Administración clase 03

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Administración clase 03 
Teoría de la Firma 
 
1.1 Tecnología de Producción 
La tecnología es una restricción natural a la producción. Es el proceso que permite transformar 
insumos o factores de producción que llamaremos con la letra "x" (e indexaremos con números 
pues pueden ser varios: x = (x1, ..., xx)) en un bien final (pueden ser varios, pero trabajaremos 
siempre con un solo bien final) que llamaremos con la letra "y”. La tecnología limita las 
posibilidades de producción de la firma ya que establece qué cantidad de producto final es 
posible obtener dada la cantidad de insumos elegida. 
Como ejemplo de esto podemos considerar la producción de toneladas de planchas de acero 
(y) para lo que se requerirán cierta cantidad de hierro (x1), carbono (x2), ingenieros (x3), obreros 
(x4), maquinaria (x5), por poner algún ejemplo específico. 
Decimos que el plan de producción (x, y) es tecnológicamente factible si es posible pro- ducir y 
a partir de x. Es decir, si dada cierta cantidad de insumos "número 1", "número 2", etc, es 
posible producir la cantidad de bien final y. El conjunto de planes de producción 
tecnológicamente factibles se denomina conjunto de producción y lo vamos a llamar Y . 
La tecnología de producción va a ser descripta por medio de una función, que llamamos función 
de producción: ƒ (x) e indica la máxima cantidad de producto que la firma puede obtener con 
x unidades de insumos. 
Note que esta es una abstracción útil: las firmas ”en la realidad” (sea lo que ello fuere) no 
producen utilizando una función de producción, pero para nosotros será útil pensar su forma de 
producir mediante una función matemática. Esta nos dirá de manera aproximada la cantidad de 
bien final que se produce utilizando determinada cantidad de insumos. Ga frase de cabecera que 
utilizaré aquí es ”piensen que nuestro ente firma transforma insumos en bienes finales GOMO SI 
utilizase una función de producción. El GOMO SI hace referencia a que es simplemente una 
abstracción que nos resulta cómoda a nosotros, pero que no necesariamente tiene algo de real. 
+ 
A partir de la función de producción se puede definir el conjunto de producción de la 
siguiente manera: 
 
Y =
 
(x, y) ∈ Rn+1 : y ≤ ƒ (x)
}
 
 
Supongamos que n = 1 es decir, el bien final se produce con un único insumo. Grafiquemos un 
típico conjunto de producción: 
 
 
Dado un plan de producción (x1, ..., xn, y) ∈ Y , decimos que es eficiente si no existe ningún otro 
plan de producción (x'1, ..., x'n, y') ∈ Y tal que 6i, x'i ≤ xi y además y' ≥ y. Es decir, un plan 
es eficiente si no existe otra manera de producir lo mismo con menos insumos o de producir 
más con los mismos insumos. Con esto concluimos que un plan de producción que cumpla que 
y < ƒ (x) no puede ser nunca eficiente. Si (x, y) es eficiente, entonces ƒ (x) = y. Pero no 
necesariamente todos los planes de producción sobre la frontera del conjunto Y son eficientes. 
Cuando tenemos dos insumos x = (x1, x2) podemos realizar otro grafico que es de gran utilidad: 
combinaciones de insumos que nos arrojan la misma cantidad de producto final. A dichas 
combinaciones las llamaremos isocuantas. 
Algunos ejemplos que usaremos a lo largo del curso son: 
Ejemplo 1 Tecnología Leontief: 
Suponga que usted quiere pensar la forma en que se producen agujeros en la tierra por minuto 
y cree que una buena aproximación es que se requiere de un hombre y una pala para producir 
un agujero por minuto. Palas extras son inútiles si no se aumenta el número de hombres y 
viceversa. Por lo tanto, usted podrá pensar que la forma en que se transforman obreros y palas 
en agujeros es de la forma: ƒ (H, P ) = min{H, P } donde H es el número de 
hombres y P es el de palas. Note que si tiene sólo una pala no le sirve de nada aumentar el 
número de hombres. De la misma manera, con un solo hombre producirá de la misma manera 
con 1 que con 50 palas. 
Dicha función de producción pertenece a un grupo general de funciones de producción 
llamadas Leontieff, que están dadas por: 
ƒ (x1, x2) = min{a1x1, a2x2}, ai > 0. 
Y las isocuantas de dicha función son: 
 
 
Ejemplo 2 Sustitutos: 
Suponga que usted cree que cierto servicio digamos, informes de coyuntura macroeconómica por 
mes, se produce de la misma manera lo haga un Lic. en Economía que uno en Economía 
Empresarial y que lo hacen a razón de 1 por mes cada uno. Por lo tanto, si usted contrata 1 
Lic. en Economía y uno en Empresarial o dos en Empresarial, en ambos casos se generarán dos 
informes de coyuntura por mes. Por lo tanto, su conclusión es que ambos son sustitutos 
perfectos. 
Si tuviese que expresar lo anterior de forma matemática usted dirá que los informes se 
producen según: 
 
ƒ (x1, x2) = x1 + x2 donde xi son la cantidad de licenciados de cada tipo 
 
Dicha función de producción pertenece a un conjunto general de funciones de sustitutos que 
pueden ser perfectos o imperfectos (más adelante quedará más claro cuando se vea TMST) que es 
de la siguiente manera: 
 
ƒ (x1, x2) = a1x1 + a2x2 , ai > 0 
 
 
Ejemplo 3 Tecnología Cobb-Douglas: 
 
Suponga que usted imagina que cierto bien se produce con insumos que son complementarios en 
cierta medida, pero no tanto como para que sea Leontief y que dicha tasas de sustitución 
depende de las cantidades que se estén utilizando (nuevamente esto quedará claro más adelante). 
Una forma de expresar dicha forma de producir en términos matemáticos es utilizando una 
función con características que nos resultarán muy útiles: 
 
ƒ (x1, x2) = Ax xβ, > 0, β > 0. 
1 2 
 
 
 
 
Ejemplo 4 Tecnología CES: Está identificada con una función de producción del tipo 
p p 1 
ƒ (x1, x2) = (a1x1 + a2x2) p . Si g = 1,la función se transforma en una función de producción 
lineal; si g tiende a 0,las isocuantas de esta función son muy similares a las de la función de 
producción Cobb-Douglas; si g → —∞,las isocuantas de esta función son muy similares a las de 
la función de producción Leontief. 
 
 
1.1.1 Propiedades del conjunto de producción 
 
 
Es simple graficar un conjunto de producción con sólo un insumo. Es conveniente comenzar a 
familiarizarse con la forma de un conjunto de producción cuando hay dos insumos. Tomemos un 
ejemplo de una función en tres dimensiones, el conjunto de producción será el volumen que quede 
envuelta por la misma: 
 
 
 
 
 
Podemos definir algunas propiedades del conjunto de producción. La primera propiedad que nos 
interesa es que un aumento de insumos no disminuya la producción. En ese caso, lo peor 
que puede pasar cuando tenemos más insumos es que la producción se mantenga constante. 
Formalmente, 
Definición: El conjunto de producción Y satisface la propiedad de monotonicidad si para 
cualquier plan de producción (x1, ..., xn, y) ∈ Y , el plan de producción (x'1, ..., x'n, y') tal que 6i, 
x'i ≥ xi y además y' ≤ y también pertenece a Y . 
Notar que lo que es requerido para que el conjunto de producción sea monotono es que 
aumentar los insumos no haga decrecer la cantidad de producto final que se puede producir. 
Por lo tanto en el caso de funciones de producción con un único insumo basta que la misma no 
sea nunca decreciente. De la misma manera, en el caso de dos insumos, nunca debe ser 
decreciente en ninguno de ellos. 
¿Cómo deben ser las isocuantas de conjuntos de producción que exhiban monotonicidad? 
Decrecientes o planas, nunca crecer. ¿Por qué? 
 
Veremos una propiedad más. Supongamos que tenemos una tecnología de producción que nos 
permite producir más de 100 unidades de bien final y utilizando (100, 200) de insumo (cien 
unidades de insumo 1 y 200 del insumo 2). Asimismo, también nos permite producir más de 
100 unidades de bien final utilizando (200, 100). 
¿Existe alguna otra manera de producir al menos 100 unidades de bien final? Quizás po- damos 
combinar 50% de la primer estrategia y 50% de la segunda, es decir, utilizar (150, 150) y asi 
podremos produciral menos 100. O 75% y 25%, lo que nos daría (175, 125) unidades de 
insumos. 
Si lo anterior es cierto para cualquier combinación de planes de producción, entonces diremos que 
el conjunto de producción es convexo. 
Definición: El conjunto de producción Y es convexo si para cualquier par de planes de 
producción (x, y) ∈ Y y (x', y') ∈ Y y para cualquier ∈ [0, 1], el plan de producción (x'', 
y'') = (x, y) + (1 — )(x', y') ∈ Y . Esta propiedad implica que las productividades marginales 
son decrecientes y que las isocuantas son convexas. 
 
 
¿Si la tecnología de producción tiene un solo factor, como debe ser la función de producción? 
Cóncava (no necesariamente estricta). (La demostración se encuentra más adelante). 
Si la tecnología de producción tiene dos factores, ¿cómo serían sus isocuantas? Convexas, de 
nuevo, no de manera estricta, pues se requiere que combinando los planes de producción se logra 
mayor o igual producto final.