Álgebra Conjunto Potencia - 2da Parte ]

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CONJUNTO POTENCIA
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
4 de marzo de 2017
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Definición
El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es
el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es :
P (A) = {X/X ⊂ A}
Ejemplos :
Si A = ∅, entonces P (A) = P (∅) = {∅}.
Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) = {∅, {∅}}.
Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Definición
El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es
el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es :
P (A) = {X/X ⊂ A}
Ejemplos :
Si A = ∅, entonces P (A) =
P (∅) = {∅}.
Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) = {∅, {∅}}.
Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Definición
El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es
el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es :
P (A) = {X/X ⊂ A}
Ejemplos :
Si A = ∅, entonces P (A) = P (∅) = {∅}.
Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) =
{∅, {∅}}.
Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Definición
El conjunto potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es
el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, esto es :
P (A) = {X/X ⊂ A}
Ejemplos :
Si A = ∅, entonces P (A) = P (∅) = {∅}.
Si A = {∅}, se tiene que P ({∅}) = {∅, {∅}}.
Si A = {1, 2}, entonces : P ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Propiedades :
Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se
cumple :
P (A) 6= ∅
∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A)
X ∈ P (A)↔ X ⊂ A
P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)
P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B)
A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B)
Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
potencia de A?
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Propiedades :
Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se
cumple :
P (A) 6= ∅
∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A)
X ∈ P (A)↔ X ⊂ A
P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)
P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B)
A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B)
Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
potencia de A?
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Propiedades :
Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se
cumple :
P (A) 6= ∅
∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A)
X ∈ P (A)↔ X ⊂ A
P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)
P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B)
A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B)
Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
potencia de A?
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Propiedades :
Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se
cumple :
P (A) 6= ∅
∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A)
X ∈ P (A)↔ X ⊂ A
P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)
P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B)
A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B)
Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
potencia de A?
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Propiedades :
Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se
cumple :
P (A) 6= ∅
∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A)
X ∈ P (A)↔ X ⊂ A
P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)
P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B)
A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B)
Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
potencia de A?
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjunto Potencia
Propiedades :
Dados los subconjuntos A y B respecto a un universo U, se
cumple :
P (A) 6= ∅
∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A)
X ∈ P (A)↔ X ⊂ A
P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)
P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B)
A ⊂ B ↔ P (A) ⊂ P (B)
Si A es un conjunto finito. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
potencia de A?
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto finito
El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que
tiene, se denota por n(A)
Propiedades :
n(∅) = 0,
n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A)
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C)
−n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto finito
El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que
tiene, se denota por n(A)
Propiedades :
n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1,
n(P (A)) = 2n(A)
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C)
−n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto finito
El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que
tiene, se denota por n(A)
Propiedades :
n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A)
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C)
−n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto finito
El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que
tiene, se denota por n(A)
Propiedades :
n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A)
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C)
−n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto finito
El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que
tiene, se denota por n(A)
Propiedades :
n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A)
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C)
−n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto finito
El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que
tiene, se denota por n(A)
Propiedades :
n(∅) = 0, n(P (∅)) = 1, n(P (A)) = 2n(A)
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C)
−n(A ∩B) + n(A ∩B ∩ C)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjuntos Numéricos
Los Números Naturales:
N = {1, 2, 3, . . .}
Los Números Enteros:
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Los Números Racionales:
Q =
{a
b
/
a ∈ Z, b ∈ N
}
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjuntos Numéricos
Los Números Irracionales:
I = {x/x tiene representación decimal no periódica }
Los Números Reales:
R = Q ∪ I
Los Números Complejos:
C =
{
z = x+ yi
/
x ∈ R, y ∈ R, i2 = −1
}
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Conjuntos Numéricos
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto infinito
Si existe una correspondencia biuńıvoca entre los conjuntos A y
B (finitos o no), se dice que estos conjuntos son equipotentes o
que tienen la misma cardinalidad, y se denota por
n(A) = n(B)
Ejemplos:
1 Si A = {1, 2, 3, · · · } y B = {2, 4, 6, · · · },
entonces n(A) = n(B).
2 n(N) = n(Z)
3 No existe ningún conjunto A tal que:
n(N) < n(A) < n(R)
resultado conocido como, la hipótesis del continuo
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto infinito
Si existe una correspondencia biuńıvoca entre los conjuntos A y
B (finitos o no), se dice que estos conjuntos son equipotentes o
que tienen la misma cardinalidad, y se denota por
n(A) = n(B)
Ejemplos:
1 Si A = {1, 2, 3, · · · } y B = {2, 4, 6, · · · }, entonces n(A) = n(B).
2 n(N) = n(Z)
3 No existe ningún conjunto A tal que:
n(N) < n(A) < n(R)
resultado conocido como, la hipótesis del continuo
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cardinal de un conjunto infinito
Si existe una correspondencia biuńıvoca entre los conjuntos A y
B (finitos o no), se dice que estos conjuntos son equipotentes o
que tienen la misma cardinalidad, y se denota por
n(A) = n(B)
Ejemplos:
1 Si A = {1, 2, 3, · · · } y B = {2, 4, 6, · · · }, entonces n(A) = n(B).
2 n(N) = n(Z)
3 No existe ningún conjunto A tal que:
n(N) < n(A) < n(R)
resultado conocido como, la hipótesis del continuo
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Definición
Una función proposicional sobre un conjunto A,es cualquier
enunciado p que depende de una variable x ∈ A, se denota
por p(x), de tal forma que :
Si x se reemplaza por cualquier elemento a ∈ A, entonces p(a)
es una proposición lógica.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Ejemplos :
El enunciado
p(x) : x < 5
es una función proposicional sobre A = R, pues :
Si x se reemplaza por a cuando a < 5, entonces la proposición
lógica p(a) es verdadera
Si x se reemplaza por a cuando a ≥ 5, entonces la proposición
lógica p(a) es falsa
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Definición
El cuantificador universal se define como la expresión:
“Para todo” y se denota por ∀
El cuantificador existencial, se define como la expresión:
“Existe” y se denota por ∃
Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición:
∀x ∈ A, p(x)
será verdadera si p(a) es verdad para cada elemento a de A.
∃x ∈ A / p(x)
será verdadera si p(a) es verdadera para algún elemento a de A.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Definición
El cuantificador universal se define como la expresión:
“Para todo” y se denota por ∀
El cuantificador existencial, se define como la expresión:
“Existe” y se denota por ∃
Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición:
∀x ∈ A, p(x)
será verdadera si
p(a) es verdad para cada elemento a de A.
∃x ∈ A / p(x)
será verdadera si p(a) es verdadera para algún elemento a de A.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Definición
El cuantificador universal se define como la expresión:
“Para todo” y se denota por ∀
El cuantificador existencial, se define como la expresión:
“Existe” y se denota por ∃
Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición:
∀x ∈ A, p(x)
será verdadera si p(a) es verdad para cada elemento a de A.
∃x ∈ A / p(x)
será verdadera si
p(a) es verdadera para algún elemento a de A.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Definición
El cuantificador universal se define como la expresión:
“Para todo” y se denota por ∀
El cuantificador existencial, se define como la expresión:
“Existe” y se denota por ∃
Si p(x) es una función proposicional en A, la proposición:
∀x ∈ A, p(x)
será verdadera si p(a) es verdad para cada elemento a de A.
∃x ∈ A / p(x)
será verdadera si p(a) es verdadera para algún elemento a de A.
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Negación de cuantificadores
∼ ( ∀x ∈ A , p(x) ) ≡ ∃x ∈ A / ∼ p(x)
∼ ( ∃x ∈ A / p(x) ) ≡ ∀x ∈ A , ∼ p(x)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Negación de cuantificadores
∼ ( ∀x ∈ A , p(x) ) ≡ ∃x ∈ A / ∼ p(x)
∼ ( ∃x ∈ A / p(x) ) ≡ ∀x ∈ A , ∼ p(x)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Ejemplo :
La negación de
∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ → |f(x)− L| < ε︸ ︷︷ ︸
p(x)
es la proposición equivalente:
∃ε > 0 / ∀δ > 0 , ∃x ∈ D : 0 < |x− a| < δ ∧ |f(x)− L| ≥ ε︸ ︷︷ ︸
∼p(x)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Cuantificadores
Ejemplo :
La negación de
∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ → |f(x)− L| < ε︸ ︷︷ ︸
p(x)
es la proposición equivalente:
∃ε > 0 / ∀δ > 0 , ∃x ∈ D : 0 < |x− a| < δ ∧ |f(x)− L| ≥ ε︸ ︷︷ ︸
∼p(x)
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Ejercicios
Problema 41: Dados los conjuntos A,B,C ⊂ U . Indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si A ∈ P (B) y B ∈ P (C) , entonces A ∩ Cc = ∅
II. ((A ∪B)\(A∆B)) ∈ P (B).
III. P (A) ∪A = P (A)
Rpta:
VVF
Problema 42: Dados los conjuntos A,B ⊂ U . Indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si A\B = ∅, entonces (B\A) ∈ P (A ∩B)
II. P (A ∪ {∅}) ⊂ P (A), entonces {∅} ∈ P (A).
III. Si A = {{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}, entonces P (P (∅)) ⊂ P (A)
Rpta: FVF
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Ejercicios
Problema 41: Dados los conjuntos A,B,C ⊂ U . Indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si A ∈ P (B) y B ∈ P (C) , entonces A ∩ Cc = ∅
II. ((A ∪B)\(A∆B)) ∈ P (B).
III. P (A) ∪A = P (A)
Rpta:VVF
Problema 42: Dados los conjuntos A,B ⊂ U . Indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si A\B = ∅, entonces (B\A) ∈ P (A ∩B)
II. P (A ∪ {∅}) ⊂ P (A), entonces {∅} ∈ P (A).
III. Si A = {{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}, entonces P (P (∅)) ⊂ P (A)
Rpta:
FVF
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Ejercicios
Problema 41: Dados los conjuntos A,B,C ⊂ U . Indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si A ∈ P (B) y B ∈ P (C) , entonces A ∩ Cc = ∅
II. ((A ∪B)\(A∆B)) ∈ P (B).
III. P (A) ∪A = P (A)
Rpta:VVF
Problema 42: Dados los conjuntos A,B ⊂ U . Indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si A\B = ∅, entonces (B\A) ∈ P (A ∩B)
II. P (A ∪ {∅}) ⊂ P (A), entonces {∅} ∈ P (A).
III. Si A = {{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}, entonces P (P (∅)) ⊂ P (A)
Rpta: FVF
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Ejercicios
Problema 45: Sobre el universo U . Indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. ∀A,B 6= ∅; ∃B 6= A/ P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B).
II. ∃A /∀B : P (A) ∩ P (B) = {∅}.
III. ∀A,B : (A∆B)∆(A ∩B) ∈ P (A ∪B)
Rpta:
VVV
Problema 47: Si A = {−1, 0, 1, 2}, indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. ∀x, y ∈ A : x+ y < 0→ x+ y > 0.
II. ∃x ∈ A/ ∀y ∈ A : x ≤ y → xy < 0
III. ∼ (∃x ∈ A / ∀y ∈ A : x+ y 6= 1).
Rpta:FFV
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CONJUNTO POTENCIA
N
Conjunto Potencia
Ejercicios
Problema 45: Sobre el universo U . Indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. ∀A,B 6= ∅; ∃B 6= A/ P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B).
II. ∃A /∀B : P (A) ∩ P (B) = {∅}.
III. ∀A,B : (A∆B)∆(A ∩B) ∈ P (A ∪B)
Rpta:VVV
Problema 47: Si A = {−1, 0, 1, 2}, indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. ∀x, y ∈ A : x+ y < 0→ x+ y > 0.
II. ∃x ∈ A/ ∀y ∈ A : x ≤ y → xy < 0
III. ∼ (∃x ∈ A / ∀y ∈ A : x+ y 6= 1).
Rpta:
FFV
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N
Conjunto Potencia
Ejercicios
Problema 45: Sobre el universo U . Indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. ∀A,B 6= ∅; ∃B 6= A/ P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B).
II. ∃A /∀B : P (A) ∩ P (B) = {∅}.
III. ∀A,B : (A∆B)∆(A ∩B) ∈ P (A ∪B)
Rpta:VVV
Problema 47: Si A = {−1, 0, 1, 2}, indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. ∀x, y ∈ A : x+ y < 0→ x+ y > 0.
II. ∃x ∈ A/ ∀y ∈ A : x ≤ y → xy < 0
III. ∼ (∃x ∈ A / ∀y ∈ A : x+ y 6= 1).
Rpta:FFV
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