CINETICA DE CUERPO RIGIDO - Ecuaciones de movimiento - Plano general

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DINÁMICA
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CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Logro
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve ejercicios de ecuaciones de movimiento de cuerpo rígido, traslación, rotación alrededor del eje fijo, movimiento plano, movimiento alrededor de un punto fijo y movimiento general del plano, aplicando las ecuaciones correspondientes en forma correcta.
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INTRODUCCIÓN
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
En este capítulo se considera la cinemática de cuerpos rígidos, este estudio es muy importante en el diseño se engranajes, levas y mecanismos utilizados en operaciones mecánicas.
Se investigan las relaciones existentes entre el ecuación de movimiento, momentos y productos de inercias de masas de las diferentes partículas que forman un cuerporígido.
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Ecuaciones del movimiento DE UN CUERPO rígido 
Limitaremos nuestro estudio de cinemática plana a cuerpo rígido, junto con sus cargas, se consideran simétricos con referencia a un plano de referencia fijo. Como el movimiento del cuerpo se puede ver dentro del plano de referencia, todas las fuerzas y momentos par que actúan en el cuerpo, pueden proyectarse entonces en el plano. Fig 01
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
fig 01:
El ejemplo de cuerpo arbitrario podemos verlo en la fig 01. donde el origen de marco referencial inicial x, y, z coincide con el punto arbitrario P en el cuerpo. Por definición, los ejes no giran y están fijos o se trasladan a velocidad constante.
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION 
Las fuerzas externas que actúan en el cuerpo representan las fuerzas gravitacionales, eléctricas, magnéticas o de contacto entre cuerpos adyacentes se utilizara la siguiente ecuación:
Esta ecuación se conoce como la ecuación de movimiento de traslación del centro de masa de un cuerpo rígido. Plantea que la suma de todas las fuerzas externas que actúan en el cuerpo es igual a su masa por la aceleración de su centro de masa G:
Para movimiento del cuerpo en el plano x-y, la ecuación de movimiento de traslación puede escribirse en la forma de dos ecuaciones escalares independientes:
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Ecuaciones del movimiento DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Examinemos los efectos provocados por los momentos del sistema de fuerzas externas Calculados con respecto al eje perpendicular Al plano de movimiento (el eje Z ) y que pasa por el punto P. como se muestra en el diagrama de cuerpo libre De la iésima partícula.
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION 
fig 01:DCL de una partícula
fig 02
 Representa la fuerza externa resultante que actúa en la partícula fig.01, y Es la resultante de las fuerzas internas provocadas por interacciones con las partículas adyacentes. si la masa de la partícula es ( ) y su aceleración ( ) entonces su diagrama cinético se muestra en la figura 02. si sumamos los momentos con respecto al punto P, requerimos 
Los momentos con respecto a P también pueden expresarse en función de la aceleración del punto P, fig 03, su aceleración angular del cuerpo es 𝞪 y su velocidad angular 𝟂, entonces al utilizar la ecuación 
fig 03
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Ecuaciones del movimiento DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
El Último término es cero, puesto que rxr=0. Al expresar Los vectores con componentes cartesianos y realizar las operaciones del producto vectorial el resultado es:
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION 
fig 01:
Aquí presenta solo el momento de las fuerzas externas que actúan con el cuerpo P. El Momento de fuerzas internas resultantes =0. Las integrales pues se cancelan entre si. Además las integrales del primer y segundo termino se utilizan para localizar el centro de masa G del cuerpo con respecto a P. Puesto que y de la figura 01. así mismo, la ultima integral representa el momento de inercia del cuerpo respecto al eje z, es decir por tanto:
Si establecemos que y la Integramos con respecto a toda la masa m del cuerpo, obtenemos la ecuación de momento resultante.
Es posible reducir esta ecuación a una forma mas simple si el punto P coincide con el centro de masa G del cuerpo. Si este es el caso, entonces por consiguiente:
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Ecuaciones del movimiento DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
La ecuación (A) también se reescribe en función de las componentes x y y de y el momento de inercia del cuerpo. Si el punto G esta en () fig 01. y de acuerdo con el teorema de ejes paralelos, Sustituimos en (A)
ECUACION DE MOVIMIENTO DE TRASLACION 
De acuerdo con el Diagrama cinemático de la fig 01. como:
….….A
fig 02:DCL de una partícula
Si se realiza el producto vectorial y se igualan las componentes i y j respectivas se obtienen las dos ecuaciones escalares
fig 03:
fig 01:
Por otro lado podemos escribir la ecuación de una forma mas general. 
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Aplicación general de las ecuaciones de movimiento
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Resumiendo este análisis se puede escribir tres ecuaciones escalares independientes que describan el movimiento plano general de un cuerpo rígido simétrico 
Cuando Se aplican estas ecuaciones, queremos trazar siempre un diagrama de cuerpo libre, fig 01, que incluya todos los términos que intervienen en (). en algunos problemas también puede ser útil trazar el diagrama cinético del cuerpo. 
fig 01:
fig 02:
Fig 02. este diagrama explica gráficamente los términos (). es muy útil en especial cuando se utiliza para determinar las componentes de () y el momento de dichas componentes en ( 
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Ecuaciones del movimiento DE UN CUERPO rígido 
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
Cuando el cuerpo rígido que se muestra en la figura 1, experimentan una traslación, todas las partículas tienen la misma aceleración. Además (𝞪=0), en cuyo caso la ecuación de movimiento de rotación aplicada en el punto G se reduce a una forma simplificada. o sea (=0). a continuación se analizará la aplicación de este y todas las ecuaciones de movimiento producido por fuerzas para cada 1 de los dos tipos de traslación 
ECUACION DE MOVIMIENTO: TRASLACION 
fig 01:
fig 02
Cuando el cuerpo se somete a Traslación rectilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias De línea recta paralelas. el llegar a más de cuerpo libre y los diagramas cinéticos se muestran en la figura (). Cómo =0. solo () se muestra en el diagrama cinético. por tanto, las ecuaciones de movimiento pertinentes en este caso son:
TRASLACION RECTILINEA 
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Ecuaciones del movimiento DE UN CUERPO rígido 
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Cuando el cuerpo rígido se somete a traslación curvilínea, todas las partículas viajan a lo largo de trayectorias curvas paralelas. En un análisis, con frecuencia es conveniente utilizar un sistema de coordenadas inercial con su origen que coincida con el centro de masa del cuerpo, en el instante considerado y sus ejes orientados en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria del movimiento figura 1. de este modo, las 3 ecuaciones escalares de movimiento son:
TRASLACION CURVILINEA
fig 01:
Si Se suman los momentos con respecto al punto arbitrario B, entonces es necesario tener en cuenta los momentos ( de las dos componentes y con respecto a este punto. de acuerdo con el diagrama cinético h y e representan las distancias perpendiculares (oh “brazos de momento”) de B a las líneas de acción de los componentes. por consiguiente, la ecuación de momentos requerida es:
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Procedimiento PARA EL análisis
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1. El automóvil de la figura tiene una masa de 2 Mg y un centro de masa G. determine la aceleración si las ruedas traseras propulsoras siempre patinan, en tanto que las delanteras rueden libremente. Ignore la masa de las ruedas. El coeficiente de fricción cinética entre las ruedas y las carreteras es (415HB)
Ejercicios de aplicación
Se pide:
determine la aceleración
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SOLUCIÓN PARTE (I)
Ejercicios de aplicación
DCL
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
SOLUCIÓN PARTE (II)
Se reemplaza para hallar Ag de las ecuaciones anteriores
ECUACION DE MOVIMIENTO
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2. La motocicleta de la figura, tiene una masa de 125 kgy un centro de masa mientras que el motociclista tiene una masa de 75 kg y un centro de masa en . Determine el coeficiente mínimo de fricción estática entre las ruedas y el pavimento para que el motociclista realice un caballito. 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Que aceleración se requiere para hacer esto?, ignore la masa de la ruedas y suponga que la rueda delantera gira libremente.
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
DCL
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Considerando la motocicleta y al motociclista como sistemas aislados. Es posible localizar primero el centro diagrama de cuerpo libre y cinético. Y se mueven con la misma aceleración. Y la reacción normal Las 3 incógnitas en el problema son 
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3. Un embalaje uniforme de 50 kg descansa sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética . Determine la aceleración si se aplica una fuerza al embalaje como se muestra en la figura . 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determine la aceleración
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
DCL
La fuerza P puede hacer que el embalaje de deslice o que se vuelque. Como se muestra en la fig 01. se supone que el embalaje se desliza, de modo que . Además, la fuerza normal resultante actúa en O, a una distancia x (donde de la línea de centros del embalaje. Las tres incógnitas son 
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4. La viga BD de 100 kg que se muestra en la figura, esta sostenida por 2 barras cuya masa no se toma en cuenta. Determine la fuerza desarrollada en cada barra si cuando es 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determine la fuerza desarrollada en cada barra.
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
La viga se mueve con traslación curvilínea puesto que todos sus puntos se mueven a lo largo de trayectorias circulares que tienen el mismo radio 0.5 m.
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5. El automóvil cuya masa es de 1.40 Mg y centro de masa . determine las reacciones normales tanto en las ruedas delanteras como traseras del automóvil y las ruedas del remolque. si el conductor aplica los frenos traseros C del automóvil y hace que el carro patine. Considere y suponga que el enganche en A es un perno o una articulación esférica o de rotula. Las ruedas B y D giran libremente. Ignore en masa de la masa del conductor. 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determine las reacciones normales tanto en las ruedas delanteras como traseras del automóvil y las ruedas del remolque.
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
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Ecuaciones de movimiento
Considere el cuerpo rígido que se encuentra en la figura 01. El momento de inercia de un elemento diferencial dm del cuerpo con respecto a cualquiera de los 3 ejes de coordenadas se define como el producto de la masa del elemento por el cuadrado de la distancia mas corta del eje al elemento, por ejemplo, como se indica en la figura, por lo que el momento de inercia de ,asa del elemento respeto al eje x es
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fig 01:
Rotación alrededor de un eje fijo
El momento de inercia para el cuerpo puede determinarse al integrar esta expresión a lo largo de toda su masa. Por consiguiente, para cada uno de los ejes. Podemos escribir.
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Ecuaciones de movimiento
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
fig 01:
Rotación alrededor de un eje fijo
fig 02:
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Procedimiento Para el análisis
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1. El volante Desbalanceado 50 lb que se muestra en la figura tiene un radio de giro de () ft. con respecto a un eje que pasa por su centro de masa G. si se pone en movimiento desde el punto de reposo, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador O.
Ejercicios de aplicación
Se pide:
determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador O.
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
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2. Las cuatro aspas del ventilador tiene una masa total de 2 kg y un momento de inercia de ser punto de 18 kg.m2 con respecto a un eje que pasa por el centro O del ventilador. si éste se somete a un momento ()N.m, dónde t está en segundos, 
Ejercicios de aplicación
Se pide:
determine su velocidad angular cuando t= 4s, a partir del punto de reposo.
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Ecuaciones de movimiento
CINÉTICA DE cuerpo rígido 
fig 01:
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
fig 02:
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Procedimiento Para el análisis
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3. Determine la aceleración angular del carrete que se ilustra en la figura. Su masa es de 8kg y su radio de giro de Las cuerdas cuya masa se ignora se enrollan alrededor de su maza interna y borde externo
Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determine la aceleración angular del carrete.
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SOLUCIÓN PARTE ()
Ejercicios de aplicación
fig c:
fig b:
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Ejercicios de aplicación
Se pide:
Determine la aceleración angular del cohete
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Ejercicios de aplicación
SOLUCIÓN PARTE 
conclusiones
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1
Se desarrollo en la sesión los conceptos Dinámica de Cuerpo Rígido, de esa manera incorporando en el alumno los conocimientos para su aplicación y desarrollo. 
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Se planteo y desarrollo ejemplos respecto a momento de ecuaciones de movimiento de cuerpo rígido, aplicando los conceptos mencionados en clase.
3
Es importante que el alumno reconozca los conceptos desarrollados en esta sección ya que le darán un enfoque a su carrera.
GRACIAS 
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