Administración clase 09

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Administración clase 09 
 
Etapa 1: minimización de costos 
 
Suponga una firma caracterizada por la función de producción ƒ (x1, x2). Dado que la firma quiere 
producir una cantidad (y), buscamos la forma más eficiente de hacerlo, es decir, la combinación de 
insumos que minimiza el costo de producción. El problema que resuelve la firma es 
 
min(x1,x2} r1x1 + r2x2 s.a. y = ƒ (x1, x2), x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. 
 
Tenemos un caso entonces de un problema de minimización sujeto a una restricción. Para resolverlo 
utilizamos el método de Lagrange. Para esto construimos el Lagrangeano correspon- diente y tomamos 
las condiciones de primer orden: 
 
L (x1, x2, µ) = r1x1 + r2x2 — µ [ƒ (x1, x2) — y] 
La solucion a este problema seran un par de funciones de demanda de insumos, las que llamaremos 
demandas compensadas, que nos proveerán de la cantidad de insumos óptimos, es decir que minimizan 
los costos, para producir una cierta cantidad deseada ”y” tomando los precios de los insumos como 
dados. 
Es importante notar la diferencia con las demandas encontradas anteriormente. Aquí, estamos 
encontrando las demandas condicionales a una cantidad de producto deseado, es decir, tomando como 
dado el nivel de producto que se quiere alcanzar. Por otro lado, las demandas resultantes del problema 
de maximización de beneficios, son las que me permiten obtener el mayor beneficio condicional en los 
precios (de los insumos y del bien final), y a partir de ellas podré determinar el nivel de oferta de 
producto. 
 PMg1 (x , x , ) 
1 2 
Las demandas resultantes del problema de minimización de costos serán un par: 
 
 
xc(r1, r2, y), xc(r1, r2, y) 
1 2 
 
Las mismas surgen de las condiciones de primer orden de Lagrange: 
 
6L (xc, xc, µc) c 6ƒ (xc, xc) 
1 2 
6x1 
= 0 ⇒ r1 — µ 1 2 = 0 
6x1 
6L (xc, xc, µc) c 6ƒ (xc, xc) 
1 2 
6x2 
= 0 ⇒ r2 — µ 1 2 = 0 
6x2 
6L (xc, xc, µc) c c 
6µ = 0 ⇒ ƒ (x1, x2) — y = 0 
Las condiciones anteriores forman un sistema de 3 incógnitas (x1, x2, µ) y 3 ecuaciones que caracterizan 
completamente la solución a nuestro problema: xc(r1, r2, y), xc(r1, r2, y), µc(r1, r2, y). 
1 2 2 
Reescribamos las primeras dos condiciones y usemoslas para ganar intuicion: 
µcPMg1 (xc, xc, ) = r1 
1 2 
µcPMg2 (xc, xc) = r2 
1 2 
 
Dividiendo ambas, 
c c r1 
TMST (x1, x2) = 1 2 = 
Mg2 (xc, xc) r2 
1 2 
El lado izquierdo de la igualdad es nuevamente la Tasa Marginal de Sustitución Técnica, es decir, la tasa 
a la cual la firma puede sustituir insumos de forma tal que se mantenga constante el nivel de producción 
(la pendiente de la isocuanta). El lado derecho, es el precio relativo entre los insumos que el mercado le 
cobra a la firma para intercambiar insumos. Nuevamente, debe ser cierto que en el óptimo las tasas se 
igualen, pues de otra manera modificar la composición de los insumos generará disminución de costos 
sin alterar el nivel de producción. 
Supongan por ejemplo que 
 
TMST (x , x ) = 1 /= r1 = 2 
1 2 r2 
En este caso, podriamos disminuir el insumo 1 en una unidad (cuidado aquí, esto es una tasa local) y 
aumentar el insumo 2 en una unidad y mantendríamos constante el nivel de producto pero 
disminuiríamos los costos, pues el insumo 1 sale el doble que el 2. 
Podemos representar gráficamente el problema anterior. Para esto, en primer lugar grafi- camos la 
isocuanta sobre la cual deseamos producir, es decir combinaciones (x1, x2) tal que y = ƒ (x1, x2). Luego las 
combinaciones de (x1, x2) que mantienen fijo el costo de producción, 
i 
 
 
C = r1x1 + r2x2 
x = r1x1 — C 
2 x2 r2 
donde se ve que cuando menor sea la ordenada, menor será el costo. Con ellos, representamos 
graficamente el optimo: 
 
 
 
Una vez obtenidas las demandas óptimas de insumos, podemos reemplazarlas en la función de costo y 
obtener asi la Funcion de Gosto Mínimo: 
 
C(r1, r2, y) = r1xc(r1, r2, y) + r2xc(r1, r2, y) 
1 2 
La misma es una función que, dado los precios de los insumos, especifíca el menor costo de producir 
una cantidad y. 
La funcion de costo y demandas compensadas tienen algunas propiedades de interes: 
 
 
 6xc 
6ri 
≤ 0 (2) 
 
 
xc(tr1, tr2, y) = xc(r1, r2, y) (3) 
i i 
 
 
C(tr1, tr2, y) = tC(r1, r2, y) (4) 
1 
2 
z ¸, c 
1 2 1 + 1 2 2 
= x1 (r1, r2, y) + µ1 
1 
6x1 
2 1 
6r1 
+ 1 
6x2 
2 2 
6r1 
 
6C = xc(r , r , y) (5) 
 
 
6ri 
i 1 2 
Comencemos por demostrar (5). La misma se conoce como Lema de Shephard y nos permite derivar la 
función de demanda compensada de un bien a partir de la función de costo simplemente tomandole la 
derivada con respecto a su precio. Hagamos la demostración: 
 
Proposition 9 
6C = xc(r , r , y) 
 
 
6ri 
i 1 2 
Proof. Usando la definición de la función de costo mínimo C(r1, r2, y) = r1xc(r1, r2, y) + 
r2xc(r1, r2, y), obtenemos que (lo haremos para el insumo 1, 
 
6C C 6xC 6xC 
(r1, r2, y) = x1 (r1, r2, y) + r1 1 (r1, r2, y) + r2 2 (r1, r2, y) 
6r1 6r1 6r1 
Luego, de las condiciones de optimalidad del problema de minimización de costos, se que: 
6f (xc,xc) 6f (xc,xc) 
c 1 
2 
1
 6
x1 
= r1, µc 1 2 
6x2 
= r2, por lo tanto, 
 
6C C c 6ƒ (xc, xc) 6xC c 6ƒ (xc, xc) 6xC 
(r1, r2, y) = x1 (r1, r2, y) + µ1 1 2 1 + µ 1 2 2 
6r1 6x1 6r1 6x2 6r1 
C c 6ƒ (xc, xc) 6xC 6ƒ (xc, xc) 6xC 
 
A 
Por ultimo, de la condición de primer orden con respecto al multiplicador sabemos que 
ƒ (xc(r1, r2, y), xc(r1, r2, y)) = y, por lo tanto, podemos diferenciar contra r1 dicha igualdad 
1 2 
y obtenemos, 
 
 6ƒ (xc, xc) 6xC 
 
 6ƒ (xc, xc) 6xC 
 
 
µ 
= 0 = A 
 
Finalmente, 
6x1 6r1 6x2 6r1 
6C (r , r , y) = xC(r , r , y) 
 
 
6r1 1 2 
Que es lo que queriamos mostrar. 
1 1 2 
 
Note la intuición de la condición: nos dice que la tasa marginal de incremento del costo de producción 
ante un cambio de precio de un insumo es exactamente la cantidad demandada del insumo. 
Nuevamente, piense que cuando cambia el precio, se producen dos efectos, por un lado si la cantidad 
demandada del insumo no cambia, el gasto se incrementa justo en la cantidad demanda de dicho 
insumo. También se producen cambios en la demanda de los insumos. Sin embargo, si cosideramos 
cambios infinitesimalmente pequeños en los precios 
,
,<
 
min (r1x1 + r2x2) sujeto a x1 ≥ 0 
min (tp1x1 + tp2x2) sujeto a x1 ≥ 0 
podemos descartar los efectos de segundo orden y la tasa de cambio del gasto será exactamente la 
cantidad demandada del insumo cuyo precio cambió. 
Sigamos ahora por (3). La misma afirma que las demandas compensadas son homogeneas de grado cero 
en precios. 
 
Proposition 10 
xc(tr1, tr2, y) = xc(r1, r2, y) 
i i 
Proof· Note que el problema que resolvemos es: 
 
 
,,< ƒ (x1, x2) ≥ y 
 
(x1,x2) 
 
 
 
 
,, x2 ≥ 0 
 
Si todos los precios se multiplican por t > 0 el problema que resolvemos es, 
,,< ƒ (x1, x2) ≥ y 
 
(x1,x2) 
 
El problema entonces es: 
 
 
,, x2 ≥ 0 
t ,<, 
 
min (p1x1 + p2x2) sujeto 
a 
ƒ (x1, x2) ≥ y x1 ≥ 
0 
.,,= 
,,(x1,x2) ,, x2 ≥ 0 ,, 
Por lo tanto, el problema queda inalterado, entonces, las soluciones coincidirán, es decir: 
 
xc(tr1, tr2, y) = xc(r1, r2, y) 
i i 
 
La intuición de esto es inmediata: se sigue deseando producir la cantidad y de producto final pero se 
produce un cambio proporcional en ambos precios. Dicho cambio no altera los precios relativos entre 
los insumos. Entonces, no hay ninguna redistribución de insumos que vuelva más eficiente la 
producción, es decir, las demandas de insumos no deben cambiar. 
La demostración anterior nos conduce de manera directa a la demostracion de (4). La misma afirma que 
la función de costo es homogenea de grado uno en los precios. Esto se deriva 
. 
. 
1 2 
min (r1x1 + r2x2) sujeto a 
x1 ≥ 0 
1 2 
de la prueba anterior: si al aumentar todos los precios las cantidades demandadas no cambian, 
entonces el gasto debe aumentar en la misma proporción, es decir: 
C(tr1, tr2, y) = tr1xC(tr1, tr2, y) + tr2xC(tr1, tr2, y) 
1 2 
= tr1xC(r1, r2, y) + tr2xC(r1, r2, y) 
1 2 
= tC(r1, r2, y) 
 
Y asi queda demostrado. 
 
Por último encarguémonos dela propiedad que establece que las demandas compensadas 
6xc 
son débilmente decrecientes en sus precios (2): i 
6mi 
≤ 0. No haremos la demostración aquí, 
sin embargo, la intuición de la misma es inmediata. Deseamos mantener el mismo nivel de producción, 
es decir, producir en la misma isocuanta. Sin embargo, el precio de uno de los insumos aumenta. Como 
la curva de indiferencia es decreciente, debe suceder que quiera disminuir5 la cantidad demandada del 
insumo cuyo precio aumentó. 
 
Ejemplo: Función de costos para función de producción Cobb-Douglas Hagamos un ejemplo aqui 
suponiendo que la función de producción es del tipo Cobb-Douglas: ƒ (x1, x2) = x xβ. 
1 2 
El problema a resolver entonces es: 
 
,,< x xβ. = y 
 
(x1,x2) 
,, x2 ≥ 0 
Planteamos el Lagrangeano correspondiente: 
L (x1, x2, µ) = r1x1 + r2x2 — µ hx xβ — yi 
Las condiciones de primer orden que caracterizan la solucion son: 
[x ] : r = µ x —1xβ = µ y 
1 1 1 2 x1 
y 
[x ] : r = µβx xβ—1 = µ (1 — ) 
2 2 1 2 x2 
[µ] : x xβ = y 
1 2 
Por lo tanto, juntando las primeras dos, 
 
5 O mantenerme en una esquina en el caso de TMS débilemente creciente. 
1
 
1 
2 
 
ra+β ra+β y a+β + 
ra+β ra+β y a+β 
 a β 1 a+β 
1 
 
 
 x2 βx1 = r1 r2 
x = x β r1 
 
Reemplazando en la restriccion: 
2 
 
 
 
 
 x1 
 
 
1 r2 
 
 
 
β r β 
= y 
 r2 
Ahora solo resta despejar x1 y asi obtendremos la demanda: 
 
xc(r1, r2, y) = 
 
 r2 
 
 
 
β 
a+β 
 
 
 1 
y a+β 
 
Por lo tanto, 
 
 
 
 
xc(r1, r2, y) = 
βr1 
 
 
 
βr1 
 
 
 r2 
 
 
 
 
 
 
a 
a+β 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
y a+β 
Que son las demandas compensadas para esta funcion de producción. 
 
La función de costos es: 
 
C (y) = r1 
 
 
 r2 
 
 
 
 
 
β 
a+β 
 
 
 
 
 1 
y a+β + r2 
 
 
 
 βr1 
a 
a+β 
 
 
 
 
 
 
 1 
y a+β 
βr1 
 β 
 r2 
 a 
 a+β a β 1 a+β β a 1 
 
 
β 1 2 2 β 
x 
 
 
 
 
= 
a+β 
β 2 1 
— a 3 
1 2 β β 
= ra+β ra+β y a+β 4 + 5