Administración clase 20

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+ 
{ ∈ 
Σ
i ≤ } 
Σ 
6p 
Administración clase 20 
 
 
1.1 Función de Utilidad Indirecta 
 
Se define la función de utilidad indirecta v : Rn+1 → R como la utilidad máxima que el con- 
sumidor obtiene para cada vector de parámetros (precios de bienes e ingreso) posible. Entonces 
como xM (p, m) representa al elección óptima de consumos para un vector de parámetros: 
 
v(p, m) = u(xM (p, m)). 
¡Atención! La función de utilidad indirecta no es invariante ante transformaciones monó- 
tonas de la función de utilidad. 
Proposition 26 Ga función de utilidad indirecta es homogénea de grado 0 en precios e ingreso. Es 
decir 6t > 0, v(tp, tm) = v(p, m) 
 
 
v(tp, tm) = u
 
xM (tp, tm)
 
= u(xM (p, m)) = v(p, m). 
 
Proof. En primer lugar veremos que las demandas de bienes no se alteran cuando los precios y 
el ingreso cambian en la misma proporción. Es decir, las demandas son homogéneas de grado cero 
en precios e ingreso: 
Ausencia de ilusión monetaria. Las funciones de demanda marshallianas son ho- 
mogéneas de grado 0 en precios e ingreso. Es decir 6t > 0, 6i 
xM (tp, tm) = xM (p, m). 
i i 
Veamos que pasa con el conjunto presupuestario: B(tp, tm) = x X : tpixi tm , = 
{x ∈ X : i pixi ≤ m}, = B(p, m). El mismo permanece inalterado ante cambios en precios e 
ingresos en la misma proporción. Por lo tanto, como el conjunto presupuestario no cambia, la 
elección del consumidor tampoco cambia. 
Entonces, podemos concluir que como las demandas no cambian, el nivel de utilidad que 
alcanza el consumidor en el óptimo tampoco cambia. 
Proposition 27 Identidad de Æoy. Ga función de utilidad indirecta tiene la siguiente 
propiedad: 
 
6v (p, m) i M 
 
6m 
Proof: El objetivo es calcular — 6v (p, m) 
= xi (p, m). 
— 
— 
 6x 6x 
 6x 6x 
1 
2 
1 2 
 6x 6x 
1 2 
 
6v 6pi 
(p, m) y 
6v 
(p, m) 
6m 
Partimos de las condiciones de primer orden del problema de maximización: 
 
6u 
(xM (p, m)) ZM (p, m)p = 0 
6x1 1 
6u 
(xM (p, m)) ZM (p, m)p = 0 
6x2 2 
m — p1xM (p, m) — p2xM (p, m) = 0 
Usando la regla de la cadena calculamos 
6v 6p1 
(p, m) = 
6u 
6x1 
(xM 
 
 
M 
(p, m)) 1 
6p1 
 
 
(p, m) + 
 
6u 
6x2 
 
 
(xM 
 
 
M 
(p, m)) 2 
6p1 
 
 
(p, m) 
= ZM 
M 
(p, m)p1 1 
6p1 
(p, m) + ZM 
M 
(p, m)p2 2 
6p1 
(p, m) 
 
= ZM 
 
(p, m) 
 
p1
 
6xM 
6p1 
 
(p, m) + p2 
6xM 
6p1 
 
(p, m)
 
 
Considere ahora la restricción de presupuesto y diferencie con respecto a p1: 
 
6xM M 6x
M 
p1 
 1 
6p1 
(p, m) + x1 (p, m) + p2 2 
6p1 
M 
(p, m) = 0 
 
 6xM 
 
 
 6xM 
—x1 (p, m) = p1 6p
 
Reemplazando en la derivada de v y obtenemos 
(p, m) + p2 
6p
 (p, m) 
6v 
(p, m) = —ZM (p, m)xM (p, m) 
6p1 1 
. 
De la misma manera, calculamos 
 
6v 
(p, m) = 
6m 
 
6u 
6x1 
 
 
(xM 
 
 
M 
(p, m)) 1 
6m 
 
 
(p, m) + 
 
6u 
6x2 
 
 
(xM 
 
 
M 
(p, m)) 2 
6m 
 
 
(p, m) 
1 1 
 6x 6x 
1 
2 
= ZM 
M 
(p, m)p1 1 6m 
(p, m) + ZM M 
(p, m)p2 2 6m 
(p, m) 
 
= ZM 
 
(p, m) 
 
p1
 
6xM 
6m 
 
(p, m) + p2 
6xM 
6m 
 
(p, m)
 
 
De la restricción de presupuesto: 
p 1 
6x 
 
 6xM 
6m 
M 
(p, m) + p2 2 
6m 
(p, m) = 1. 1 
1 
2 
Reemplazamos en la derivada de v y obtenemos 
 
6v 
(p, m) = ZM (p, m). 6m 
Combinando esos dos resultados obtenemos la identidad de Roy. 
La identidad de Roy dice que la tasa marginal de sustitución entre el precio de un bien y el 
ingreso es igual a la cantidad que el individuo consume de ese bien. Es decir, la cantidad de 
ingreso que el individuo está dispuesto a resignar para que el precio del bien i baje en 1 peso es 
igual a la cantidad consumida del bien i. 
 
 
1.2 Estática comparada 
En la sección anterior derivamos las demandas de los consumidores. Las mismas manifiestan 
las cantidades óptimas de demanda de cada bien de forma tal de maximizar la utilidad para un 
par de precios e ingreso del agente. 
xM (p1, p2, m) 
xM (p1, p2, m) 
 
En esta sección buscamos analizar como cambia la demanda cuando los precios o el ingreso 
varían. A este tipo de ejercicio lo llamaremos estática comparada. 
El ejercicio de estática comparada consiste en analizar cómo responden las variables endó- genas 
a cambios en las variables exógenas o parámetros. Para poder identificar causa y efecto de 
manera aislada, se analiza cambios en los parámetros de a uno por vez. Este es un ejercicio que 
vamos a realizar bastante seguido. El primer paso es identificar cuáles son las variables 
endógenas y cuáles los parámetros. Para el caso particular de la teoría de la demanda que se 
está analizando ahora: 
● Variables endógenas: Canasta de consumo, (x1, x2, ..., xn) y utilidad indirecta, v. 
● Variables exógenas: Precios, (p1, p2, ..., pn) e ingreso, m.