Administración clase 19

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Administración clase 19
 
1.1 Elección óptima de la canasta de consumo 
La relación de preferencias indica cómo ordena el consumidor las posibles canastas de consumo. El 
conjunto presupuestario permite seleccionar cuáles son las canastas relevantes: las que el 
consumidor puede comprar dados los precios y su ingreso. Esta información es suficiente para 
poder predecir, dados los precios, el ingreso y la relación de preferencias, cuál será la canasta 
elegida por el consumidor. Sabemos que los consumidores eligen la mejor canasta dentro de 
las que pueden comprar. 
Empecemos por ver el caso de un consumidor con preferencias que cumplan con todos los 
axiomas anteriores: racionalidad, monotonicidad y convexidad. Sus curvas de indiferencia serán 
convexas y crecerán hacia afuera del origen. Entonces, podemos graficar varias de ellas en un 
plano y elegir dentro del conjunto presupuestario cual es la que deja más satisfecho al agente. 
La curva que estamos buscando será claramente la perteneciente a la curva más alejada del 
origen dentro de todas aquellas que tocan el conjunto presupuestario. Dada la monotonicidad, 
la canasta óptima debe encontrarse sobre la recta de presupuesto pues de otra manera sería 
conveniente aumentar el consumo de algún bien. El siguiente gráfico muestra la 
canásta óptima (x∗1, x∗2) a elegir para el perfil de preferencias: 
 
 
La elección de (x∗1, x∗2) es óptima para el consumidor pues todas las canastas que son preferi- das 
para el consumidor a (x∗1, x∗2) no pertenecen al conjunto presupuestario y por lo tanto no son 
accesibles por él. 
Noten una particularidad importante: en el punto óptimo de consumo la curva de indiferen- cia es 
tangente10 a la restricción presupuestaria. Debe siempre suceder que la canasta óptima cumpla 
que la curva de indiferencia es tangente a la restricción presupuestaria? No necesari- amente. 
Lo que sí debe suceder en todos los casos es que la curva de indiferencia no puede atravesar la 
recta presupuestaria. Si la curva de indiferencia traspasara la presupuestaria, exi- stiría alguna 
canasta que mejore la utilidad del agente y que sea accesible por él, y la anterior no podría ser 
óptima. Sin embargo, la igualdad de las pendientes no es necesaria. Veamos un ejemplo con 
preferencias quebradas: 
 
 
También puede suceder que el punto no se de con tangencia pues es óptimo elegir consumir cero 
de alguno de los bienes. Veamos el siguiente caso: 
10 Para que dos curvas sean tangentes en un punto debe suceder que ambas tomen el mismo valor en él y que la 
pendientes coincidan. 
 
 
 
Note que la pendiente de la curva de indiferencia con la restricción presupuestaria son distintas 
en el óptimo, sin embargo, continúan sin atravesarse. El caso anterior es un ejemplo de lo que 
llamaremos solución de borde o de esquina para diferenciarlo de los ejemplos anteriores que 
son soluciones interiores. 
Entonces, si nos olvidamos de las soluciones de borde y consideramos curvas de indiferencias suaves 
(o diferenciables en todo punto) en el óptimo debe ocurrir que la solución se dé en un punto de 
tangencia. Sin embargo, ¿es tangencia una condición suficiente para asegurarnos que el punto 
encontrado es óptimo? Es decir, si encontramos un punto tal que la curva de indiferencia es 
tangente a la restricción, ¿es éste necesariamente un óptimo? Veamos el siguiente ejemplo: 
 
 
 
Noten que en la figura tenemos tres puntos de tangencia y solo dos de ellos son canastas 
óptimas de consumo. Por lo tanto, podemos concluir que para funciones diferenciables y en 
soluciones interiores: tangencia es una condición necesaria para la optimalidad pero no 
suficiente. 
Sin embargo, existe un caso particular en donde tangencia constituye una condición sufi- ciente 
para la optimalidad: las preferencias convexas. En el caso de que nuestro agente tenga 
preferencias convexas, si encontramos un punto de tangencia entre la curva de 
indiferencia y la restricción presupuestaria, este debe ser una canasta de con- sumo 
óptima. Esto es evidente desde el punto de vista gráfico: las curvas de indiferencia que reflejan 
preferencias convexas se curvan hacia afuera y no cambian su curvatura, es decir, si toca al 
restricción en un punto de tangencia, no volverá a hacerlo para ningún otro punto. 
Desde el punto de vista de la unicidad, convexidad no nos soluciona el problema, pues puede 
suceder que sean múltiples las canastas que resulten óptimas. Sin embargo, si las preferencias 
son estrictamente convexas, las curvas de indiferencia no tendrán "partes planas" y la solución 
será necesariamente única. 
El hecho de que en el óptimo la curva de indiferencia deba ser tangente a la restricción 
presupuestara implica que la Tasa Marginal de Sustitución entre bienes es equivalente al precio 
relativo del mercado. Qué implica esto en términos económicos? Recordemos que la TMS era 
la tasa a la cual es agente está dispuesto a ceder de un bien para conseguir de otro. Por otra 
parte el precio relativo es la tasa a la cual el mercado está dispuesto a sustituir bienes. 
x1 ≥ 0 
Por lo tanto, en el óptimo la tasa personal a la cual el agente está dispuesto a sustituir debe ser 
equivalente a la que el mercado está dispuesta a intercambiar, pues de otra manera, una 
reasignación de consumo incrementaría la utilidad. 
Por ejemplo, piensen que el precio relativo entre bienes es 1 (un bien 2 por un bien 1, y 
viceversa). Y supongamos que la TMS del agente es igual a 2. En ese caso, el agente valora el 
doble incrementar su consumo de bien 1 relativo a hacerlo en el bien 2. Por lo tanto, estará 
dispuesto a disminuir su cantidad de consumo de bien 2 en dos unidades para incrementar el 
consumo del bien 1 en al menos una unidad. Sin embargo, el mercado le da dos unidades de 
bien 1 por las dos de bien 2! El agente incrementará su utilidad de esta manera, y podrá hacerlo 
hasta que TMS =Prec Rel. 
 
 
1.1.1 El Problema del Consumidor 
Sabemos que si las preferencias del consumidor son racionales las podremos representar me- 
diante una función de utilidad. Por lo tanto, el problema que el agente enfrenta será el de 
maximizar su utilidad. Sin embargo, el espacio de elección quedará delimitado por el conjunto 
presupuestario. Entonces, el problema del agente es: 
,
,< p1x1 + p2x2 ≤ m 
 
 
(x1,x2) ,, 
x2 ≥ 0 
Este es un problema de maximización con restricciones un poco más complejo que el habit- ual, 
porque tenemos 3 restricciones de desigualdad. Ahora, se trata de simplicar este problema. 
Primero, podemos demostrar fácilmente que 
 
Proposition 25 Si las preferencias son monótonas el consumidor siempre elegirá una canasta que 
se encuentre sobre la recta presupuestaria. 
Proof. Supongamos que las preferencias son monótonas y que la canasta óptima (x∗1, x∗2) no 
está sobre la recta presupuestaria. Es decir, p1x∗1 + p2x∗2 < m. Como las preferencias son 
monótonas, para todo o > 0, la canasta (x∗1 + o, x∗2 + o) es estrictamente preferida a (x∗1, x∗2). 
Además, si o es suficiente pequeño, esa canasta pertenece al conjunto presupuestario: p1x∗1 + p2x∗2 
+ (p1 + p2)o ≤ m. Pero esto contradice el hecho de que (x∗1, x∗2) es la canasta óptima. 
Este resultado implica que cuando verificamos que las preferencias son monótonas, podemos 
reemplazar la restricción de presupuesto con desigualdad por una restricción de igualdad. En- 
tonces, el problema nos queda 
max u(x1, x2) sujeto a 
,
,<
 
, 
 
 
max 
(x1,x2) 
 
u(x1, x2) sujeto a 
p1x1 + p2x2 = m x1 
≥ 0 
, 
x2 ≥ 0 
Todavía quedan las dos restricciones de no negatividad del consumo. Estas restricciones no 
pueden eliminarse a priori. No obstante, son ignoradas al resolver y luego son verificadas una 
vez hallada la solución. En cualquier caso, es posible afirmar que si las preferencias son 
monótonas, nunca puede pasar que el consumo de ambos bienes sea igual a 0. 
Una vez eliminadas estas restricciones, queda un problema demaximización con una re- 
stricción de igualdad: 
 
max 
(x1,x2) 
u(x1, x2) sujeto a p1x1 + p2x2 = m 
Siempre que la función de utilidad sea diferenciable, resolvemos el problema de maxi- 
mización usando el método de Lagrange. Armamos la función de Lagrange: 
 
G((x1, x2, Z) = u(x1, x2) + Z(m — p1x1 — p2x2). 
En el óptimo, las derivadas de la función de Lagrange contra todos sus argumentos deben ser 
iguales a 0: 
 
6G 
= 
6x1 
6G 
= 
6x2 
6G 
6u 
6x1 
6u 
6x2 
(x1, x2) — Zp1 = 0 
(x1, x2) — Zp2 = 0 
6Z 
= m — p1x1 — p2x2 = 0 
La solución a este problema es (xM (p1, p2, m), xM (p1, p2, m), ZM (p1, p2, m)), que se denom- 
1 2 
inan funciones de demanda marshallianas. 
Es posible reorganizar esas condiciones para lograr un mejor entendimiento. De las dos 
primeras condiciones se obtiene que 
6u (xM , xM ) p 
6x1 1 2 = 
 1 
6u (xM , xM ) p2 
6x2 1 2 
Donde nuevamente llegamos a que en el óptimo la TMS debe ser igual a los precios relativos. Tenga 
en cuenta que el resultado depende de la monotonicidad y convexidad de la función, y de que la 
solución sea interior. Esto último debe ser verificado para cada caso particular. En caso de que 
la función y/o la solución no cumpla alguna de dichas características debemos proceder con 
cautela. Hablaremos sobre esto más adelante, ahora hagamos un ejemplo. 
2 
2 
2 
2 
1.1.2 Ejemplo 1: Función de utilidad Cobb-Douglas 
 
Suponga que la función u(x1, x2) = x1x2 representa las preferencias de un consumidor. Ya 
vimos que las preferencias que se representan con esta función de utilidad son monótonas y 
convexas. Ahora podemos ver fácilmente que esta función de utilidad no admite soluciones de 
esquina. Efectivamente, si x1 = 0 la utilidad del individuo es 0 cualquiera sea x2. En cambio, si 
consume cantidades positivas de ambos bienes, aunque sean muy pequeñas, la utilidad es 
positiva. Por lo tanto, sabemos con seguridad que la solución será interior. 
Planteamos el problema que tenemos que resolver. 
 
max 
(x1,x2} 
x1x2 sujeto a p1x1 + p2x2 = m. 
Planteando la función de Lagrange, se obtiene: 
 
G(x1, x2, Z) = x1x2 + Z(m — p1x1 — p2x2). 
En el óptimo, las derivadas de la función de Lagrange deben ser iguales a 0: 
 
6G 
6x1 6G 
= x2 — Zp1 = 0 
 
 
6x2 
= 2x1x2 — Zp2 = 0 
6G 
6Z 
= m — p1x1 — p2x2 = 0 
La solución a este problema (funciones de demanda marshallianas) es 
 
xM (p , p , m) = 
1 m
 
1 1 2 
 
 
3 p1 
xM (p , p , m) = 
2 m
 
2 1 2 
 
 
3 p2 
M 4 m2 
Z (p1, p2, m) = 9 p p2 
.
 
1 2 
1.1.3 Ejemplo 2: Función de utilidad cuasilineal 
Suponga que la función u(x1, x2) = ax1 + ln (x2) , a > 0 representa las preferencias de un 
consumidor. Estas preferencias son también monótonas y convexas. 
Planteamos el problema que tenemos que resolver. 
 
max 
(x1,x2} 
ax1 + ln (x2) sujeto a p1x1 + p2x2 = m 
2 
0 si m/p1 < 1/a 
2 
Planteando la función de Lagrange: 
 
G(x1, x2, Z) = ax1 + lnx2 + Z(m — p1x1 — p2x2). 
En el óptimo, las derivadas de la función de Lagrange deben ser iguales a 0: 
 
6G 
6x1 6G 
= a — Zp1 = 0 
1 
 
 
6x2 
= 
x 
— Zp2 = 0 
6G 
6Z 
= m — p1x1 — p2x2 = 0 
La solución a este problema es 
 
xM (p , p , m) = 
m 
— 
1
 
1 1 2 
 
 
p1 a 
xM (p , p , m) = 
p1
 
2 1 2 ap2 
ZM (p , p , m) = 
4 a 
. 
1 2 
9 p1
 
¿Es esta realmente la canasta de consumo óptima? Sí, siempre que las cantidades consum- idas 
no sean negativas. Si se observan las funciones obtenidas, se aprecia que x2 es siempre positivo, 
porque los precios son positivos. Sin embargo, el signo de x1 depende de los parámet- ros y es sólo 
positivo cuando m/p1 ≥ 1/a. En ese caso, la solución encontrada corresponde a la canasta 
óptima. 
¿Qué pasa si m/p1 < 1/a? La solución obtenida no puede ser la canasta óptima porque no 
pertenece al conjunto de consumo. En ese caso, el consumidor eligirá óptimamente (0, m/p2). 
Por lo tanto, las funciones de demanda son: 
M 
( 
m 1 
 
 
 
 
si m/p1 ≥ 1/a 
 
 
xM (p1, p2, m) = 
p1 ap2 
m p2 
si m/p1 ≥ 1/a 
si m/p1 < 1/a 
 
1.1.4 Otros casos 
Los casos planteados anteriormente permitian la utilización del método de Lagrange para re- 
sulver el problema del consumidor pues eran preferencias representadas por funciones de util- 
x1 (p1, p2, m) = 
p1 a 
( 
p 
p 
p p 
p 
p 
x1 ∈ 0, 
m 
1 
si p1 = TMS 
2 
2 
p 
idad monótinas, convexas y diferenciables. Cuando alguno de estos supuestos no se cumple, 
no podemos utilizar el método (o bien porque deberíamos diferenciar algo no diferenciable, o 
porque arrojará un resultado que no será un máximo o que implique consumos infinitos). Por lo 
tanto, debemos proceder de alguna manera más artesanal y conseguir la solución ayudándonos de 
un gráfico. 
 
Sustitutos Cuando los bienes son sustitutos, las curvas de indiferencia son rectas. Por lo tanto 
puede darse que la tasa a la que el agente está dispuesto a sustituir bienes sea mayor, menor o 
igual que la del mercado. Qué pasaría en cada caso? Tomemos el ejemplo en el cual la tasa a la 
cual el agente está dispuesto a sustituir de forma tal de quedar indiferente es mayor a la del 
mercado. Por ejemplo, el agente está dispuesto a ceder 2 bien 2 por al menos un bien 1, sin 
enbargo el mercado está dispuesto a cambiarle uno por uno. En este escenario, lo mejor que 
puede hacer el agente es consumir todo del bien 1 y nada del bien 2: 
 
 
De la misma manera, si pasa el caso contrario p1 
2 
mente todo bien 2. Y en el particular caso en que p1 
2 
> TMS el agente consumirá óptima- 
= TMS el agente consumirá cualquier 
combinación de bienes. 
Ejemplo sencillo: ustedes disponen 8100 para gastar en lapiceras y le es indiferente si son azules 
o negras. Cuando llegan al negocio las negras valen 82 y la azules 81. Cuánto comprarían de cada 
una? 
En este escenario entonces, las demandas quedan: 
,
,<
 
m 
hp1 
 
si p1 < TMS 
pi2 
 
,, 
0 si p1 > TMS 
,
,<
 
m si p1 > TMS 
2 2 
1 x
M = 
p 
2 
p2 p2 1 p2 
2 
b 
b 
M 
M 
xM = m — p1 xM si p1 = TMS 
,, 
0 si p1 < TMS 
 
donde si u (x1, x2) = ax1 + bx2, entonces la TMS es igual a a . 
 
 
Bienes complementarios Cuando los bienes son complementarios, las curvas de indiferencia 
tienen forma de L y la función de utilidad que las representa se encuentra dada por u (x1, x2) = 
min {ax1.bx2}. En este caso, para cualquier vector de precios positivo lo óptimo es consumir 
sobre la diagonal de las curvas de indiferencia. 
 
 
Para encontrar el resultado de la demanda de manera algebráica utilizamos entonces que en el 
óptimo ax1 = bx2, pues es el vértice de las curvas. Tambíen sabemos que p1x1 + p2x2 = m. 
Juntando ambas ecuaciones llegamos a: 
 
a 
p1x1 + p2 
b 
x1 = m 
m 
 
 
por lo tanto 
x1 = 
 
 
p1 + p2 a 
 
m 
1 = b 
bp1 + ap2 
m 
2 = a 
bp1 + ap2
x 
x