Administración clase 04

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Administración clase 04 
 
1.1.1 Productividad Marginal 
Supongamos que nuestro bien se produce según la función de produccion ƒ (x1, x2) . Para algún 
nivel de insumos particular consideremos aumentar el nivel de insumo x1 manteniendo el x2 
constante. Cuánto aumentará el nivel de producto final? La tasa a la cual se incrementará 
está dada por la productividad marginal del insumo 1. 
Es decir, supongamos que aumentamos el insumo 1 en una cantidad Ax1. Nuestra nueva 
cantidad de producto final se encuentra dada por ƒ (x1 + Ax1, x2). El aumento del producto final 
es la variación ƒ (x1 + Ax1, x2) — ƒ (x1, x2). Pero esta medida es contingente a haber 
aumentado la cantidad de insumo uno en el monto Ax1. Como contruimos una medida que no 
dependa del monto? Normalizando por el cambio, es decir, consiguiendo una tasa de cambio, 
que nos dará cuanto cambia el producto final proporcional al cambio del insumo, es decir: 
ƒ (x1 + Ax1, x2) — ƒ (x1, x2) Ax1 
Ahora hagamos Ax1 lo más pequeño posible, es decir, tomemos lim Ax1 → 0: 
 
lim ƒ (x1 + Ax1, x2) — ƒ (x1, x2) = 
6ƒ (x1, x2) 
= PMg
 
Δx1→0 Ax1 6x1 
La medida que estabamos buscando se transforma en la derivada de la función de producción contra 
el insumo y esto es lo que llamaremos Productividad Marginal del Insumo: la cantidad de producto 
final adicional que obtengo al aumentar dicho insumo. Notese que esto es una tasa y uno puede 
leerlo de manera bruta diciendo que es la cantidad adicional de producto que se obtiene cuando 
aumenta el insumo en una unidad, a pesar de que esto no sea cierto por ser una medida local 
(y por lo tanto es solamente una aproximación). 
 
 
Productividad Marginal Decreciente Supongamos que tenemos una tecnología que cumple 
monotonicidad. Si mantenemos todos los insumos fijos menos uno, y lo aumentamos 
1 
6x 
6x1 
esperaremos que la cantidad de producto final que podemos producir aumente. Ahora bien, 
esperaremos que lo haga a tasa creciente o decreciente? Es decir, a medida que aumentamos el 
insumo, la cantidad de bien final que produce por unidad extra, es mayor o menor? 
Si la misma es menor, es decir, 6PMgi < 0 entonces diremos que la productividad marginal 
i 
del factor es decreciente. 
 
 
1.1.2 Tasa Marginal de Sustitución Tecnica 
Supongamos que nuestro bien se produce según la función de produccion ƒ (x1, x2). Para algún 
nivel de insumos particular consideremos disminuir la cantidad de insumo 1 en Ax1 y aumentar la 
cantidad de bien 2 de forma tal que se mantenga el nivel de producto final fijo. Cuanto debe ser 
el aumento en el insumo 2 de forma tal que esto suceda? 
Recordemos qué es una isocuanta: combinaciones de insumos que arrojan la misma cantidad de 
bien final. Entonces, lo que debemos hacer es movernos por la isocuanta. Por lo tanto, lo que 
estamos buscando es la pendiente de la isocuanta. Es decir, la tasa a la cual sustituimos insumos 
de forma tal que se mantenga constante la producción. 
Para ello derivemos el resutlado de la forma más simple posible. Pensemos en cambiar el 
insumo 1 en una cantidad conocida (pequeña) Ax1, cuál es el cambio en la funcion de 
produccion? Sabemos que la tasa de cambio es 6f(x1
,x2) = PMg1 y si el nivel cambio es Ax1 
el resultado final de dicho cambio en la funcion resulta ser PMg1 · Ax1. Pero queremos mover 
ambos insumos a la vez, por lo tanto el cambio total que genera es: PMg1 · Ax1 + PMg2 · Ax2, a 
pesar de que no conozcamos aun Ax2!. Sin mucho misterio, lo que hicimos fue diferenciar 
totalmente la funcion de producción. 
Dijimos que dicho cambio queremos que sea igual a cero, por lo tanto estamos buscando 
Ax2 de forma tal que PMg1 · Ax1 + PMg2 · Ax2 = 0. Con algo de algebra: 
— 
PMg1 · Ax1 
= Ax
 
PMg2 2 
Como queremos que sea independiente de Ax1 construyamos una tasa: 
Ax2 
= — 
PMg1 
Ax1 PMg2 
Si llevamos dicho cambio a cero, es decir A → 0 obtenemos 
6x2 
= — 
PMg1 
6x1 PMg2 
Es decir, la tasa a la cual se debe sustituir insumo 2 por insumo 1 de forma tal que la producción 
se mantenga constante está dada por el ratio de las productividades marginales. Que es 
exactamente la pendiente de la isocuanta!. 
Pero esto no deberia sorprender a nadie, supongamos que PMg1 = 3 y que PMg2 = 1, es 
decir, el insumo 1 es tres veces mas productivo que el 2. A qué relación estas dispuesto a 
sustituir insumo 2 por insumo 1 de forma tal que se mantenga la producción constante? Y... si 
disminuyo el insumo 1 en una unidad la producción cae en 3 unidades, y necesito exactamente 3 
unidades de insumo 2 para compensar dicha caida y esto es lo que queria encontrar. 
Mucho cuidado, pues la tasa de sustitución encontrada es una medida local, es decir, es una 
tasa a la cual sustituir en un punto de producción dado, en cantidades extremadamente 
pequeñas. 
 
Tasa Marginal de Sustitución Tecnica decreciente La tasa marginal de sustitución técnica será 
decreciente si la cantidad de insumo 2 con la que tenemos que compensar una caida del insumo 1 
de forma tal de mantener el producto constante es cada vez mayor a medida que cae la cantidad 
de insumo 1. 
Por lo tanto, la forma de la isocuanta que representa tecnologías con esta característica debe ser 
decreciente a tasa decreciente a medida que aumentamos el insumo 1, es decir, convexa. 
 
 
1.1.3 Retornos a Escala 
Supongamos que aumentamos TODOS los insumos de nuestra tecnología de producción en la 
misma proporción. Si supiéramos que la tecnología de producción es monótona, entonces es 
seguro que la producción aumentará. Pero lo que nos interesa ahora es saber en qué proporción 
aumentará la producción. 
Definición: El conjunto de producción Y tiene rendimientos crecientes a escala si, 6t > 1, 
ƒ (tx) > tƒ (x).La producción aumenta más que proporcionalmente. 
 
Definición: El conjunto de producción Y tiene rendimientos constantes a escala si,6t > 
1, ƒ (tx) = tƒ (x). La producción aumenta en la misma proporción. 
 
Definición: El conjunto de producción Y tiene rendimientos decrecientes a escala si, 6t > 
1, ƒ (tx) < tƒ (x). La producción aumenta en menor proporción. 
 
 
Proposition 1 Si la función de producción ƒ es estrictamente cóncava, entonces el conjunto de 
producción Y es convexo. Si, además ƒ (0) = 0, entonces Y tiene rendimientos decrecientes a 
escala. 
Demostración. Si ƒ es estrictamente cóncava, entonces cuando se unen dos puntos de ƒ por un 
segmento, el segmento está por debajo de la función. Es decir, 6x, x' y 6 ∈ (0, 1) : ƒ ( x + (1 — 
 )xJ) > ƒ (x) + (1 — )ƒ (x'). 
— — 
Llamemos y = ƒ (x), y' = ƒ (x'), x'' = x + (1 — )x' e y'' = ƒ (x''). Entonces, por definición de Y 
tenemos que (x, y) ∈ Y y (x', y') ∈ Y . Además, sabemos que y'' > y + (1 — )y'. Por lo tanto el 
plan de producción (x, y) + (1 — )(x', y') es tal que ƒ ( x + (1 — )x') > y + (1 — )y', lo que 
implica que (x, y) + (1 — )(x', y') ∈ Y . Por lo tanto Y es convexo. 
Supongamos ahora que ƒ (0) = 0. Sabemos que Y es convexo (porque ƒ es estrictamente cóncava). 
Sabemos que (0, 0) ∈ Y y ( x̂ , ƒ ( x̂ )) ∈ Y, 6x̂.Entonces, por convexidad de Y ,6 ∈ (0, 1) 
 (0, 0) + (1 — )( x̂ , ƒ ( x̂)) = (1 — )( x̂ , ƒ ( x̂)) ∈ Y. 
Es decir, ƒ ((1 — ) x̂ ) > (1 — )ƒ ( x̂ ) , 6 x̂ . 
Definimos x = (1 ) x̂ y t = (1 )—1 > 1. Por lo tanto x̂ = tx y obtenemos que 
f (x) 
> 
1— 
ƒ ( x̂ ) , 6x̂ ,o tƒ (x) > ƒ (tx), 6x, 6t > 1. Es decir, ƒ tiene rendimientos decrecientes a escala. 
 
Algunos gráficos ayudarán a entender los efectos de escala con uno y dos insumos. Con un 
insumo los graficos son muy claros, si ƒ (0) = 0 entonces si ƒ (.) es lineal los retornos serán 
constantes, si es concava decrecientes y convexa crecientes. Sin embargo, con dos variables 
será mejor representarlo (para visualizar mejor este archivo junto con otros ver el adjunto de 
anatomia de funciones (.pdf)2). 
 
2 Este archivo es particularmente util, no solo para mostrar los rendimientos a escala, sino para familiarizarse con 
las funciones en3D. 
 
 
 
 
Hagamos algunos ejemplos: 
Ejemplo 1 Tecnología Leontief: ƒ (x1, x2) = [min{a1x1,2 x2}] , ai > 0., > 0 
Los rendimientos a escala de esta función dependen del valor de de la siguiente manera: 
 
 < 1 e Rendimientos decrecientes a escala 
 = 1 e Rendimientos constantes a escala 
 > 1 eRendimientos crecientes a escala 
 
Ejemplo 2 Tecnología Cobb-Douglas:ƒ (x1, x2) = x xβ, > 0, β > 0. 
1 2 
Los rendimientos a escala de esta función dependen del valor de + β de la siguiente 
manera: 
 
 + β < 1 eRendimientos decrecientes a escala 
 + β = 1 e Rendimientos constantes a escala 
 + β > 1 e Rendimientos crecientes a escala 
— 
En el caso de una función de producción Cobb-Douglas con β = 1 — , tenemos que: 
 
 
TMST = x2 
1— x1 
 
 
Ejemplo: Datacenters (Varian) 
Los datacenters son edificios que alojan grandes computadoras para tareas tales como alojar 
páginas web. Compañías como Google, Yahoo, etc. construyeron miles de datacenters alrededor 
del mundo. 
Un datacenter típico consiste en soportes que alojan mothers de computadoras. General- 
mente, estos sistemas están diseñados para reescalarlos facilmente, de forma tal que el poder 
computacional del servidor puede ser aumentado o disminuido simplemente agregando más 
soportes. 
¿La capacidad de replicarse implicaría qué tipo de rendimientos a escala en los servicios de 
datacenters? Constantes: si quiero duplicar el nivel de procesos alojados, basta simplemente 
con duplicar la cantidad de soportes de computadoras.