Administración clase 10

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Administración clase 10 
 
Curva de Costos: 
En la seccion anterior describimos el comportamiento minimizador de costos de la firma. 
En este apartado, analizaremos una construcción geométrica relevante: la curva de 
costos. Recordemos que la curva de costos C (r1, r2, y) establece el costo minimo de 
producir una cantidad de bien final ”y” tomando como dados los precios de los insumos 
(r). Como vimos en la sección anterior, en el corto plazo, pueden existir costos que deban 
ser pagados sin importar el nivel de producción de bien final. A estos costos los 
llamaremos costos fijos, para diferenciarlos de los costos variables que son el resultado 
de pagar por los insumos para la producción. Por lo tanto, 
 
 C (r, y) = cv (r, y) + F 
donde F representa el monto a pagar por los costos fijos y cv (r, y) los variables. En nuestro 
ejemplo de corto plazo anterior cv (r, y) = r1x1 y F = r2k. 
A partir de la función de costo minimo (o total) podemos definir otras curvas de costos que 
serán de nuestro interés: 
Costo Medio: mide el costo por unidad de bien final, es decir, el promedio. El mismo, se 
puede descomponer en costo medio variable y costo medio fijo, 
CMe (y) = 
C (y) 
= 
cv (y) 
+ 
F 
= CM eV (y) + CM eF (y) 
y y y 
Como esperamos que luzca esta función? El CM eF (y) es muy simple pues tiende a infinito 
cuando y se acerca a cero y a infinito cuando el producto tiende a cero. Respecto a CM eV (y), el 
costo medio variable de producir una unidad es exactamente el costo variable total. Luego, al 
incrementar las unidades podriamos esperar que inicialmente decrezca por una mejor or- 
ganización de la producción. Sin embargo, principalmente en prescencia de factores fijos, al 
incrementar sustancialmente la producción el costo promedio aumentará: 
 
 
 
2 
Costo Marignal: el costo marginal establece la tasa de cambio del costo total ante un cambio 
en el producto final deseado, 
 
CMg = 
6C (y) 
= 
6y 
6CM eV (y) 
 
 
6y 
 
Como se relacionan ambas curvas? 
Primero, los costos variables de producir cero unidades de bien final son cero por definición. 
Por lo tanto, al incrementar marginalmente la producción de cero unidades a o, 
3 
y y2 
 
lim CMg (o) = lim 
cv (o) + F — cv (0) — F = lim 
cv (o) 
= lim CMe (o) 
o→0 o→0 o o→0 o o→0 
Es decir, cuando nos acercamos a cero, el costo medio se pega al costo marginal. 
Ahora supongamos que estamos produciendo en un punto en el cual los costos medios variables 
son decrecientes. Para que los ultimos decrezcan, debe suceder que cada unidad extra que se 
agrega sea menor que el promedio del costo variable, pues de otra manera, el promedio 
aumentará. Formalmente, 
6CMeV (y) 6 
= 
 
cv (y)
 
= 
cJv (y) y — cv (y) 
Por lo tanto, sera decreciente cuando, 
cJ (y) = CMg (y) < 
cv (y)
 
v y 
es decir, cuando el costo marginal se encuentre por debajo del medio variable. Y positivo en 
caso contrario. 
Entonces, en el contexto de nuestra figura anterior, los Costos Marignales se verán, 
 
Exactamente el mismo argumento vale para los Costos Medios Totales. 
Como CMg (y) = 6C(y) = 6cv 
(y) 
, sucede que, 
6y 6y 
 
cv (y) = 
 
y 
CMg(v)dv 
0 
∫ 
6y 
6y 
4 
pues sabemos que cv (0) = 0. Es decir, el área bajo los costos marginales entre 0 e y, es 
exactamente el costo variable de producir la cantidad y. 
5 
6y 
6y 
6y 
6y 
6CMe 
6CMe 
Asimismo, como se que C (0) = F , puedo recuperar los costos totales, 
∫ y 
 
 
 
 
A partir de la función de costos, podemos identificar rápidamente el tipo de rendimientos a 
escala de la tecnología de producción: 
 
Proposition 11 Gos rendimientos a escala están dados por la función de costos medios de la 
siguiente manera: 
 
 
 
 
ƒ tiene rendimientos crecientes a escala e 6CMe < 0 e CMe(y) > CMg(y). ƒ tiene 
rendimientos constantes a escala e = 0 e CMe(y) = CMg(y). ƒ 
tiene rendimientos decrecientes a escalae > 0 e CMe(y) < CMg(y). 
 
 
La intuición de las proposición anterior es inmediata: supongan que la tecnologia de pro- 
ducción tiene rendimientos crecientes a escala. Esto implica, que, por ejemplo, para duplicar la 
producción se requieren menos del doble que los insumos. Por lo tanto, lograremos duplicar la 
producción, sin duplicar el costo, lo cual hará caer el promedio 6CMe < 0. Entonces, como vimos 
antes, si el costom medio es decreciente, debe suceder que CMe(y) > CMg(y). Este análisis se 
puede repetir para los 3 casos. 
 
Por último, dos propiedades de la función tan útiles como interesantes, 
 
Proposition 12 Si ƒ tiene rendimientos constantes a escala, entonces la función de costos es 
C(r1, r2, y) = c(r1, r2)y. 
 
Proposition 13 Si ƒ es cóncava, entones C es convexa en y. 
 
 
Lo que establece la primer proposición es que si la tecnología de producción exhibe retornos 
constantes a escala, entonces es linear en la cantidad de bien final producido. La conclusión de 
esto es que si se desea duplicar la cantidad de bien final producido, entonces el costo total se 
duplicará. 
Ganaremos intuición acerca de la segunda proposición pensandolo para el caso de una variable. 
Supongan que ƒ es concava y que se utiliza un único insumo para la producción. 
0 
C(y) = F + CMg(v)dv 
6 
Imagine que pasar de 0 unidades producidas a 1 unidad requiere de 3 unidades del insumo, 
produciendo un costo total de C = 3r. Como ƒ es concava, pasar de 1 unidades de producto final 
a 2 requerirá de más que 3 unidades de insumos extras. Por lo tanto, el costo total, será mayor 
al doble del anterior. Es decir, el costo total será creciente en y a tasa creciente, es decir, convexo. 
 
Relación entre las curvas de corto y largo plazo: Recordemos que en el corto plazo suponemos 
que alguno de los insumos se encuentre fijo, mientras que en el largo todos los factores se 
pueden adaptar óptimamente de forma tal de minimizar el costo de producción. 
La conclusión inmediata que se deriva de la frase anterior es que si la planta tiene la posibilidad 
de adaptar todos los insumos, entonces el costo total de largo plazo CL (y) debe ser menor o 
igual al de corto plazo CC (y). 
CL (y) ≤ CC (y) 
pudiendo ambos ser iguales en el caso que el insumo fijo en el corto plazo coincida con el óptimo 
de largo plazo para la producción de la cantidad y. 
Por lo tanto, si dividimos ambos lados de la desigualdad por y obtendremos, 
CL (y) 
y 
≤ 
CC (y) 
 
 
y 
es decir, los costos medios de largo plazo son siempre menores o iguales a los de corto. Para 
distintos valores del insumo fijo (en nuestro ejemplo, el capital), podemos pensar en distintas 
curvas de CMe de corto plazo, donde todas cumplen con esta propiedad: Siempre se encuentran 
por encima de la curva de CMe de largo plazo. 
 
7 
 
 
 
 
 
a+β 
a+β 
a+β 
1 2 β β 
3 
3 
 1 
 # 
Ejemplo: Cobb-Douglas Recordemos la función de costos que habíamos encontrado para 
el caso Cobb-Douglas, 
 
 
 a β 
 1 
2
 
 
 
β a+β 
 
— a a+β 
C (y) = ra+β ra+β y a+β 4 + 5 
El costo medio de dicha función es, 
a β 
 
 
 
 
1 
"
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β a+β 
 
 
 
 
 
 
 
 
— a a+β 
ra+β ra+β y a+β + 
CMe (y) = 
1 2 
 
 
 
 a β 
β 
 
y 
1—a—β 
2
 
 
β 
 
 
β a+β 
 
 
 
 
— a a+β 
= ra+β ra+β y a+β 4 + 5 
Y el Costo Marginal, 
CMg (y) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 a β 
ra+β ra+β 
 
 
 
 
" β 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
— a 
y a+β —1 
 
 + β 1 
2 
1—a—β a β 
β β 
1 
" β — a # 
y a+β ra+β ra+β + 
1 2 + β β β 
 
 
 
Relacion entre Minimización de Costos y Maximización de Beneficios Antes de pasar 
directamente a la elección de la cantidad óptima a producir, hagamos un paralelismo entre los 
resultados que encontramos maximizando beneficios y los que encontramos minimizando 
costos. 
Por un lado, las ecuaciones que caracterizaban la solución del problema de maximización de 
beneficios eran: 
pP Mgi = ri 6i 
Y las condiciones que caracterizan la solución del problemade minimización de costos: 
 
 
µc (r1, r2, y) PMg i (r1, r2, y) = ri 6i ƒ (xc (r1, r2, y) , xc (r1, r2, 
y)) = y 
 
a+β 
1 2 β β 
# 
8 
1 2 
 
Si bien no es inmediato que las soluciones a los problemas vayan a coincidir (pues aún no 
determinamos la cantidad a producir en la segunda etapa luego de minimizar los costos), 
9 
 
1 PMg1 + 
6y 
2 PMg2 
6y 
µ 
podemos comenzar por interpretar µc. Para esto tomemos la función de costos y diferenciemosla 
con respecto a ”y” : 
6C (r1, r2, y) 6xc 6xc 
= 1 r1 + 
 2 r2
 
6y 6y 6y 
Puedo ahora utilizar que µc (r1, r2, y) PMg i (r1, r2, y) = ri, 
 
6C (r1, r2, y) 6xc c 6x
c c 
= 1 µ PMg1 + 2 µ PMg2 
6y 6y 6y 
Finalmente, como ƒ (xc (r1, r2, y) , xc (r1, r2, y)) = y vale en el optimo, puedo diferenciar 
1 
con respecto a ”y” ambos lados, 
2 
 
 
6xc 
 
 
6xc 
PMg1 1 + PMg2 2 = 1 
6y 6y 
Juntando ambos ecuaciones obtengo, 
6C (r1, r2, y) 
 
6xc 
 
 
 
 
6xc c 
 
 
 
 
Es decir, 
z 
=
¸ ,
1 
c 
 
 
6C (r1, r2, y) 
= CMg = µc 
6y 
Esto implica que en el óptimo debe ser cierto que el valor del multiplicador de Lagrange sea 
igual al costo marginal, es decir, el incremento en el costo en el caso que la firma decida 
aumentar la producción. Veremos a continuación que debe ser cierto que el CMg en el óptimo 
sea igual al precio del bien final. Por lo tanto, el multiplicador de Lagrange en el problema de 
minimización de costos juega el rol que el precio jugaba en el caso de maximización de 
beneficios: la valoración monetaria de un incremento en la producción. 
 
1.1.1 Etapa 2: Maximización de Beneficios 
La solución al problema de minimización de costos determina la mejor manera de producir 
cualquier cantidad deseada de producto. En la segunda etapa, el objetivo es elegir la cantidad a 
producir la que maximiza los beneficios de la firma (como tomadora de precios por el momento): 
 
maxy py — C(y). 
 
Resolviendo este problema, encontramos que la firma maximiza beneficios si 
6y 
= 
10 
p = C'(y) = CMg(y). 
 
 
Para asegurarnos de que esta condición caracteriza un máximo debemos verificar la condi- ción 
de segundo orden, que aquí se resume a CJJ(y) > 0, es decir, la función de costos debe ser convexa 
o el costo marginal creciente6. 
Llamemos y∗ a la solución del problema de maximización de beneficios. Si en y∗ la tecnología tiene 
rendimientos no crecientes a escala, entonces 
 
CMg(y∗) ≥ CMe(y∗) 
 
lo que implica que los beneficios de la firma son no negativos: 
 
 
py∗ — C(y∗) = y∗ × (CMg(y∗) — CMe(y∗)) ≥ 0. 
 
Esta condición asegura que la firma está maximizando beneficios. Si en cambio en y∗ los 
rendimientos a escala son crecientes entonces los beneficios son negativos. En ese caso, tenemos 
que comparar ese beneficio negativo, con el beneficio que la firma obtendría si produjera 0. 
 
¿Qué pasa cuando la tecnología tiene rendimientos constantes a escala? En ese caso, C(y) = 
cy y el beneficio de la firma es 
 
 
π = (p — c)y. 
 
Por lo tanto, si p > c el problema no tiene solución (y → ∞); si p = c, el problema tiene infinitas 
soluciones (y ∈ R+); si p < c, el problema tiene una única solución y = 0. 
 
6 Recordemos que función de costos convexa implica función de producción cóncava, que era lo requerido para la 
suficiencia del problema de maximización de beneficios.