, mas las restricciones de dominio que tenga 
la 2° derivada. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 2° DERIVADA CONCAVIDAD 
(−∞, −√3) -2 
2(−2)3 + 18(−2)
(3 − (−2)2)3
> 0 
(−√3, 0) -1 
2(−1)3 + 18(−1)
(3 − (−1)2)3
< 0 
(0, √3) 1 
2. 13 + 18.1
(3 − 12)3
> 0 
(√3, ∞) 2 
2. 23 + 18.2
(3 − 22)3
< 0 
 
 
• Grafica. 
 
 
 
 
• Rango. 
𝑹𝒈𝒐 = 𝓡 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada la siguiente función 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑒𝑥
 se pide: 
• Dominio. 
A pesar de ser una función fraccionaria vemos que 𝑒𝑥 = 0 solo cuando 𝑥 → −∞, por lo tanto, 
podríamos decir que el dominio será: 
𝑫𝒐𝒎 = 𝓡 
• Puntos Críticos. 
 
Para encontrar el o los extremos relativos debemos encontrar los Puntos Críticos. Lo cual hacemos 
igualando a 0 la Primera Derivada. 
 
𝑓′(𝑥) = 0 → 𝑓′(𝑥) =
1. 𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥
(𝑒𝑥)2
= 0 
 
𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥
(𝑒𝑥)2
= 0 → 𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥 = 0 → 𝑒𝑥. (1 − 𝑥) = 0 {
𝑒𝑥 ≠ 0
1 − 𝑥 = 0 → 𝑥 = 1
 
 
Reemplazando este valor de (x) en la función principal obtendremos la coordenada (y) del Punto. 
 
𝑦(1) =
1
𝑒1
≅ 0,37 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑷𝒄(𝟏; 𝟎, 𝟑𝟕) 
 
• Intervalos de Crecimiento/Decrecimiento y Extremos Relativos. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 1° DERIVADA CONCLUSION 
(−∞, 1) 0 
𝑒0 − 0. 𝑒0
(𝑒0)2
> 0 Creciente 
(1, ∞) 2 
𝑒2 − 2. 𝑒2
(𝑒2)2
< 0 Decreciente 
 
Razón por la cual podemos afirmar que en Pc tenemos un Máximo Relativo 
Nota: Otra forma de determinar si el extremo es un Máximo o Mínimo es utilizando la Segunda Derivada, bajo 
la condición de que: 
𝑦′′(𝑃) > 0 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟á 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝑦′′(𝑃) < 0 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟á 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
• Puntos de Inflexión. 
 
Para encontrar el o los Puntos de Inflexión debemos encontrar la Segunda Derivada e igualarla a 0. 
𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥
𝑒2𝑥
 
𝑓′′(𝑥) =
(𝑒𝑥 − 1. 𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥). 𝑒2𝑥 − (𝑒𝑥 − 𝑥. 𝑒𝑥). 2. 𝑒2𝑥
𝑒4𝑥
= 0 
𝑓′′(𝑥) =
−𝑥. 𝑒3𝑥 − 2. 𝑒3𝑥 + 2. 𝑥. 𝑒3𝑥
𝑒4𝑥
=
𝑥. 𝑒3𝑥 − 2. 𝑒3𝑥
𝑒4𝑥
= 0 
𝑒3𝑥(𝑥 − 2)
𝑒4𝑥
= 0 → 
𝑥 − 2
𝑒𝑥
= 0 → 𝒙 = 𝟐 
Reemplazando este valor de (x) en la función principal obtendremos la coordenada (y) del Punto. 
𝑦(1) =
2
𝑒2
≅ 0,27 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑟á 𝑷𝒊(𝟐; 𝟎, 𝟐𝟕) 
• Intervalos de Concavidad. 
 
Para analizar los intervalos tomamos el punto de inflexión, más las restricciones de dominio que tenga 
(en este caso no hay restricciones) la 2° derivada. 
 
INTERVALO V. PRUEBA 2° DERIVADA CONCAVIDAD 
(−∞, 2) 0 
0 − 2
𝑒0
< 0 
 
(2, ∞) 3 
3 − 2
𝑒3
> 0 
 
 
• Grafica. 
 
 
 
• Rango. 
𝑹𝒈𝒐 = (−∞; 𝟎, 𝟑𝟔𝟖 ) 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 8: 
a. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función 𝑦 = −6𝑥4 + 2𝑥3 + 5 en el punto 
P(-1, -3). 
 
Primero debemos encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva, sabiendo que el punto P 
pertenece a la misma. En consecuencia: 
 
𝑦′ = 𝑚 = −24𝑥3 + 6𝑥2 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃 𝑦′(−1) = −24(−1)3 + 6(−1)2 
 
𝒚′ = 𝒎 = 𝟐𝟒 + 𝟔 = 𝟑𝟎 
 
A continuación, vamos a utilizar la ecuación de la Recta que pasa por un Punto y con Pendiente conocida. 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
𝑦 − (−3) = 30. [𝑥 − (−1)] → 𝑦 = 30𝑥 + 30 − 3 → 𝒚 = 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟕 𝑹. 𝑻𝒂𝒏𝒈 
 
Teniendo en cuenta que para la ecuación de la Recta Normal debemos hacer 𝑚𝑁 = −
1
𝑚
 
 
𝑦 − 𝑦0 = −
1
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
𝑦 − (−3) = −
1
30
. [𝑥 − (−1)] → 𝑦 = −
1
30
𝑥 −
1
30
− 3 → 𝒚 = −
𝟏
𝟑𝟎
𝒙 −
𝟗𝟏
𝟑𝟎
 𝑹. 𝑵𝒐𝒓𝒎 
 
 
 
 
 
 
Determine las coordenadas del o los puntos de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 en los que la pendiente de la 
recta tangente es igual
a 5 y encuentre la o las ecuaciones de las mismas. 
 
Lo que vamos a hacer es derivar nuestra función e igualarla a 5, para poder encontrar el valor de (x). 
 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 7 = 5 → 3𝑥2 = 12 → 𝒙𝟏,𝟐 = ±𝟐 
 
Con estos valores podemos encontrar las coordenadas (y) reemplazando en la función original. 
 
𝑦1(2) = 2
3 − 7.2 = −𝟔 𝑦2(−2) = (−2)
3 − 7. (−2) = 6 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑟á𝑛 
 
𝑷𝟏(𝟐, −𝟔) 𝒚 𝑷𝟐(−𝟐, 𝟔) 
 
Para encontrar las rectas utilizamos la ecuación de la Recta que pasa por un Punto y con Pendiente conocida 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
𝑦 − (−6) = 5. (𝑥 − 2) → 𝑦 = 5𝑥 − 10 − 6 → 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟔 𝑹. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝟏 
 
𝑦 − 6 = 5. [𝑥 − (−2)] → 𝑦 = 5𝑥 + 10 + 6 → 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟔 𝑹. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝟐 
 
 
Analisis 1/Practica Recta y Optimizacion.pdf
ANALISIS MATEMATICO I 
PRACTICA DE RECTA TANGENTE/NORMAL Y OPTIMIZACIÓN 
 
Recta Tangente trazada desde un Punto Exterior a la curva 
 
Dado un punto 𝑃(𝑥, 𝑦), el cual no pertenece a la función; y una función 𝑦 = 𝑓(𝑥). A modo de ejemplo 
 
 
Pudiendo igualar ambas expresiones con la finalidad de encontrar las coordenadas de los puntos de tangencia. 
EJERCICIO 14 
Determine las ecuaciones de las Rectas Tangentes que pasan por el punto 𝑃(1, −5) que son Tangentes a la 
función de ecuación 𝑦 = 𝑥2 − 2 
1° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 ∈ 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
𝑚 = 𝑓′(𝑃0) = 2𝑥 = 2𝑥0 (1) 
2° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑚) 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃 𝑦 𝑃0 
𝑚 =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 → 𝑚 =
−5 − 𝑦0
1 − 𝑥0
 
3° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
2𝑥0 =
−5 − 𝑦0
1 − 𝑥0
 → 2𝑥0. (1 − 𝑥0) = −5 − 𝑦0 → 𝑦0 = 2𝑥0
2 − 2𝑥0 − 5 (2) 
4° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 
2𝑥0
2 − 2𝑥0 − 5 = 𝑥0
2 − 2 → 𝑥0
2 − 2𝑥0 − 3 = 0 {
𝑥1 = 3
𝑥2 = −1
 
5° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 (2) 
𝑦1 = 2𝑥1
2 − 2𝑥1 − 5 → 𝑦1 = 7 → 𝑃1(3, 7) 
𝑦2 = 2𝑥2
2 − 2𝑥2 − 5 → 𝑦2 = −1 → 𝑃2(−1, −1) 
 
Vamos a tomar un punto que pertenezca a la 
Función y además a la Recta al que llamamos 
P0, recordemos que la derivada de la Función 
en P0 es equivalente a decir Pendiente (m). 
𝑚 = 𝑓′(𝑃0) 
Por otro lado, la Pendiente (m) de la Recta 
que pasa por 2 dos puntos, P0 y P1, es: 
𝑚 =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 
6° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 (1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 
𝑚1 = 2𝑥1 = 6 𝑚2 = 2𝑥2 = −2 
7° 𝑃𝑎𝑠𝑜: 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎𝟏. (𝒙 − 𝒙𝟏) 
𝒚 − 𝟕 = 𝟔. (𝒙 − 𝟑) → 𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝟏𝟏 
𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒎𝟐. (𝒙 − 𝒙𝟐) 
𝒚 + 𝟏 = −𝟐. (𝒙 + 𝟏) → 𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟑 
 
 
OPTIMIZACIÓN 
 
Prob. 1: Se inscribe un rectángulo en la elipse de ecuación 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1. Cuáles son las dimensiones del 
rectángulo de área máxima que puede inscribirse y cuál sería su área. 
 
 
Tengamos presente que el punto P al pertenecer a la elipse debe verificarla, para ello voy a despejar una de 
ellas: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 → 𝑦 = √
𝑎2𝑏2 − 𝑏2𝑥2
𝑎2
 → 𝒚 =
𝒃
𝒂
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 (𝟐) 
Dados los datos, planteamos la gráfica de una elipse 
y un rectángulo inscripto en ella. Tomamos un punto 
P (x, y) perteneciente a la elipse y siendo además uno 
de los vértices del rectángulo. 
De acuerdo a esto podemos decir que el Área del 
rectángulo puede expresarse como: 
𝑨 = 𝟐𝒙. 𝟐𝒚 = 𝟒𝒙𝒚 (1) 
Esta es el Área que debe ser máxima 
P (x, y) 
x 
y 
Podemos reemplazar este valor en (1) 
𝑨 = 𝟒𝒙.
𝒃
𝒂
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 
De esta manera el Área quedo en función de una sola variable. Además, como tenemos un extremo 𝐴′ = 0 
𝐴′ = 4.
𝑏
𝑎
. (1. √𝑎2 − 𝑥2 + 𝑥.
1
2. √𝑎2 − 𝑥2
. −(2𝑥)) = 4.
𝑏
𝑎
. (
𝑎2 − 𝑥2 − 𝑥2
√𝑎2 − 𝑥2
) = 0 
Tenemos un producto que tiene como resultado el valor 0. 
𝑎2 − 𝑥2 − 𝑥2
√𝑎2 − 𝑥2
= 0 → 2𝑥2 = 𝑎2 → 𝒙 =
𝒂
√𝟐
 
Reemplazamos en (2) 
𝒚 =
𝒃
𝒂
√𝒂𝟐 − (
𝒂
√𝟐
)
𝟐
 → 𝒚 =
𝒃
√𝟐
 
Reemplazamos en (1) 
𝐴 = 4.
𝑎
√2
.
𝑏
√2
 → 𝑨 = 𝟐. 𝒂. 𝒃 
 
Prob. 2: Considere un circulo de radio r centrado en el origen. Se inscribe un rectángulo en ese circulo y se 
hace rotar ambas figuras alrededor del eje y. esta rotación genera una esfera y un cilindro: 
a. Encuentre el volumen del cilindro generado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Encuentre las dimensiones del cilindro de volumen máximo. 
 
Como vemos, si tomamos la diagonal del rectángulo generador del cilindro, esta vale 2R y si utilizamos 
Pitágoras: 
(2𝑅)2 = (2𝑥)2 + (2𝑦)2 si despejamos (x) 
 
𝑥2 =
4𝑅2 − 4𝑦2
4
 → 𝒙𝟐 = 𝑹𝟐 − 𝒚𝟐 (𝟏) 
 
Reemplazamos en el Volumen 
P (x, y) 
x 
y 
Tener presente que, para resolver un problema de 
optimización, debemos entender cuál es la 
función a optimizar, en nuestro caso el Volumen. 
Vamos a tomar un punto que pertenezca a la 
esfera y al cilindro; a partir de esta hipótesis 
podemos decir que: 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝝅. 𝒙𝟐. 𝟐𝒚 = 𝟐. 𝝅. 𝒙𝟐. 𝒚 
Pero depende de 2 variables. 
R 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟐. 𝝅. (𝑹𝟐 − 𝒚𝟐). 𝒚 → 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟐𝝅𝑹𝟐𝒚 − 𝟐𝝅𝒚𝟑 
 
Derivamos el Volumen e igualamos a 0, puesto que allí tenemos un extremo. 
 
𝑽′ = 𝟐𝝅𝑹𝟐 − 𝟔𝝅𝒚𝟐 = 𝟎 
 
𝟐𝝅. (𝑹𝟐 − 𝟑𝒚𝟐) = 𝟎 → 𝒚 =
𝑹
√𝟑
 
 
Reemplazar en (1) para encontrar el valor de (x): 
 
𝒙𝟐 = 𝑹𝟐 −
𝑹
𝟑
𝟐
 → 𝒙 = √
𝟐
𝟑
. 𝑹 
 
 
c. Qué relación hay entre los volúmenes. 
 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑬𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑪𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐
=
𝟒
𝟑 . 𝝅. 𝑹
𝟑
𝟒
𝟑. √𝟑
. 𝝅. 𝑹𝟑
=
𝟏
𝟏
√𝟑
 
 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑬𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = √𝟑. 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑪𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 
Analisis 1/PRACTICA RECUPERADA.docx
APLICACIÓN DE DERIVADA
RECTA TANGENTE Y NORMAL
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto donde cambia la concavidad de la función.
Para conocer el punto donde cambia la concavidad la función debemos encontrar el Punto de Inflexión, el cual obtenemos a partir de la segunda derivada, entonces:
Y como sabemos debemos igualar a 0 esta segunda derivada para así poder encontrar la coordenada (x) del Punto
Reemplazamos este valor en la función original para encontrar el valor de la coordenada (y).
Por lo tanto, el punto de paso será:
Ahora debemos encontrar la pendiente además particularizarla para 
Recordando que la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente conocida es:
Recta Normal
Determine ecuación de la tangente a la curva trazada por el punto de abscisa igual a 3 de la misma.
Primero deberíamos encontrar la coordenada (y) del punto, para ello vamos a reemplazar el valor de la abscisa en la función original:	Comment by Oscar: 
Para encontrar la pendiente de la recta derivamos la función, en este caso debemos derivar como un producto:
 particularizando para el valor de abscisa
Reemplazando los datos en la ecuación de la recta:
Analisis 1/REGLA DE LHOSPITAL.pdf
REGLA DE L’HOSPITAL 
INDETERMINACIONES 
𝟎
𝟎
; 
∞
∞
; ∞ − ∞; 𝟏∞; 𝟎𝟎; ∞𝟎; 𝟎. ∞ 
EJERCICIO 9 
Suponiendo que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝟎 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙) = 𝟎 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒉(𝒙) = 𝟏