Administración clase 15

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Administración clase 15 
1 Teoría del consumidor 
 
El principio básico en la teoría del consumidor es muy sencillo e intuitivo: 
 
 
El consumidor elige la mejor opción dentro de aquéllas que puede comprar. 
 
 
Por lo tanto, si queremos entender el comportamiento de los consumidores, tenemos que 
definir claramente los conceptos de mejor opción y de opciones que se pueden comprar . 
 
1.1 Preferencias 
 
En esta sección, se busca entender a qué nos referimos cuando decimos mejor opción . Para 
eso, se introduce la siguiente notación. Sea X el conjunto de canastas de consumo posibles e 
imaginables. Es decir, X es el conjunto de elecciones posibles de un consumidor. En un mundo 
con n bienes, un elemento típico de X es un vector x = (x1, ..., xn), donde xi es la cantidad de bien 
i. 
Un consumidor que tiene que elegir entre dos canastas de consumo, x ∈ X e y ∈ X, podría 
decir: 
 
● Prefiero x a y. 
● Prefiero y a x. 
● x e y me dan lo mismo. 
● No sé. 
A partir de ahora eliminaremos la última respuesta porque vamos a suponer que el consum- idor 
es capaz de comparar cualquier par de canastas dentro del conjunto de canastas posibles. Para 
formalizar este supuesto, se introduce una relación binaria a la que se denomina relación de 
preferencia débil: ?. Formalmente, x ? y implica que ”x” es al menos tan bueno como ”y” o que 
el consumidor prefiere débilmente ”x” a ”y” . 
Utilizando a la relación de preferencia débil, se asumen los siguientes supuestos fundamen- tales 
de racionalidad. 
Axioma 1 La relación de preferencia débil es completa. 6x ∈ X, 6y ∈ X debe darse que 
x ? y o y ? x o ambas. 
 
Axioma 2 La relación de preferencia débil es transitiva. 6x ∈ X, 6y ∈ X, 6z ∈ X, si 
x ? y e y ? z, entonces x ? z. 
 
Si una relación de preferencias satisface los Axiomas 1 y 2, diremos que es racional. 
 
A partir de esta relación de preferencia débil, se definen las relaciones de preferencia estricta y de 
indiferencia: 
 
● Relación de preferencia estricta: (>) : x > y si x ? y y no es cierto que y ? x. 
● Relación de indiferencia (~): x ~ y si y sólo si, x ? y e y ? x. 
 
 
El axioma 1 establece lo mínimo que le requerimos a un agente para poder pensar acerca de las 
decisiones que tomará: que sepa decidir entre dos canastas. Esto es, dadas dos canastas 
cualesquiera es capaz de decir la primera es debilmente preferida y/o la segunda lo es. 
El axioma 2 es más problemático pues no es inmediato que sea un supuesto válido acerca de las 
preferencias de nuestro agente. Sin embargo, es simple ver que un agente que tuviese 
preferencias no transitivas, le sería imposible elegir su canasta preferida frente a 3 o más 
opciones, pues tendría preferencias circulares entre ellas. 
Los supuestos realizados sobre la relación de preferencia débil, implican propiedades partic- ulares 
de las relaciones de preferencia estricta y de indiferencia. Esas propiedades las resumimos en los 
lemas que siguen. 
 
Lemma 16 Si la relación ? es completa y transitiva entonces la relación > es 
1. Asimétrica: 6x ∈ X, 6y ∈ X, si x > y entonces no es cierto que y > x, 
2. Transitiva: 6x ∈ X, 6y ∈ X, 6z ∈ X, si x > y e y > z, entonces x > z. 
 
Lemma 17 Si la relación ? es completa y transitiva entonces la relación ~ es 
1. Reflexiva: 6x ∈ X, x ~ x, 
2. Simétrica: 6x ∈ X, 6y ∈ X,si x ~ y entonces y ~ x, 
3. Transitiva: 6x ∈ X, 6y ∈ X, 6z ∈ X, si x ~ y e y ~ z, entonces x ~ z. 
 
 
1.1.1 Preferencias y funciones de utilidad 
 
Una relación de preferencias es un concepto relativamente intuitivo. Pero como herramienta de 
análisis es difícil de utilizar ya que no permite usar herramientas matemáticas sobre ellas. Por 
eso, utilizaremos otro objeto que represente la relación de preferencias, pero que sea útil desde 
el punto de vista del análisis. 
El concepto de utilidad utilizado por los economistas no busca ser una medida de felicidad de los 
agentes, sino únicamente será una herramienta para ordenar mediante números las 
preferencias: si el número de la utilidad correspondiente a una canasta es mayor que la de otra, la 
primer canasta será preferida por el agente a la segunda. 
 
Definition 18 Una función de utilidad transforma elementos de X en números reales. Esta función 
de utilidad u : X → R representa la relación de preferencias ? si y sólo si 6x ∈ X, 6y ∈ X, 
 
 
x ? y e u(x) ≥ u(y) 
Es decir, cada vez que una canasta sea preferida a otra, el número asignado a la primera canasta 
debe ser mayor al número asignado a la segunda canasta. Y cada vez que a una canasta se le asigne 
un número mayor que el número que se le asigna a otra canasta, la primera canasta deber ser 
preferida. 
La buena noticia es que si la relación de preferencias es racional, casi siempre es posible 
encontrar una función de utilidad que la representa. Esto no va a ser demostrado en este curso 
dado que las herramientas matemáticas necesarias para hacerlo son un tanto complejas. 
Como ilustración de una función de utilidad, suponga que el conjunto de elección es X = 
{a, b, c}. Sobre este conjunto de elección, un individuo tiene la siguiente relación de preferencias 
(completa y transitiva): 
+ 
 
 
a > b 
b > c 
 
 
 
La siguiente función de utilidad representa las preferencias de este individuo sobre el con- 
junto X: 
 
 
u(a) = 4 
u(b) = 2 
u(c) = 0 
 
Esta función satisface la definición y es, por lo tanto, una función de utilidad que representa las 
preferencias del individuo. Note que lo único que importa en la asignación de números anterior 
es el orden, pues sólo pedimos a la función de utilidad es que asigne un número mayor a una 
canasta que es preferida. Por lo tanto, podremos transformar dicha función sin alterar el orden 
numérico y seguiremos representando las mismas preferencias pero con otra función, es decir: 
Remark 19 Gos números asociados a las canastas son totalmente arbitrarios. En efecto, cualquier 
función v : X → R que cumpla con la condición de que v(a) > v(b) > v(c) es tan buena como u (.) 
para representar las preferencias del individuo. Por ejemplo, la siguiente función 
 
 
 
u(a) = e5 u(b) = π 
u(c) = —15, 000 
también representa las mismas preferencias, porque genera el mismo orden entre las canas- tas. 
Es posible realizar el mismo ejercicio para preferencias que están definidas sobre conjuntos más 
complejos, como X = R2 . También en estos casos, lo único importante es el ordenamiento de las 
canastas determinado por la relación de preferencias. En general, se puede afirmar que: 
de todas las canastas de consumo que dejan al consumidor indiferente frente a (x , x ). Es decir 
Proposition 20 Si la función u (.) representa la relación de preferencias ?, entonces cualquier 
transformación monótona creciente de u (.), llamémosla ƒ (u) representa la misma relación de 
preferencias. 
 
Ejemplos de transformaciones monótonas son: ƒ (u) = u + 17; ƒ (u) = 3u, ƒ (u) = u3. Veamos lo 
que pasaría sobre el ejemplo anterior si lo que le aplicamos es una transformación no monótona. 
Recordemos que las preferencias estaban representadas por la siguiente función de utilidad: 
 
 
u(a) = 4 
u(b) = 2 
u(c) = 0 
Apliquemosle la transformamación decreciente ƒ (u) = —u : 
 
u(a) = —4 
u(b) = —2 
u(c) = 0 
Es claro que la función anterior no representa las preferencias del agente pues observandola 
diríamos que: 
 
b > a 
c > b 
cando sabemos que no es cierto por como definimos las preferencias inicialmente. 
 
 
1.1.2 Curvas de indiferencia y funciones de utilidad 
La piedra fundamental de la teoria de consumidor es la relación binaria de preferencias. Sin 
embargo, utilizamos la función de utilidad por practicidad (pues no es más que la representación 
ordenada de forma numérica de las preferencias). También, podemos utilizar otra herramienta 
que nos sirva para trabajar con facilidad con las preferencias. En este caso es una representación 
gráfica que llamaremos curva de indiferencia.Supongamos que nuestras canastas de consumo contienen sólo dos bienes (x1, x2) y tomemos 
un par particular de consumo: (x , x ). Una curva de indiferencia es una representación gráfica 
^1 ^2 
 
si, 
^1 ^2 
I(x1, x2) = {(x1, x2) ∈ X : (x1, x2) ~ ( x̂ 1 , x̂2)} 
es el conjunto de indife
^
ren
^
cia de la canasta (x1, x2). Entonces una curva de indiferencia 
será la representación gráfica de dichas canastas. 
^ ^
 
 
 
 
A partir de una curva de indiferencia podemos graficar el conjunto de canastas que son 
débilmente preferidas a (x1, x2), es decir, cualquier par (x1, x2) tal que (x1, x2) ? (x1, x2). 
Gráficamente, 
^ ̂ ^ ^
 
 
La hipótesis de racionalidad no implica nada sobre la forma de las curvas de indiferencia. Lo 
único que no puede pasar si las preferencias son racionales es que las curvas de indiferencia se 
corten. Es decir, 
 
Proposition 21 Si las preferencias son racionales, 6x ∈ X, 6x' ∈ X, tiene que darse que 
I(x) = I(x') o I(x) ∩ I(x') = Ø. 
 
Proof. a) Supongamos que x' ∈ I(x). Esto significa que x' ~ x. Por propiedad de simetría, 
tiene que pasar que x ~ x' y por lo tanto x ∈ I(x'). Es más, por transitividad x ~ y, 6y ∈ I(x') y 
x' ~ y, 6y ∈ I(x). Por lo tanto I(x) = I(x'). 
b) Supongamos que x' ∈/ I(x). Entonces, por completitud, tiene que pasar que x' > x o 
x > x'. Supongamos que x̂ ∈ I(x) ∩ I(x'). Entonces x̂ ~ x y x̂ ~ x'. Pero entonces, simetría 
y transitividad implican que x' ~ x o x' ∈ I(x), lo que es una contradicción. 
 
 
El gráfico anterior representa lo anteriormente mencionado. Por transitividad parece que x ~ z 
~ y. Sin embargo, como x e y pertenecen a distintas curvas de indiferencia, debe suceder que y 
> x o x > y, lo cual es una contradicción. 
El siguiente gráfico muestra algunos ejemplos de curvas de indiferencia de preferencias 
racionales: 
+ 
x1 
 
 
 
 
● Cómo se consiguen las curvas de indiferencia a partir de la función de utilidad? Considere 
el siguiente ejemplo: 
● X = R2 y u : X → R : u(x) = x1x2. Tome la canasta x = (3, 1) y se buscar graficar 
I(3, 1). 
● Por definición de curva de indiferencia, una canasta y ∈ I(3, 1) si y ~ (3, 1). 
● Por definición de función de utilidad, y ~ (3, 1) sii u(y) = u(3, 1). Sabemos que u(3, 1) = 
3 × 1 = 3 y u(y) = y1y2. Por lo tanto, y ∈ I(3, 1) sii y1y2 = 3, o y2 = 3/y1. 
 
Podemos hacer el mismo procedimiento para cualquier nivel de curva de infirerencia, es decir, 
para cualquier valor de utilidad genérico k: u(x) = x1x2 = k. Despejando para x2, obtenemos que 
x2 = k . Graficamente, 
x 
 
 
 
Imaginemos ahora que queremos encontrar las curvas de indiferencia de una transformación 
de u (x), digamos v (x) = (u (x))2 = x2x2. Cómo serán las curvas? x2x2 = k, despejando 
1 2 1 2 
para x2 : x2 = 
k
1/2 
. Note que las curvas son exactamente las mismas que las anteriores, 
1 
solo cambian las etiquetas: la que antes se llamaba 2 ahora se llama 4, la que antes 3 ahora 9, 
etc; pero las curvas son idénticas. Esto lo podríamos haber anticipado pues el orden de 
preferencias se preserva mediante transformaciones monótonas, por lo tanto, si dos canastas 
me eran indiferentes, ahora lo seguirán siendo. 
 
 
Propiedades adicionales sobre las preferencias: Generalmente, trabajaremos con pref- erencias 
que cumplan algunas propiedades adicionales. Estas no son necesarias para la repre- sentación 
de preferencias en término de funciones de utilidad, pero van a facilitarnos el trabajo sin perder 
generalidad. Podremos para cada caso ver si se cumplen o no. Estas propiedades no se 
describen porque sean necesarias para desarrolar nuestra teoría, sino porque se observa que en 
general los individuos se comportan como si sus preferencias las satisficieran. 
La primera propiedad, la que se denomina monotonicidad, indica que el consumidor 
prefiere canastas que tienen más de los bienes a canastas que tienen menos. 
 
Definition 22 Ga relación de preferencias ? es monótona si 6x ∈ X, y ∈ X tales que x ≥ y, se 
cumple que x ? y. Ga relación de preferencias es estrictamente monótona si, además, cuando x 
/= y, se da que x > y. 
No todas las preferencias cumplen con esta propiedad dado que existen casos donde los agentes 
alcanzan puntos de saciedad. Por ejemplo, en general la gente prefiere un bife con un poco de 
sal a un bife sin sal. Pero si el bife tiene demasiada sal, ya no es preferido. 
En términos de la función de utilidad, la monotonicidad de las preferencias implica que la 
función de utilidad no decrece cuando aumenta el consumo de los bienes (por separados y 
juntos). En términos del gráfico, la monotonicidad implica que las curvas de indiferencia son 
decrecientes y la utilidad aumenta cuando nos alejamos del origen. 
 
 
 
La segunda propiedad es convexidad. Esta propiedad indica que los individuos prefieren 
consumir canastas balanceadas de bienes antes que los extremos, en los que se consume may- 
oritariamente de un bien. 
Definition 23 Ga relación de preferencias ? es convexa si 6x ∈ X, y ∈ X tales que x ? y y para 
todo ∈ [0, 1], tenemos que la canasta z ∈ X, z = x + (1 — )y ? y. Ga relación es estrictamente 
convexa si, además, cuando ∈ (0, 1), z > y. 
 
En términos del gráfico, esta propiedad implica que el conjunto de las canastas que son 
débilmente preferidas a cualquier canasta x ∈ X es un conjunto convexo (si se unen cualquier 
par de puntos del conjunto con un segmento, el segmento queda incluido dentro del conjunto). 
 
 
 
 
Podemos concluir entonces, 
 
Remark 24 Si las 
preferencias son 
monótonas y 
convexas, entonces 
las curvas de 
indiferencia son 
decrecientes, 
convexas y la 
utilidad aumenta 
cuando nos 
alejamos del 
origen. 
 
 
 
frente a un 
escenario en 
donde las 
preferencias 
del agente 
deberían 
llegar a un 
punto en el 
cual pierdan la 
monotonicida
d, es decir: 
 
 
1.1.3 Aplicaciones