Álgebra Función Inversa

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FUNCIÓN INVERSA
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
16 de abril de 2017
1 / 22
FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
2 / 22
FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
2 / 22
FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
2 / 22
FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
2 / 22
FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Función inversa
Definición
Se dice que la función g : Y → X es la inversa de la función
f : X → Y si se cumple que
g ◦ f = IX y f ◦ g = IY .
lo que significa que
g(f(x)) = x ∀x ∈ X
y
f(g(x)) = x ∀x ∈ Y.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Función inversa
Definición
Se dice que la función g : Y → X es la inversa de la función
f : X → Y si se cumple que
g ◦ f = IX y f ◦ g = IY .
lo que significa que
g(f(x)) = x ∀x ∈ X
y
f(g(x)) = x ∀x ∈ Y.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Función inversa
Si la función g : Y → X es la inversa de la función f : X → Y ,se
cumple que:
La función f es inyectiva:
f(x1) = f(x2) =⇒ g(f(x1)) = g(f(x2)) =⇒ x1 = x2
La función f es suryectiva:
Como f(g(y)) = y ∀y ∈ Y , dado que y ∈ Y es arbitrario,
tomando x = g(y) ∈ X se tiene que f(x) = y.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Función inversa
Si la función g : Y → X es la inversa de la función f : X → Y ,se
cumple que:
La función f es inyectiva:
f(x1) = f(x2) =⇒ g(f(x1)) = g(f(x2)) =⇒ x1 = x2
La función f es suryectiva:
Como f(g(y)) = y ∀y ∈ Y , dado que y ∈ Y es arbitrario,
tomando x = g(y) ∈ X se tiene que f(x) = y.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Ejemplo de función inversa
Ejemplo
Considerando la función
f = {(2, 3), (4, 5), (−1, 2), (0, 4)},
podemos afirmar que:
f∗ = {(3, 2), (5, 4), (2,−1), (4, 0)}
f∗(2) = −1
fof∗(5) = f(f∗(5)) = f(4) = 5
f∗of(0) = f∗(f(0)) = f∗(4) = 0
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Ejemplo de función inversa
Ejemplo
Considerando la función
f = {(2, 3), (4, 5), (−1, 2), (0, 4)},
podemos afirmar que:
f∗ = {(3, 2), (5, 4), (2,−1), (4, 0)}
f∗(2) = −1
fof∗(5) = f(f∗(5)) = f(4) = 5
f∗of(0) = f∗(f(0)) = f∗(4) = 0
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Ejemplo de función inversa
Ejemplo
Considerando la función
f = {(2, 3), (4, 5), (−1, 2), (0, 4)},
podemos afirmar que:
f∗ = {(3, 2), (5, 4), (2,−1), (4, 0)}
f∗(2) = −1
fof∗(5) = f(f∗(5)) = f(4) = 5
f∗of(0) = f∗(f(0)) = f∗(4) = 0
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Ejemplo de función inversa
Ejemplo
Considerando la función
f = {(2, 3), (4, 5), (−1, 2), (0, 4)},
podemos afirmar que:
f∗ = {(3, 2), (5, 4), (2,−1), (4, 0)}
f∗(2) = −1
fof∗(5) = f(f∗(5)) = f(4) = 5
f∗of(0) = f∗(f(0)) = f∗(4) = 0
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N
Función Inversa
Ejemplo de función inversa
Ejemplo
Considerando la función
f = {(2, 3), (4, 5), (−1, 2), (0, 4)},
podemos afirmar que:
f∗ = {(3, 2), (5, 4), (2,−1), (4, 0)}
f∗(2) = −1
fof∗(5) = f(f∗(5)) = f(4) = 5
f∗of(0) = f∗(f(0)) = f∗(4) = 0
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades básicas
Propiedades
Dada la función f biyectiva, entonces se cumple:
a) Dom(f∗) = Ran(f).
b) Ran(f∗) = Dom(f).
c) fof∗(x) = x ∀x ∈ Dom(f∗).
d) f∗of(x) = x ∀x ∈ Dom(f).
e) y = f(x) si y solo si x = f∗(y)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades básicas
Propiedades
Dada la función f biyectiva, entonces se cumple:
a) Dom(f∗) = Ran(f).
b) Ran(f∗) = Dom(f).
c) fof∗(x) = x ∀x ∈ Dom(f∗).
d) f∗of(x) = x ∀x ∈ Dom(f).
e) y = f(x) si y solo si x = f∗(y)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades básicas
Propiedades
Dada la función f biyectiva, entonces se cumple:
a) Dom(f∗) = Ran(f).
b) Ran(f∗) = Dom(f).
c) fof∗(x) = x ∀x ∈ Dom(f∗).
d) f∗of(x) = x ∀x ∈ Dom(f).
e) y = f(x) si y solo si x = f∗(y)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades básicas
Propiedades
Dada la función f biyectiva, entonces se cumple:
a) Dom(f∗) = Ran(f).
b) Ran(f∗) = Dom(f).
c) fof∗(x) = x ∀x ∈ Dom(f∗).
d) f∗of(x) = x ∀x ∈ Dom(f).
e) y = f(x) si y solo si x = f∗(y)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades básicas
Propiedades
Dada la función f biyectiva, entonces se cumple:
a) Dom(f∗) = Ran(f).
b) Ran(f∗) = Dom(f).
c) fof∗(x) = x ∀x ∈ Dom(f∗).
d) f∗of(x) = x ∀x ∈ Dom(f).
e) y = f(x) si y solo si x = f∗(y)
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N
Función Inversa
Propiedades básicas
Propiedades
Dada la función f biyectiva, entonces se cumple:
a) Dom(f∗) = Ran(f).
b) Ran(f∗) = Dom(f).
c) fof∗(x) = x ∀x ∈ Dom(f∗).
d) f∗of(x) = x ∀x ∈ Dom(f).
e) y = f(x) si y solo si x = f∗(y)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades básicas
Ejercicio
Sea f una función af́ın tal que f(1) = 4 y f∗(1) = 0.
Halle el valor de f∗(7).
Respuesta: 2
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades básicas
Ejercicio
Sea f una función af́ın tal que f(1) = 4 y f∗(1) = 0.
Halle el valor de f∗(7).
Respuesta: 2
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Recordar
Si y = f(x) entonces x = f∗(y), además Dom(f∗) = Ran(f)
Analizar si la función f es biyectiva.
Despejar x en función de y, es decir, x = f∗(y).
Calcular el Ran(f), pues Dom(f∗) = Ran(f).
Intercambiar x por y
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Recordar
Si y = f(x) entonces x = f∗(y), además Dom(f∗) = Ran(f)
Analizar si la función f es biyectiva.
Despejar x en función de y, es decir, x = f∗(y).
Calcular el Ran(f), pues Dom(f∗) = Ran(f).
Intercambiar x por y
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Recordar
Si y = f(x) entonces x = f∗(y), además Dom(f∗) = Ran(f)
Analizar si la función f es biyectiva.
Despejar x en función de y, es decir, x = f∗(y).
Calcular el Ran(f), pues Dom(f∗) = Ran(f).
Intercambiar x por y
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Recordar
Si y = f(x) entonces x = f∗(y), además Dom(f∗) = Ran(f)
Analizar si la función f es biyectiva.
Despejar x en función de y, es decir, x = f∗(y).
Calcular el Ran(f), pues Dom(f∗) = Ran(f).
Intercambiar x por y
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Recordar
Si y = f(x) entonces x = f∗(y), además Dom(f∗) = Ran(f)
Analizar si la función f es biyectiva.
Despejar x en función de y, es decir, x = f∗(y).
Calcular el Ran(f), pues Dom(f∗) = Ran(f).
Intercambiar x por y
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Ejemplo
Dada la función f(x) = x3 − 1, con x ∈ [−1; 2 >, determine la
inversa de esta función (incluyendo su dominio).
Respuesta: f∗(x) = 3
√
x+ 1 x ∈ [−2; 7 >
Problema 224
Sea la función
F = {(x; y) ∈ R× R/y = x− 3
√
x( 3
√
x− 1)}
Señale F ∗(x).
Respuesta: x+ 3 3
√
x− 1( 3
√
x− 1 + 1)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Ejemplo
Dada la función f(x) = x3 − 1, con x ∈ [−1; 2 >, determine lainversa de esta función (incluyendo su dominio).
Respuesta: f∗(x) = 3
√
x+ 1 x ∈ [−2; 7 >
Problema 224
Sea la función
F = {(x; y) ∈ R× R/y = x− 3
√
x( 3
√
x− 1)}
Señale F ∗(x).
Respuesta: x+ 3 3
√
x− 1( 3
√
x− 1 + 1)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Ejemplo
Dada la función f(x) = x3 − 1, con x ∈ [−1; 2 >, determine la
inversa de esta función (incluyendo su dominio).
Respuesta: f∗(x) = 3
√
x+ 1 x ∈ [−2; 7 >
Problema 224
Sea la función
F = {(x; y) ∈ R× R/y = x− 3
√
x( 3
√
x− 1)}
Señale F ∗(x).
Respuesta: x+ 3 3
√
x− 1( 3
√
x− 1 + 1)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Problema 230
Para la función f : R → R determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Si f es biyectiva entonces f∗ es creciente.
II. Si f∗ es impar entonces f es impar.
III. Si existe f∗ y es acotada entonces f es acotada.
Respuesta: FVF
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Cálculo de la función inversa
Problema 230
Para la función f : R → R determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Si f es biyectiva entonces f∗ es creciente.
II. Si f∗ es impar entonces f es impar.
III. Si existe f∗ y es acotada entonces f es acotada.
Respuesta: FVF
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Gráfica de la función inversa
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
La gráfica de f∗, se obtiene reflejando la gráfica de f con respecto
a la recta y = x (función identidad).
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Gráfica de la función inversa
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
La gráfica de f∗, se obtiene reflejando la gráfica de f con respecto
a la recta y = x (función identidad).
13 / 22
FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Gráfica de la función inversa
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
La gráfica de f∗, se obtiene reflejando la gráfica de f con respecto
a la recta y = x (función identidad).
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Gráfica de la función inversa
Problema 225
Graficar la función inversa de
F (x) = x+ xsgn(x− 1), x ∈ [a; +∞ >
(a el menor valor posible)
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades de la función inversa
Propiedades adicionales
Si f y g son funciones biyectivas, se cumple que:
(a, b) ∈ f si y solo si (b, a) ∈ f∗
(f∗)∗ = f
Si ∃ (fog), entonces (fog)∗ = g∗of∗
f es una función creciente, entonces f∗ también es creciente.
f es una función decreciente, entonces f∗ también es
decreciente.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades de la función inversa
Propiedades adicionales
Si f y g son funciones biyectivas, se cumple que:
(a, b) ∈ f si y solo si (b, a) ∈ f∗
(f∗)∗ = f
Si ∃ (fog), entonces (fog)∗ = g∗of∗
f es una función creciente, entonces f∗ también es creciente.
f es una función decreciente, entonces f∗ también es
decreciente.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades de la función inversa
Propiedades adicionales
Si f y g son funciones biyectivas, se cumple que:
(a, b) ∈ f si y solo si (b, a) ∈ f∗
(f∗)∗ = f
Si ∃ (fog), entonces (fog)∗ = g∗of∗
f es una función creciente, entonces f∗ también es creciente.
f es una función decreciente, entonces f∗ también es
decreciente.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades de la función inversa
Propiedades adicionales
Si f y g son funciones biyectivas, se cumple que:
(a, b) ∈ f si y solo si (b, a) ∈ f∗
(f∗)∗ = f
Si ∃ (fog), entonces (fog)∗ = g∗of∗
f es una función creciente, entonces f∗ también es creciente.
f es una función decreciente, entonces f∗ también es
decreciente.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Propiedades de la función inversa
Propiedades adicionales
Si f y g son funciones biyectivas, se cumple que:
(a, b) ∈ f si y solo si (b, a) ∈ f∗
(f∗)∗ = f
Si ∃ (fog), entonces (fog)∗ = g∗of∗
f es una función creciente, entonces f∗ también es creciente.
f es una función decreciente, entonces f∗ también es
decreciente.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Contenido
CONTENIDO
Función inversa
Procedimiento para calcular
la inversa de una función
Propiedades de la función
inversa
Funciones acotadas
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Función acotada
Una función f se dice está acotada, si existen números reales
N,M tal que
∀x ∈ Dom(f) : N ≤ f(x) ≤M.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Función acotada
Una función f se dice está acotada, si existen números reales
N,M tal que
∀x ∈ Dom(f) : N ≤ f(x) ≤M.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Consecuencias
Una función f esta acotada si y solo si existe K > 0 tal que
∀x ∈ Dom(f), |f(x)| ≤ K.
Una función f se denomina acotada superiormente, si existe un
número real M tal que ∀x ∈ Dom(f), f(x) ≤M .
Una función f se denomina acotada inferiormente, si existe un
número real N tal que ∀x ∈ Dom(f), N ≤ f(x).
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Consecuencias
Una función f esta acotada si y solo si existe K > 0 tal que
∀x ∈ Dom(f), |f(x)| ≤ K.
Una función f se denomina acotada superiormente, si existe un
número real M tal que ∀x ∈ Dom(f), f(x) ≤M .
Una función f se denomina acotada inferiormente, si existe un
número real N tal que ∀x ∈ Dom(f), N ≤ f(x).
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Consecuencias
Una función f esta acotada si y solo si existe K > 0 tal que
∀x ∈ Dom(f), |f(x)| ≤ K.
Una función f se denomina acotada superiormente, si existe un
número real M tal que ∀x ∈ Dom(f), f(x) ≤M .
Una función f se denomina acotada inferiormente, si existe un
número real N tal que ∀x ∈ Dom(f), N ≤ f(x).
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Propiedades
Sean f y g dos funciones acotadas, entonces se cumple:
Si existe f + g, entonces f + g es acotada.
Si existe f.g, entonces f.g es acotada.
Si existe f − g, entonces f − g es acotada.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Propiedades
Sean f y g dos funciones acotadas, entonces se cumple:
Si existe f + g, entonces f + g es acotada.
Si existe f.g, entonces f.g es acotada.
Si existe f − g, entonces f − g es acotada.
20 / 22
FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Propiedades
Sean f y g dos funciones acotadas, entonces se cumple:
Si existe f + g, entonces f + g es acotada.
Si existe f.g, entonces f.g es acotada.
Si existe f − g, entonces f − g es acotada.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Propiedades
Sean f y g dos funciones acotadas, entonces se cumple:
Si existe f + g, entonces f + g es acotada.
Si existe f.g, entonces f.g es acotada.
Si existe f − g, entonces f − g es acotada.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Propiedades
Sean f y g dos funciones acotadas, entonces se cumple:
Si existe f + g, entonces f + g es acotada.
Si existe f.g, entonces f.g es acotada.
Si existe f − g, entonces f − g es acotada.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Problema 232
La función F (x) = ([[senx]] + [[cosx]])x. Determine la veracidad
(V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
I. Es acotada inferiormente.
II. Es acotada superiormente.
III. Es acotada.
Respuesta.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Problema 232
La función F (x) = ([[senx]] + [[cosx]])x. Determine la veracidad
(V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
I. Es acotada inferiormente.
II. Es acotada superiormente.
III. Es acotada.
Respuesta.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Problema233
Indique el avlor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. Si f, g : R→ R funciones acotadas entonces 3f − 5g : R→ R
es una función acotada.
II. Si f, g : R→ R funciones acotadas entonces |f | − |g| es una
función acotada.
III. Si f, g : R→ R funciones acotadas entonces fg : R→ R es una
función acotada.
Respuesta.
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FUNCIÓN INVERSA
N
Función Inversa
Funciones Acotadas
Problema 233
Indique el avlor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. Si f, g : R→ R funciones acotadas entonces 3f − 5g : R→ R
es una función acotada.
II. Si f, g : R→ R funciones acotadas entonces |f | − |g| es una
función acotada.
III. Si f, g : R→ R funciones acotadas entonces fg : R→ R es una
función acotada.
Respuesta.
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FUNCIÓN INVERSA
N
	Función Inversa