Administración clase 16

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Administración clase 16 
 
 
1.1.1 Utilidad Marginal y Tasa Marginal de Sustitución: 
Considere un consumidor que se encuentre consumiendo la canasta (x1, x2). Cómo cambia la 
utilidad del consumidor cuando incrementa el consumo de alguno de sus bienes, digamos el 1? A la 
tasa de cambio a la cual cambia la utilidad por cada unidadad de cambio en el consumo del bien 1 la 
llamaremos utilidad marginal del bien 1 y la escribiremos UMg1. Es decir, si mantenemos el 
consumo del bien 2 constante e incrementamos el consumo del bien 1 en una cantidad pequeña 
(debemos pensar que es pequeña pues el valor de la UMg puede cambiar con el bien 1) la tasa a la 
cual la utilidad se incrementa se encuentra dada por la UMg. Es decir, la tasa de cambio ante una 
variación del bien 1 en cantidad Ax1 es: 
u (x1 + Ax1, x2) — u (x1, x2) Ax1 
Si consideramos un cambio muy pequeño en la cantidad 
 
 
lim 
Δx1→0 
u (x1 + Ax1, x2) — u (x1, x2) Ax1 
Noten que la anterior es la definición de la derivada parcial de u (.) con respecto a x1. Esto es lo que 
llamaremos utilidad marginal del bien 1 (siempre y cuando u (.) sea derivable): 
 
UMg1 = 6u (x1, x2) 
6x1 
Que mide la tasa de cambio ante un aumento marginal en el bien 1 manteniendo constante el 
consumo del bien 2. 
La anterior definición implica que para calcular el cambio en la utilidad asociado a un aumento 
pequeño del bien 1, podemos simplemente multiplicar la tasa de cambio por el valor del cambio, es 
decir, si cambiamos el consumo del bien 1 en la cantidad dx1 : 
 
dU = UMg1dx1 
Todo en análisis derivado con respecto al bien 1 es idéntico para el caso del bien 2 o cualquier otro 
bien que se consume. 
Note que la utilidad marginal depende directamente de la función de utilidad que estemos 
utilizando. Es decir, si multiplicamos por 2 la función de utilidad (sabemos que esto mantendría la 
relación de preferencias) la utilidad marginal se duplicará. Esto implica que la utilidad marginal no 
transmite un contenido claro acerca del comportamiento del agente pues depende de la función de 
utilidad que elijamos utilizar y lo único que podremos decir al verla es que si es positiva la utilidad 
crecerá. Sin embargo, podremos utilizar la misma para construir otro instrumento que sea 
invariante a transformaciones de la utilidad: la tasa marginal de sustitución. 
La tasa marginal de sustitución indica la tasa a la cual el agente está dispuesto a ceder del consumo 
de un bien para obtener de otro. La tasa marginal de sustitución equivale a la pendiente de la curva 
de indiferencia en un determinado punto, pues recordemos que la curva de indiferencia une todas 
las canastas para la cual el agente se encuentra indiferente. 
 
 
 
Tipicamente la tasa marginal de sustitución será negativa pues el agente estará dispuesto a ceder 
de un bien sólo si incrementa el consumo de otro. Para evitar confundirnos con signos negativos, 
generalmente la utilizaremos en valor absoluto. 
La tasa marginal de sustitución se puede obtener muy facilmente a partir de la función de utilidad. 
Como sobre una curva de indiferencia el nivel de utilidad de un individuo es constante: 
 
u(x1, x2) = k 
Si la función u es conocida, podemos despejar x2 en función de x1 y nos queda la expresión 
x2 = CI(x1), donde CI significa curva de indiferencia. Entonces, queda que 
 
u(x1, CI(x1)) = k 
y esto es cierto cualquiera sea x1. Entonces, podemos derivar con respecto a x1 y la igualdad no se 
altera: 
 
 
 
De aquí surge que: 
6u 6x1 6u dCI 
+ 
6x2 dx1 
dk 
= = 0 
dx1 
 
dCI 
 
 
6u 6u 
= — / 
= — UM1 = —TMS 
dx1 6x1 6x2 UM2 
Entonces, la tasa a la cual un agente está dispuesto a intercambiar bien 2 por bien 1 se encuentra 
dada por el ratio de las utilidades marginales del bien 1 con la del bien 2. La intuición 
UM 
= 
— 
de esto es inmediata. Supongamos que aumentar el consumo del bien 1 me arroja 3 veces más 
utilidad que aumentar el del bien 2, es decir, UM1 
2 
= 3. Entonces, yo podría disminuir mi 
consumo del bien 2 en 3 unidades y aumentar el del bien 1 en 1 sola unidad y asi mantener mi 
utilidad, pues lo valoro 3 veces más! Note que este análisis no es del todo correcto pues la tasa de 
sustitución es local, es decir, es válida sólo para cambios pequeños de consumo y representa la tasa 
a la cual debe realizarse dicha sustitución. En el ejemplo, dicha tasa es de 3 a 1, digamos, puedo 
disminuir el consumo del bien 2 en 0, 000003 unidades y aumentar el consumo del bien 1 en 0, 
000001 unidades y asi se mantendría constante mi utilidad. 
Recordemos que la Utilidad Marginal era sensible a transformaciones monótonas de la utilidad, qué 
sucede con la TMS? Ya podemos anticipar que sucederá, pues sabemos que las curvas de 
indiferencia son idénticas a pesar de que se realice una transformación monótona y la TMS es la 
pendiente de dichas curvas. Veamos, supongamos que v (x1, x2) = ƒ (u(x1, x2)) con ƒ (.) 
monótonamente creciente. Calculemos la TMS de v (x1, x2) utilizando la regla de la cadena, 
 
6v 6x1 6v 
6x2 
6f 6v 6u 6x1 6f 6v 
6u 6x2 
6u 6u 
= — 6x / 
6x2 
= TMSu 
Logramos probar entonces, que la TMS es invariante a transformaciones de la función de utilidad. 
Como esperaremos que se comporte la TMS a medida que cambia la relación de consumo entre los 
bienes? Sabemos por el momento que si vale monotonicidad entonces las curvas de indiferencia 
serán decrecientes y por lo tanto la TMS negativa. Sin embargo, puede decrecer de múltiples 
maneras. Veremos a continuación ejemplos en donde la TMS se mantiene constante o cambia a 
medida que cambia la relación de consumo. Sin embargo, sabemos que si las preferencias son 
estrictamente convexas, las curvas de indiferencia también lo serán. Entonces, la tasa a la cual el 
agente está dispuesto a sustituir bien 2 por bien 1 será decreciente a medida que se incrementa el 
consumo del bien 1, es decir, cuando consuma poco de bien 1 podrá ceder mucho bien 2 y 
permanecer indiferente, pues valora mucho consumir 2 cuando tiene escacez de bien 1. Sin 
embargo, a medida que aumenta el consumo del bien 1 estará dispuesto a dar menos y menos 
cantidad de bien 2 para quedar indiference. 
Si la TMS refleja dicha propiedad, diremos que exhibe una fasa Marginal de Sustitución decreciente: 
cuanto más tengo de un bien relativo a otro, mayor cantidad del bien abundante puedo ceder para 
TMSv = 
—
 
1 
quedar indiferente. 
+ 
1.1.2 Ejemplos 
 
Sea X = R2 . A continuación se mencionan algunos ejemplos típicos de preferencias. 
 
 
Ejemplo 1: sustitutos Supongan que ustedes creen que la relación de preferencias sobre dos bienes 
que el agente tiene es que consumir uno o el otro le es totalmente indiferente, es decir, le importa 
las cantidades de bienes y no la composición de la canasta. Cómo serán las curvas de indiferencia 
de un agente con dichas características? Noten que la tasa a la cual está dispuesto a sustituir es 
siempre constante e igual a 1: cambia un bien por otro y mantiene su utilidad. Por lo tanto, sus 
curvas de indiferencia serán rectas con pendiente -1. Y su función de utilidad? Como al agente sólo 
le importa cuántos bienes tenga y valora a ambos por igual, la función de utilidad que representa 
sus preferencias estará dada por la suma de las cantidades (o cualquier transformación monótona 
de ella8): 
u(x1, x2) = x1 + x2 
 
Y la TMS de dicha función es exactamente 1. 
También puede suceder que ambos bienes sean sustitutos pero no perfectos, sino imperfec- tos, es 
decir, que este siempre dispuesto a cambiar a la misma tasa pero no 1 a 1 sino, por ejemplo, dos a 
uno o tres a uno. En dicho caso, la TMS será la tasa (constante) a la cual el agente pueda 
intercambiar los bienes y quedar indiference. De manera general, las preferencias de sustitutos 
perfectos se encuentran caracterizadas por: 
 
u(x1, x2) = ax1 + bx2, a > 0, b > 0. 
La pendiente de las curvas de indiferencia, entonces, es igual a —a/b , que equivale a la TMS. 
 
8 Por ejemplo: v (x1,x2) = (x1 + x2)2 representa también preferencia de sustitutos. 
 
 
 
Ejemplo 2: Preferencias Leontief o bienes complementarios Suponga que usted con- sidera que las 
preferencias del agente sobre dos bienes es que ellos son complementarios, es decir, para gozar de 
su uso es necesario contar con ellos en determinada proporción. Las can- tidades de alguno de los 
bienes que exedan dicha proporción no proporcionarán utilidad al individuo. Los complementos 
serán perfectos si se requiere incrementar el consumo de ambos bienes en la misma cantidad para 
obtener una canasta preferible. Serán imperfectos en el caso de que deba aumentar el consumo de 
un bien más que de otro, pero siempre manteniendo la proporción. 
Cómo serán sus curvas de indiferencia? Tendrán forma de L con el vértice alineado sobre una recta 
que parte del origen. La forma de convencerse de ello es considerar aumentar sólo un bien, es 
decir, moverse en el gráfico hacia arriba o hacia la derecha. En ambos casos, al ser 
complementarios, la utilidad no aumentará y dichos puntos pertenecerán a la misma curva de 
indiferencia. Sin embargo, habrá un punto en el cual disminuir la cantidad de alguno de ellos haga 
caer la utilidad, dicho punto será el vértice de la L. 
Suponga que a usted le gusta mucho el consumo de una bebida amarga con soda (y mientra más 
consume, más feliz es) de la siguiente manera: por cada medida de bebida, dos de soda. Usted debe 
decidir cuántas botellas comprar en el supermercado para consumir durante el mes. Claramente, 
comprar 3 de soda y una de su bebida amarga implicaría desperdiciar una de soda (suponemos que 
no le gusta ninguna de las dos por separado). Por lo tanto, usted derivará la misma utilidad de tener 
3 de soda y una de Beb. amarga, que tener 2 y 1 o tener 4 y 1, o 2 y 2, pero tendrá más utilidad si 
compra 4 y 2. Por lo tanto sus curvas de indiferencia serán L 
a 
2 
β x 
1 2 
a b 
con vértice en el (2, 1); (4, 2), etc. 
A este tipo de preferencias las llamaremos Leontieff y siempre pueden representarse por medio de 
una función de utilidad del tipo: 
u(x , x ) = min{ x1 , x2 }, a > 0, b > 0. 
Los vértices de las curvas de indiferencia, entonces, están alineados sobre la recta x2 = b x1. 
 
En nuestro caso de las bebidas, será u(S, B) = min{ S , B} donde S es el consumo de soda y B el de la 
bevida. Note que u(4, 1) = min{2, 1} = u(2, 1) = u(2, 2) = 1 pero que u(4, 2) = min{2, 2} > u(2, 1) = 1. 
 
 
 
 
Ejemplo 3 Preferencias Cobb-Douglas Las preferencias Cobb-Douglas están caracteri- zadas por 
curvas de indiferencia que son estrictamente decrecientes, estrictamente convexas y nunca cruzan 
los ejes. Siempre se las puede representar por medio de una función de utilidad del tipo 
 
u(x1, x2) = x xβ 
1 2 
La pendiente de las curvas de indiferencia, entonces, es igual a x2 . 
1 
Algunas transformaciones de la función anterior nos serán particularmente útiles: 
 
1 h βi 1 
 
 
 
 
r 1—r 
 
 
con g = 
 
1 2 1 2 1 2 
 
 
v(x1, x2) = ln (u) = ln (x1) + β ln (x2) 
 
 
Ejemplo 4 Preferencias homotéticas Las preferencias homotéticas se definen de la sigu- iente 
manera: 6t > 0 y 6(x1, x2) ∈ X, 6(xj1, xj2) ∈ X, si (x1, x2) ~ (xj1, xj2) ⇒ (tx1, tx2) ~ (txj1, txj2). En 
particular, las preferencias homotéticas tienen la propiedad de que la pendiente de todas las curvas 
de indiferencia es constante a lo largo de cualquier rayo que parte del origen. Es decir, si la 
proporción entre los bienes no cambia (x2 = kx1), la tasa marginal de sustitu- ción tampoco cambia. 
Si las preferencias son homotéticas, siempre se las puede representar por una función de utilidad 
que es homogénea de grado 1: u : u(tx1, tx2) = tu(x1, x2), 6t > 0, 6(x1, x2), (xj1, xj2) ∈ X. Las 
preferencias lineales, Leontief y Cobb-Douglas son ejemplos de preferencias homotéticas. 
 
 
Ejemplo 5 Preferencias cuasilineales Las preferencias cuasilineales tienen la propiedad de que la 
pendiente de todas las curvas de indiferencia es constante a lo largo de una recta paralela a alguno 
de los dos ejes. Siempre se las puede representar por medio de una función de utilidad del tipo 
 
u(x1, x2) = ƒ (x1) + ax2, a > 0, ƒ j > 0, ƒ jj ≤ 0. 
La pendiente de las curvas de indiferencia, entonces, es igual a ƒ j(x1), que es independiente de la 
cantidad de bien 2. Por lo tanto la pendiente es constante a lo largo de una recta paralela al eje de 
ordenadas. 
 
 
Ejemplo 6: males Puede suceder que el consumo de un bien haga decrecer la utilidad, como por 
ejemplo el consumo de "tiempo trabajado" (a nadie realmente le gusta trabajar). En ese caso, como 
se verán las curvas de indiferencia? Note que lo que debe suceder es que para mantener la utilidad, 
si se incrementa el consumo del bien que genera desutilidad, se debe incrementar el consumo de 
otro bien que incrementa la utilidad. Por lo tanto, las pendientes de las curvas de indiferencia 
tendrán pendiente positiva. 
 
 
 
 
Ejemplo 7: preferencias que reflejen saciedad Podemos pensar que el consumo de bienes en exceso 
no incrementa la utilidad, o más aun, la hace decrecer. En ese caso estaríamos