Administración clase 08

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Administración clase 08 
 
Maximización de beneficios y rendimientos escala 
Rendimientos Constantes a Escala Vimos que cuando la firma sólo tenía un insumo 
variable, con rendimientos constantes a escala el problema de maximización de beneficios tenía
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+ 
+ 
i=1 
i=1 
i=1 
solución, es decir estaba bien definido, sólo en determinados casos. Este resultado es general y se 
extiende a cualquier número de insumos variables. En particular, en el largo plazo cuando todos 
los insumos son variables y la función exhibe rendimientos constante a escala, se puede 
demostrar que si el problema tiene solución, entonces los beneficios de la firma son nulos. Esto 
último puede resultar beneficioso en algunos contextos en el cual nos parezca razonable, por ej, 
que la industria no obtenga beneficios extraordinarios o cuando suponemos que existe la libre 
entrada de firmas en la industria. 
Proposition 7 Supongamos que la función de producción ƒ (x) con x ∈ Rn tiene rendimien− 
tosconstantes a escala. Entonces, los beneficios de largo plazo son nulos. 
 
Demostración. Si ƒ (x) tiene rendimientos constantes a escala, esto significa que ƒ (tx) = tƒ (x), 
6t > 1, 6x ∈ Rn . En primer lugar, si ƒ tiene rendimientos constantes a escala, nece- sariamente 
ƒ (0) = 0. Si no fuera así, ƒ (0) < 0, se podría encontrar algún x suficientemente cercano a 0 y un 
t suficientemente cercano a 1 para el que ƒ (tx) > 0 > tƒ (x). Es decir, si hay rendimientos 
constantes a escala los beneficios de la firma no son nunca negativos: 
 
π∗ ≥ 0. 
 
Supongamos ahora que la solución del problema de maximización es x∗ y el beneficio es 
 
 
π∗ = pƒ (x∗) — 
Σn
 rixi
∗ . 
 
Dado que este es el beneficio máximo, tiene que cumplirse que 6x' =/ x∗, 
 
 
π∗ ≥ pƒ (x') — 
Σn
 rix'i. 
 
En particular, esto tiene que ser cierto para x' = tx*, t > 1 : 
 
 
π∗ ≥ pƒ (tx∗) — 
Σn
 ritxi
∗ = tπ∗. 
 
Es decir que π∗(t — 1) ≤ 0 o π∗ ≤ 0. 
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Con rendimientos crecientes a escala, las cosas son todavía más complejas. En general, la 
solución no existe, pero si existe, necesariamente los beneficios de la firma son negativos. 
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+ 
+ 
i=1 
i=1 
i=1 
Rendimientos Crecientes a Escala 
Proposition 8 Supongamos que la función de producción ƒ (x) con x ∈ Rn tiene rendimientos 
crecientes a escala. Entonces, si el problema de maximización de beneficios tiene solución, los 
beneficios de largo plazo son negativos. 
 
Demostración. Si ƒ (x) tiene rendimientos crecientes a escala, esto significa que ƒ (tx) > tƒ 
(x), 6t > 1, 6x ∈ Rn . Supongamos ahora que la solución del problema de maximización es 
x∗ y el beneficio es 
 
π∗ = pƒ (x∗) — 
Σn
 
 
 
 
rixi
∗. 
 
Dado que este es el beneficio máximo, tiene que cumplirse que 6x' =/ x∗, 
 
π∗ ≥ pƒ (x') — 
Σn
 rix'i. 
 
En particular, esto tiene que ser cierto para x' = tx∗, t > 1 : 
 
π∗ ≥ pƒ (tx∗) — 
Σn
 ritxi
∗ > t ∗. 
 
Es decir que π∗(t — 1) < 0, o π∗ < 0. 
Este resultado, en particular, implica que si la función tiene rendimientos crecientes a escala y 
encontramos alguna combinación de insumos que le da a la firma beneficios positivos (o nulos) 
entonces el problema de maximización de beneficios no tiene solución. 
 
1.1 Minimización de costos 
Es posible descomponer el problema de maximización de beneficios en 2 etapas. En una primera 
etapa, la firma elige la mejor combinación de insumos que le permite producir una determinada 
cantidad. Es decir, dada una isocuanta cualquiera, elige cuál sería la técnica de producción más 
eficiente dentro de la misma. Esto es, precisamente, el problema de minimización de costos. 
En la segunda etapa, una vez que sabemos cuál es la manera óptima de producir, elegimos 
cuánto producir. 
Tenemos varias razones para hacer este desdoblamiento. En primer lugar, mientras que el 
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problema de maximización de beneficios algunas veces no tiene solución (cuando hay rendimien- tos 
a escala crecientes o constantes), el problema de minimización de costos siempre la tiene. 
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Por tanto, es posible describir la forma más eficiente de producir para cualquier tipo de tec- 
nología de producción. 
Segundo, mientras que el problema de maximización de beneficios es útil cuando la firma es 
perfectamente competitiva, se vuelve engorroso en otras estructuras de mercado. En cambio, 
mientras la firma sea todavía competitiva en el mercado de factores, el problema de mini- 
mización de costos sigue siendo válido bajo cualquier estructura de mercado en el mercado del 
bien final. 
Por último, desde un punto de vista puramente analítico, es generalmente más fácil resolver el 
problema en dos etapas que hacerlo todo junto. En particular, se simplifica enormemente la 
condición de segundo orden, que con muchos factores se puede volver engorrosa.