Administración clase 21

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Administración clase 21 
 
Cambios en el ingreso: bienes normales e inferiores 
 
En primer lugar, asuma que aumenta el ingreso del individuo mientras que los precios de todos 
los bienes se mantienen constantes. El nuevo ingreso del individuo es mJ = m +A, A > 0. Este 
cambio en el ingreso modifica el conjunto presupuestario del individuo como ya hemos visto: se 
traslada de manera paralela. hacia afuera. 
Por lo tanto, si x es la canasta que se demandaba previo al aumento del ingreso, debe suceder 
que x ∈ B(p, mJ), es decir, x también pertenece al nuevo conjunto presupuestario. Esto significa 
que el conjutno de opciones del individuo es ahora más grande. Tiene todas las 
opciones que tenía antes y algunas más. Concluimos que: 
 
Proposition 28 Ga utilidad del individuo no disminuye cuando aumenta el ingreso: 
 
6v 
(p, m) ≥ 0. 
6m 
Si las preferencias son monótonas, 
 
6v 
(p, m) > 0. 
6m 
Proof: Sea x∗ = xM (p, m) la canasta óptima con el ingreso original. Sabemos que x∗ ∈ 
B(p, mJ). Por lo tanto, en el peor de los casos el consumidor elige la misma canasta que antes 
con el nuevo ingreso. Es decir 
 
v(p, mJ) ≥ u(x∗) = v(p, m). 
Si las preferencias son monótonas, entonces sabemos que x∗ no pertenece a la nueva recta 
presupuestaria. Por lo tanto, x∗ no es una canasta óptima. Esto significa que 
 
v(p, mJ) > u(x∗) = v(p, m) 
y la utilidad es estrictamente mayor. 
Es decir, el individuo siempre se beneficia cuando su ingreso aumenta. ¿Qué pasa con la 
canasta de consumo del individuo? 
 
Proposition 29 Si las preferencias son monótonas el consumo de al menos un bien aumenta. 
 
Proof. Sabemos que cuando las preferencias son monótonas el individuo se ubica sobre la 
restricción de presupuesto: 
p1xM (p, m) + p2xM (p, m) = m 
1 2 
p 1 
6x 
i (p, m) ≥ 0 
. 
Como esto se cumple cualquiera sea m, es posible diferenciar con respecto a m y obteniendo: 
 
 6xM 
6m 
M 
(p, m) + p2 2 
6m 
(p, m) = 1 > 0 
Por lo tanto el lado izquierdo tiene que ser positivo, lo que implica que alguna de las dos 
derivadas parciales tiene que ser positiva. 
Lo que no es posible asegurar es que el consumo de todos los bienes aumente. Sin embargo, 
como este es el caso más corriente, se hace la siguiente clasificación de bienes: 
● Si el consumo de un bien aumenta con el ingreso, i.e., 
 
 
 6x
M 
6m 
decimos que el bien i es un bien normal. 
 
● Si el consumo de un bien disminuye con el ingreso, i.e., 
 
 
M 
i (p, m) < 0 
6m 
decimos que el bien i es un bien inferior. 
 
Corollary 30 Si las preferencias son monótonas, nunca puede pasar que todos los bienes sean 
inferiores. 
 
La clasificación de bienes en inferiores o normales es depende tanto de las preferencias del 
agente como del resto de los parámetros: precios e ingreso. Un bien puede ser inferior para un 
agente con determinadas preferencias pero no para otro. Puede pasar asímismo que un bien 
sea normal para cierto niveles de ingreso e inferior para otros. Piensen por ejemplo en algún 
producto de tercera marca. Las familias con bajos ingresos optan por consumirlos y a medida 
que aumentan su ingreso también lo hace su nivel de consumo. Sin embargo, para ciertos 
niveles de ingreso es esperable que disminuya el consumo de dicho bien, es decir, se vuelva 
inferior, y pase a ser reemplazado por uno de mejor calidad. 
1 
 6x 
 
 
 
 
Remark 31 Si existe alguna circunstancia en la que el individuo consume el bien i, entonces el 
bien i es normal para alguna combinación de parámetros. Si no fuera así, el bien i nunca se 
consumiría. 
Se define sendero de expansión del ingreso a la curva que une las canastas óptimas 
≤ 
a medida que cambia el ingreso. Si los dos bienes son normales, el sendero de expansión del 
ingreso es creciente. 
Se puede graficar la demanda del bien i como función del ingreso, m. A la curva así obtenida la 
llamamos curva de Engel, que es creciente cuando el bien es normal y decreciente cuando el 
bien es inferior. 
 
 
1.1.1 Cambios en el precio: bienes ordinarios y Giffen 
Supondremos aquí que aumenta el precio del bien i mientras que los precios de todos los demás 
bienes y el ingreso se mantienen constantes. A modo de ejemplo, supongamos que aumenta el 
precio del bien 1. El nuevo precio es pJ1 = p1 + A, A > 0. Este cambio en el precio modifica el 
conjunto presupuestario del individuo. En particular, como ya vimos sucede que 
 
B(pJ1, p—1, m) C B(p, m). 
Esto significa que el conjunto de opciones del individuo es ahora más chico. Concluimos que: 
Proposition 32 Ga utilidad del individuo no aumenta cuando aumenta el precio del bien i: 
 
6v 
(p, m) 0. 
6p 
Proof: Sea x∗ = xM (pJ1, p—1, m) la canasta óptima con el precio nuevo. Sabemos que 
x∗ ∈ B(p, m). Por lo tanto, con el precio viejo, el individuo podía elegir la x∗. Es decir 
 
v(p, m) ≥ u(x∗) = v(pJ1, p—1, m) 
y la utilidad del individuo no aumenta. 
 
Aún con preferencias monótonas, a diferencia de lo que sucede cuando cambia el ingreso, no es 
posible asegurar que la utilidad del individuo disminuya estrictamente cuando aumenta un 
i 
p 1 
6x 
1 
≤ 
6x 
precio. En particular, si aumenta el precio de un bien que el individuo no consume, la utilidad 
del individuo permanece constante. 
¿Qué pasa con la canasta de consumo? Sabemos que cuando las preferencias son monótonas el 
individuo se ubica sobre la restricción de presupuesto: 
 
p1xM (p, m) + p2xM (p, m) = m. 
1 2 
Como esto es verdad cualquiera sea p1, se puede diferenciar con respecto a p1 y se obtiene 
 
M 6xM 6xM 
x1 (p, m) + p1 1 
6p1 
o 
(p, m) + p2 2 
6p1 
(p, m) = 0 
 
 6xM 
6p1 
M 
(p, m) + p2 2 
6p1 
(p, m) = —xM (p, m) < 0. 
Por lo tanto el lado izquierdo tiene que ser negativo, lo que implica que alguna de las dos 
derivadas parciales tiene que ser negativa. Lo que no podemos asegurar es que el consumo del 
bien 1 disminuya. Sin embargo, como este es el caso más corriente, se hace la siguiente 
clasificación de bienes: 
● Si el consumo del bien i disminuye con el precio del bien i, i.e., 
 
 
M 
 i (p, m) 0 
6pi 
decimos que el bien i es un bien ordinario. 
1 
 
 
 
● Si el consumo del bien i aumenta con el precio del bien i, i.e., 
 
M 
i (p, m) > 0 
6pi 
decimos que el bien i es un bien Giffen. 
 
 6x 
Más adelante veremos cuál es el motivo por el cual esto puede llegar a suceder. Sin embargo, 
podemos empezar a entender cuál es la causa. Imagine que está llegando el período vacacional y 
el gobierno de su país decide aumentar las tarifas en un alto porcentaje, es decir, el precio del 
servicio de la luz aumenta. Su reacción podrá perfectamente ser: "No se como vamos a hacer 
para pagar la factura todos los meses de este año, suspendamos las vacaciones y quedemonos en 
casa". Si este es el caso, el resultado de su acción será la disminución del consumo de 
"vacaciones" y posiblemente un aumento en el consumo de servicios eléctricos, pues se queda en 
casa más tiempo. En conclusión usted se encuentra aumentando la demanda del bien cuyo 
precio aumentó y podremos concluir que este parece ser un bien Giffen para dichos precios e 
ingreso. 
A su vez, 
 
● Si el consumo del bien i aumenta con el precio del bien j, i.e., 
 
 
M 
i (p, m) > 0 
6pj 
decimos que el bien i es un sustituto del bien j. 
En particular, esta definición corresponde a la definición de sustitutos brutos, pues in- corpora 
el efecto riqueza. Esta definición no tiene por qué ser simétrica, es decir, si el aumento del precio 
en el bien 1 provoca un aumento en el consumo del bien 2, la vuelta no tiene por qué ser cierta. 
Definiremos sustitutos netos más adelante. Como anticipo, diremos que sustitutos netos serán 
los bienes cuya subida en el precio provoque un aumento en la demanda del otro, 
permaneciendo la utilidad constante, es decir, eliminando el efecto ingreso. Esto eliminará 
asimetrías. 
● Si el consumo del bien i disminuye con el precio del bien j, i.e., 
 
 
Mi (p, m) < 0 
6pj 
decimos que el bien i es un complemento del bien j. 
 
● Si el consumo del bien i no cambia con el precio del bien j, i.e., 
 
 
M 
i (p, m) = 0 
6pj 
decimos que el bien i es independiente del bien j. 
 
Corollary 33 Si todos los bienes son sustitutos del bien i, entonces el bien i es ordinario. 
 6x 
 6x 
 6x 
Se define sendero de expansión del precio del bien i a la curva que une las canastas óptimas a 
medida que cambia el precio del bien i. La pendiente del sendero de expansión del precio del 
bien i depende de que el bien i sea ordinario o Giffen y de que el bien j sea un sustituto o un 
complemento. 
Se puede graficar la demanda del bien i como función de su precio, pi. La curva así obtenida es la 
curva de demanda, que es decreciente cuando el bien es inferior y creciente cuando el bien es 
Giffen. 
 
 
Remark 34 Ga clasificación de los bienes está atada a las preferencias del individuo. No podemos 
decir simplemente que un bien es inferior, sino que es inferior para un determinado individuo. 
 
 
 
Ejemplo: Cobb-Douglas Recordemos las demandas encontradas para este caso: 
xM (p , p , m) = 
m
 
1 1 2 p1
 
xM (p , p , m) = (1 — ) 
m
 
2 1 2 p2
 
La función de utilidad indirecta es: 
1 
2 
1 
2 
v
 
xM (p1, p2, m), xM (p1, p2, m)
 
 
1 2 
 
p 
(1 — ) 
p
 
— 
= 
— 
 
 
 
1 2 
=
 
xM
 
xM
 1— 
m
 
 
m
 1— 
 
 (1 )1— 
= 
p p1— 
m 
1 2 
Cambios en el ingreso: 
 
 6xM (p1, p2, m) 
6m p1 
6xM (p1, p2, m) 
= 
6m 
Por lo tanto ambos bienes son normales. 
(1 — ) 
> 0
 
p2 
 
6v (1 )1— 
6m 
= 
p p1— 
> 0
 
1 2 
y la utilidad aumenta con mayores ingresos. 
El sendero de expansión del ingreso lo obtengo despejando m de ambas demandas e igua- 
lando, es decir: 
 
 xM (p1, p2, m)p1 
 
 xM (p1, p2, m)p2 
1 — 
Juntando, 
 
xM (p1, p2, m)p1 xM (p1, p2, m)p2 
 1 = 2 
 
despejando para x2, 
1 — 
xM (p , p , m) = 
1 — p1 
xM (p , p , m) 
2 1 2 p2 
1 1 2 
Por lo que es una recta creciente con pendiente 1— p1 . 
p2 
La curva de Engel la conseguimos despejando m de las funciones de demanda: 
= 
> 0 
= m 
= m 
1 2 
1 
2 
 
1 
1 
2 
 
 xM (p1, p2, m)p1 
 
 xM (p1, p2, m)p2 
1 — 
y nuevamente son rectas con pendiente p1 y p2 . 
1— 
Qué sucede cuando cambian los precios? Con respecto a las demandas, 
 
 6xM (p1, p2, m) 
6p1 
6xM (p1, p2, m) 
= — 
m 
< 0 
(p1)2 
m 
 2 
6p2 
Por lo que los bienes son ordinarios. 
= — (1 — ) < 0 
(p2)2 
 
 
 
 
 
 
e independientes. 
 6xM (p1, p2, m) 
6p2 
 6xM (p1, p2, m) 
6p1 
 
La utilidad del agente, 
 
6v 6p 
 
 
 
= — 
 
 
 (1 — )1— 
p —1p1— 
 
 
 
m < 0 
1 1 
6v 
6p 
= — (1 — ) 
2 
 (1 — )1— 
p p— 
 
m < 0 
m = 
m = 
= 0 
= 0 
2 1 2 
cae cuanndo aumenta el precio de alguno de los bienes. 
 
Para graficar la curva de demanda simplemente despejamos los precios para obtener la 
función de demanda inversa, 
 
pM (x ) = 
 
m 
1 1 x1
 
pM (x ) = 
(1 — ) 
m 
2 2 x2
 
Note que el sendero de expansión del precio de p1 será una línea horizontal para cada nivel de 
xM pues es independiente de p1; y será vertical el de p2 pues xM es independiente de p2. 
2 1