Matemáticas Simplificadas 25

Vista previa del material en texto

CAPÍTULO 6
 ARITMÉTICA • Potenciación y radicación
99
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
EJERCICIO 60
Realiza las siguientes multiplicaciones:
 1. 8 2⋅
 2. 5 253 3⋅
 3. 7 3⋅
 4. 3 21⋅
 5. 15 12⋅
 6. 24 3 6⋅ ⋅
 7. 2 6 8⋅ ⋅
 8. 15 5 27⋅ ⋅
 9. 3 52 6 12( )( )
 10. 2 6 3 12
1
12
18( )( )⎛⎝⎜
⎞
⎠
⎟
 11. 
2
3
5
3
4
10
1
2
15⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 12. 2 5 3 20( )( )
 13. 15 93 3⋅
 14. 10 203 3⋅
 15. 2 10 5 7233( )( )
 16. 2 3 43 3 3⋅ ⋅
 17. 5 33 ⋅
 18. 4 24 ⋅
 19. 96 35 3⋅
 20. 2 2 23 4⋅ ⋅
 21. 54 23 4⋅ ⋅ 4
 22. 6 2 66 3⋅ ⋅
 23. 
3
2
6
2
6
126⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 24. 
1
2
6
1
4
26 3⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
División
División de radicales con índices iguales. Para efectuar la división se aplica el siguiente teorema: 
a
b
a
b
n
n
n=
1 Realiza 10
2
.
Solución
Los radicales son de igual índice, entonces se dividen los radicandos.
10
2
10
2
5= =
El resultado de la operación es 5
2 ¿Cuál es el resultado de 6 28
63
?
Solución
Se simplifi can los radicales y se realiza la operación.
6 28
63
6 2
3 7
6 2 7
3 7
6 2
3
12
2
= ⋅
⋅
= = ( ) = = ( ) =
2
2
7 7
7
2
3
1 4 1 4
Por tanto, el cociente es 4
 6 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
100
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Para introducir una cantidad a un radical, se debe elevar la cantidad a un exponente igual al índice del radical.
Ejemplo
Realiza 
48
2
.
Solución
El divisor se expresa como 2 22= y se realiza la operación para obtener el resultado.
48
2
48
2
48
2
48
4
1 2 3 2 3 2 3
2 2
2 2= = = = = ⋅ = ⋅ =2
División de radicales con índices diferentes. Se transforman los radicales a un índice común y después se realiza 
la división.
1 Halla el cociente de 8
4
4
3
.
Solución
Se transforman los índices de los radicales a 12 y se realiza la operación.
8
4
2
2
2
2
2
2
2
4
3
3 34 3
2 43 4
912
812
9
8
12 9 81=
( )
( )
= = =
×
×
−22 12 2=
El resultado de la operación es 212
2 ¿Cuál es el resultado de 6 12 2 6
2 3
3+ ?
Solución
Se divide cada término del numerador entre el denominador y se obtiene:
6 12 2 6
2 3
6 12
2 3
2 6
2 3
3
12
3
2 3
3
3
3 3
23 2
32 3
+ = + = +
⋅( )
=
×
×
44
2 3
3
2 26
36
+ ⋅
 = ( )+ ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = +−3 2 2 3
3
6 2 3 6 2
1
3
6
4
3
2 2
3
6 2 16 26 6
EJERCICIO 61
Realiza las siguientes operaciones:
 1. 
72
2
 2. 
10
5
 3. 
5 120
6 40
 4. 
7 140
8 7
 5. 
14
2
 6. 
1
2
10 2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ÷ ( )
 7. 
1
2
16 2 23 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ÷ ( )
 8. 
48
3
3
3
 9. 
16
4
5
3
 10. 
6
23
 11. 
4
16
5
10
 12. 
6
3
7
14
 13. 
200 50
2
−
 14. 
3 6
2
3 6−
 15. 
2 2
2
3
4
+
 16. 
2 4 16
8
3 5+ −
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
 CAPÍTULO 6
 ARITMÉTICA • Potenciación y radicación
101
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Racionalización
Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el numerador, cuyo numerador 
o denominador sea un número racional respectivamente.
Racionalización del denominador. Dada una expresión de la forma 
c
amn
, se racionaliza de la siguiente manera:
c
a
c
a
a
a
c a
a
c a
mn mn
n mn
n mn
n mn
m n mn
n mn
= ⋅ = ⋅ = ⋅
−
−
−
+ −
−
aa
c a
a
c
a
a
nn
n mn
n mn= ⋅ = ⋅
−
−
1 Transforma 1
3
 en otra expresión equivalente que carezca de raíz en el denominador.
Solución
La fracción 
1
3
 se multiplica por 3 32 1− = tanto denominador como numerador.
1
3
1
3
3
3
3
3
3
32
= ⋅ = =
Por tanto, la expresión equivalente a 
1
3
 es 
3
3
2 Racionaliza la expresión 2
5
.
Solución
Se debe separar la expresión en raíces y se multiplican por 5 52 1− = tanto numerador como denominador, para 
obtener el resultado:
2
5
2
5
5
5
10
5
10
52
= = ⋅ = =2
5
Finalmente, el resultado de la racionalización es 
10
5
Racionalización de un denominador binomio. Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio a b±( ) 
y alguno o ambos elementos tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio a b�( ).
c
a b
c
a b
a b
a b
c a b
a b±
=
±
⋅ =
⋅ ( )
−
�
�
�
2 2
1 Racionaliza la expresión 
3
1 2+
.
Solución
Se multiplica el numerador y el denominador de la expresión por 1 2− , que es el conjugado del denominador 1 2+
3
1 2
3
1 2
1 2
1 2
3 3 2 3 3 2
1 2
3 3 2
+
=
+
⋅ −
−
= −
( ) − ( )
= −
−
= −
1 2
2 2 −−
= −
 1
3 2 3
La expresión equivalente a la propuesta es 3 2 3−
 6 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
102
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
2 Racionaliza la expresión 
7
5 3−
.
Solución
Se multiplica por el conjugado del denominador y se simplifi ca para obtener el resultado.
7
5 3
7
5 3
5 3
5 3
7 5 7 3
5 3
7 5 7 3
5 3
7 5
−
=
−
⋅ +
+
= +
( ) − ( )
= +
−
=
2 2
++ 7 3
2
 
3 Racionaliza 
3 2
2
3 2
3 2
−
−
.
Solución
Se multiplica al numerador y denominador por 2 3 2+ , y se efectúa la simplifi cación. 
3 2
2
3 2
2
2
2
4 2
2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
6 3 3 6 6 2−
−
= −
−
⋅ +
+
=
( ) + − − (( )
( ) − ( )
= − −
−
= −
2
2 2
2 3 2
18 6 4
12 2
14 6
10
 
EJERCICIO 62
Racionaliza los siguientes denominadores:
 1. 
2
5
 5. 
12
6
 9. 
10
20
 13. 
4
6 + 2
 17. 
1
1 7−
 2. 
3
3
 6. 
2
3
 10. 
20 30
5
−
 14. 
2 3
1 3
+
−
 18. 
5
2 5−
 3. 
5
33
 7. 
3
20
 11. 
45 20
5
−
 15. 
3 5
2 5
+
−
 19. 
1
1 2 3+ −
 4. 
2
84
 8. 
6
43
 12. 
8
3 7+
 16. 
2
3 2+
 20. 
2
1 3 5+ +
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Racionalización de un numerador. Dada una expresión de la forma 
a
c
mn
, el numerador se racionaliza de la siguiente 
forma:
a
c
a
c
a
a
a
c a
a
c a
mn mn n mn
n mn
m n mn
n mn
nn
n
= ⋅ =
⋅
=
⋅
−
−
+ −
− −− −
=
⋅mn n mn
a
c a
1 Racionaliza el numerador de 2
3
.
Solución
Se multiplica el numerador y denominador de la fracción por 2 22 1− = y se obtiene el resultado.
2
3
2
3
2
2
2
3 2
2
3 2
2
= ⋅ = =