Administración clase 07

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Administración clase 07 
Dificultades. 
En general tendremos bien definida la solución a nuestro problema, es decir, la demanda de 
insumo, x1∗ (r1, p) será una función de los precios que resuelva el problema de maximización de 
beneficios de las firmas. Sin embargo, existen características de la tecnología que pueden causar 
que nuestro problema no se encuentre bien definido. 
Veremos a continuación que exste cierto tipo de funciones de producción que se encuentran en 
conflicto con el supuesto de maximización de beneficios en un ambiente competitivo: 
● Si suponemos una función de producción convexa, el punto de tangencia no maximiza 
beneficios. Si la función es siempre convexa, entonces el problema de maximización de 
beneficios no tiene solución ya que la firma desearía producir infinito, dado que eso le 
generará beneficios infinitos. 
 
— Veamos un ejemplo: de funcion convexa ƒ (x1) = Ax2k, A > 0. Si seguimos el 
procedimiento anterior para maximizar beneficios nos encontraremos con que sería 
"óptimo" elegir x1 de forma tal que: 2Ax1k = r1. 
— Pongamosle números y representémoslo gráficamente para entender por qué no es 
la solución correcta: supongamos A = 1, k = 1, r1,2 = 1, p = 1 para hacerlo simple. 
Grafiquemos por un lado la funcion de producción y por el otro rectas de isobeneficio 
para distintos niveles del mismo: y = π + 1 + x1. 
— Si seguimos el proceso tradicional y elegimos x1 de forma tal que 2x1 = 1, elegiriamos 
x1 = 0, 5. Con él obtendriamos un nivel de produccion de ƒ (0, 5) = 0, 52 = 0, 25 y 
un beneficio de π = 0, 25 — 1 — 0, 5 = —1, 25. 
— Vemos en el grafico que el punto de tangencia no tiene nada de particular, no es ni un 
máximo ni un mínimo. De hecho, es posible aumentar la producción indefinidamente 
y los beneficios crecerán más y más. 
— Por lo tanto, la solución para este caso sería elegir cantidad de insumo infinita y 
obtener infinitos beneficios. Sin embargo, resulta evidente que hay algo mal definido 
en este problema: o la función de producción que suponemos no es correcta, o los 
mercados que operan no son de competencia perfecta, o los objetivos de la firma no 
se suponen de manera correcta. 
 
 
● Si la función de producción es lineal (ƒ (x1) = Ax1k), entonces la productividad marginal 
del insumo es constante: PM1 = A. Entonces el problema de maximización de beneficios 
sólo tiene solución si pAk ≤ r1. Veamos los 3 casos: 
1. Si pAk < r1, es decir el beneficio marginal de aumentar de comprar una porción de 
insumo es mayor al costo, la solución al problema de maximización es x1 = y = 0 
y por lo tanto π = —r2k. Es decir, al firma elige perder los costos del insumo fijo 
y obtener beneficios negativos pues si comprase insumo para producir las pérdidas 
serían mayores. 
2. Si pAk = r1, entonces cualquier plan de producción eficiente le da a la firma el 
mismo beneficio. Es decir, existen infinitas soluciones al problema de maximización: 
x1 ∈ R+, y = Ax1k. Pero en cualquier caso π = —r2k. Note que lo que sucede 
aquí es que el beneficio marginal (constante) de aumentar la compra de insumo es 
identico al costo marginal. Por lo tanto, producir, o no hacerlo, genera el mismo 
beneficio. 
6p 
6m1 
3. Si pAk > r1 nuevamente nos encontramos con que la firma elegira aumentar in- 
finitamente la compra de insumos para obtener beneficios infinitos lo cual, es un 
problema. 
 
Es importante recordar aqui que π = 0 no significa que el dueño de la firma no se encuentre 
ganando dinero. Significa que las ganancias de la empresa son exactamente igual al costo de 
oportunidad (lo que podría ganar fuera de la empresa, en la mejor alternativa posible). 
 
 
Estática comparada Queremos analizar cómo cambia el comportamiento de la firma si cambia 
algún factor que consideramos exógeno. Para ello, evitaremos darle forma funcional a la función 
de producción y sólo especifícaremos lo mínimo posible para que el problema esté bien definido. 
Por lo tanto, necesitamos suponer que la función de producción ƒ es cóncava en x1 dado que no 
tiene sentido hacer un análisis de estática comparada (cambio en la solución), si la solución no 
existe. 
Si la función de producción es cóncava, entonces la solución del problema de maximización de 
beneficos es x1(p, r1, r2, k) tal que 
pP M1(x1(p, r1, r2, k), k) = r1. 
 
Supongamos que se produce un cambio en el precio del producto, p. Entonces 
 
PM1(x1(p, r1, r2, k), k) + p 6PM1 (x1(p, r1, r2, k), k) 6x1 (p, r1, r2, k) = 0. 
6x1 6p 
Dado que la productividad marginal es positiva y decreciente y p > 0, debe ser que 
 
6x1 (p, r1, r2, k) > 0. 
 
De la misma manera, si se produce un cambio en el precio del insumo 1, r1, tenemos que 
 
6PM1 (x1(p, r1, r2, k), k) 6x1 (p, r1, r2, k) = 1 
6x1 6m1 
 
lo que implica que 
 
6x1 (p, r1, r2, k) < 0. 
 
Supongamos ahora que varía el precio del insumo 2, r2. Entonces 
 
 
6PM1 (x1(p, r1, r2, k), k) 6x1 (p, r1, r2, k) = 0, 
6x1 6m2 
6m2 
6k 
— — 
o 
 
6x1 (p, r1, r2, k) = 0. 
 
 
En efecto, en este contexto en el que el insumo 2 está fijo, un cambio en r2 es un cambio en 
los costos fijos, que no afectan las decisiones de producción. 
Por último, un cambio en k altera el conjunto de producción en su totalidad: 
 
 
p( 6PM1 (x1(p, r1, r2, k), k) 6x1 (p, r1, r2, k) + 6PM1 (x1(p, r1, r2, k), k)) = 0. 
6x1 6k 6x2 
 
El signo de 6x1 (p, r1, r2, k) dependará, entonces de cómo varía la productividad marginal del 
insumo 1 cuando aumenta la cantidad de insumo 2. En todos los casos, 
 
6y (p, r1, r2, k) = PM1(x1(p, r1, r2, k), k) 6x1 
6a 6a 
 
y por lo tanto el signo del cambio en la oferta es idéntico al signo del cambio en la demanda del 
insumo 1. 
 
Maximización de beneficios sin factores fijos Lo que nosotros consideramos largo plazo es 
el momento en el tiempo en el cual todos los factores de producción pueden ser modificados 
3. Noten que esto no tiene un horizonte temporal bien definido pues depende del proceso de 
producción que supongamos (quizás a una empresa metalúrgica le lleva 6 meses conseguir una 
máquina y ponerla en funcionamiento, y a otra empresa 2 meses). Queremos entonces, pensar el 
problema de elección de insumos y oferta de la firma en este contexto. 
Si seguimos suponiendo correcto que el objetivo de la firma es la maximización de beneficios, ahora 
el problema de la misma es: 
 
max pƒ (x1, x2) r1x1 r2x2 
x1,x2 
Tenemos nuevamente un problema de maximización sin restricciones. Si el problema está bien 
definido (esto es un poco más dificil de mostrar aquí) entonces las condiciones de primer orden 
caracterizarán la solución al problema: 
pP M1(x1, x2) = r1 pP M2(x1, x2) = r2. 
 
3 Esto es una definición propia que posiblemente nada tenga que ver con lo que escucharán por parte de periodistas 
u otros, como largo plazo. 
6PM2(x1, x2)/6x2 ≤ 0 
Estas dos condiciones en conjunto implican que 
 
TMST (x1, x2) = PM
1(x1,x2) = m1 
PM2(x1,x2) m2 
Es decir que en el óptimo debe ser cierto que a la tasa que la firma está dispuesta a sustituir 
insumos de forma tal que no altere su producción debe ser la misma que la tasa a la cual el 
mercado está dispuesta a intercambiar. Veamos por qué es esto: 
● — Recordemos el lado izquierdo, supongamos que la TMST es igual a 3. Esto quiere 
decir que aumentar insumo 1 te aporta 3 veces más que aumentar el 2. Es decir, 
estás dispuesto a ceder 3 insumos 2 por cada insumo 1 (recordemos que esto es 
una tasa, marginal) y de esta manera la producción no cambiaria. Si, en cambio, 
cedo una porcionde insumo 1 y obtengo 4 de insumo 2, entonces mi producción 
aumentará. 
— El lado derecho es lo que el mercado me cobra para intercambiar: dice proporcional- 
mente cuánto más caro es el insumo 1 relativo al 2. Si el precio relativo fuese 4, 
quiere decir que por cada unidad de insumo 1 que cedés obtendrás 4 de insumo 2. 
— ¿Por qué entonces debe ser cierto que en el óptimo TMST =Precio Relativo? Pues 
si esto no fuese cierto, podríamodificar mi composición de insumos de forma tal de 
aumentar la producción, y por lo tanto mis ganancias, sin incrementar los costos. 
Tomen como ejemplo el caso de TMST=3 y Precio rel=4. En ese caso, deberías 
disminuir la cantidad de insumo 1 y usar el dinero remanente para comprar 4 veces 
lo cedido en insumo 2. De esta manera la producción aumentará porque sabemos 
que la que 3 unidades de insumo 2 la mantenian constante, y si agrego 4, aumenta. 
Por el lado de los costos no ha ocurrido ninguún cambio pues fue una reasignación 
de gasto en insumos. 
. 
Ahora, único que resta verificar es que la función de producción sea cóncava para que las CPO 
sean suficientes para caracterizar la solución. Para eso, necesitamos que 
 
6PM1(x1, x2)/6x1 ≤ 0 
 
6PM1(x1,x2) 
 
6x1 6PM2(x1,x2) 
6x1 
6PM1(x1,x2) 
 
6x2 6PM2(x1,x2) 
6x2 
 
Los resultados de estática comparada que se extienden al caso de n insumos variables son 
> 0 
6p 
6m 
6y (p, r) > 0 
6xi (p, r) < 0 
i 
es decir, la oferta del producto aumenta con su precio y la demanda del insumo i disminuye con 
su precio. 
Por otro lado, es fácil mostrar4 que si todos los precios cambian en la misma proporción las 
cantidades óptimas de insumos y de producto no cambian: 
 
xi(tp, tr1, tr2) = xi(p, r1, r2) y y(tp, tr1, tr2) = y(p, r1, r2)6t > 0 
 
Por lo tanto, las funciones de oferta y demanda de insumos son homogéneas de grado 0. 
 
 
1.1.1 Función de beneficio máximo 
Dado que ya encontramos la función de demanda óptima de insumos, y por lo tanto la produc- 
ción óptima, en función de los precios, es sencillo encontrar una funcioón que conecte precios 
con beneficios máximos. Para esto, sólo debemos valuar la función de beneficio en la oferta de 
bienes finales y demanda de insumos óptimas. La misma queda: 
π∗(p, r1, r2) = py∗(p, r1, r2) — r1x∗1(p, r1, r2) — r2x∗2(p, r1, r2). 
 
Algunas caracteristicas de la función de beneficio máximo nos serán de interés interes: 
 
● Dado que las funciones de demanda y oferta son homogéneas de grado 0, obtenemos que 
la función de beneficio máximo es homogénea de grado 1: 
 
 
π(tp, tr1, tr2) = tπ(p, r1, r2)6t > 0. 
 
Piensen el resulado anterior como si los ingresos "reales" de las firmas no cambiasen: todos los 
precios crecen en la misma proporción, también lo hacen mis ingresos, pero la firma no es más 
rica en términos reales. 
● Lema de Hotelling. El lema nos permitirá recuperar, a partir de la función de beneficio 
máximo, las funciones de demanda y oferta de la firma. 
 
4 Tomen la funcion objetivo, mutipliquen todos los precios por t. Lo que sucede es que el problema queda reescalado 
pero la solución no cambia. 
i 
z ¸, c 
6x1 
1 
6r1 6x2 
2 1 
 
6π 
6p 
(p, r1, r2) = y(p, r1, r2) 
6π 
6r 
(p, r1, r2) = —xi(p, r1, r2). 
Proof. Recordemos las ecuaciones que caracterizan la solución del problema de la firma: 
pP Mi(x1, x2) = ri 6i. 
La función de beneficios máximos es: π∗(p, r1, r2) = pƒ ∗ (x∗1(p, r1, r2), x∗2(p, r1, r2)) — 
r1x∗1(p, r1, r2) — r2x∗2(p, r1, r2). Diferenciando la misma con respecto a r1 (haremos solo 
este caso aqui) tenemos: 
 
6π∗ 
= p 
6y∗ 6x1
∗ 
+ p 
6y∗ 6x∗2 — r
 
6x1
∗ 
— x∗(p, r , r ) — r 6x∗2 
 
 
6r1 
 
 
6x1 6r1 6x2 6r1 1 6r1 
1 1 2 
 
 2 6r1 
=
 
p 
6y∗ 
— r
 
6x∗1 —
 
p 
6y∗ 
— r
 
— x∗ 
 
=0 
= —x∗1(p, r1, r2) 
z 
=
¸ ,
0 
c 
6p 
1 2 6p 
Que es lo que queriamos mostrar. La demostracion contra para recuperar la funcion de 
oferta sigue el mismo procedimiento. 
Cual es la intuición detrás del Lema de Hotelling? Es decir, por qué sucede que 6π (p, r1, r2) = 
y(p, r1, r2)? 
Noten lo que la ecuación anterior dice: cuando cambia marginalmente el precio del bien final, 
la tasa de incremento de los beneficios es exactamente igual a la cantidad que se está 
produciendo. Piensen lo que sucede cuando se incrementa el precio de un bien. Primero, si 
nada cambia, el aumento del precio del bien final hará que los mismos bienes se vendan más 
caros y por lo tanto aumentará mi beneficio. Es decir, si el precio cambia en Ap, la cantidad 
extra de dinero que obtiene la firma es y(p, r1, r2) · Ap. 
Sin embargo, tambien se producen efectos de cambio en la elección de insumos: mayor precio del 
bien final, deseo producir más. Sin embargo, estamos pensando en cambios marginales 
infinitesimalmente pequeños. En esos niveles de cambio, una adapcación en la cantidad de bien 
final puede ser descartada. Por lo tanto, el único efecto que es considerable es y(p, r1, r2) · Ap, 
entonces: Aπ∗ = y(p, r , r ) · Ap, que, reordenando y tomando A → 0, tenemos: 6π
 
= 
y(p, r1, r2) que es lo que queríamos mostrar.