Álgebra Números Complejos

Vista previa del material en texto

NÚMEROS COMPLEJOS
(1a parte)
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
17 de mayo de 2017
1 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El cuerpo de los números complejos
Definición
En R2 definimos:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
entonces C = (R2,+, ·) es un cuerpo, llamado el cuerpo de los
números complejos.
(0, 0) es el neutro aditivo
(1, 0) es el neutro multiplicativo
− (a, b) = (−a,−b)
(a, b)−1 =
(
a
a2 + b2
,
−b
a2 + b2
)
, si (a, b) 6= (0, 0)
2 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El cuerpo de los números complejos
Definición
En R2 definimos:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
entonces C = (R2,+, ·) es un cuerpo, llamado el cuerpo de los
números complejos.
(0, 0) es el neutro aditivo
(1, 0) es el neutro multiplicativo
− (a, b) = (−a,−b)
(a, b)−1 =
(
a
a2 + b2
,
−b
a2 + b2
)
, si (a, b) 6= (0, 0)
2 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El cuerpo de los números complejos
Definición
En R2 definimos:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
entonces C = (R2,+, ·) es un cuerpo, llamado el cuerpo de los
números complejos.
(0, 0) es el neutro aditivo
(1, 0) es el neutro multiplicativo
− (a, b) = (−a,−b)
(a, b)−1 =
(
a
a2 + b2
,
−b
a2 + b2
)
, si (a, b) 6= (0, 0)
2 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
R como subcuerpo de C
Como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)
y si cada x ∈ R se identifica por (x, 0), y denotamos i = (0, 1)
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 y (a, b) = a+ bi
Notacion binómica de los complejos
C =
{
a+ bi / a, b ∈ R, i2 = −1
}
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
∴ R ⊂ C
3 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
R como subcuerpo de C
Como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)
y si cada x ∈ R se identifica por (x, 0), y denotamos i = (0, 1)
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 y (a, b) = a+ bi
Notacion binómica de los complejos
C =
{
a+ bi / a, b ∈ R, i2 = −1
}
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
∴ R ⊂ C
3 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
R como subcuerpo de C
Como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)
y si cada x ∈ R se identifica por (x, 0), y denotamos i = (0, 1)
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 y (a, b) = a+ bi
Notacion binómica de los complejos
C =
{
a+ bi / a, b ∈ R, i2 = −1
}
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
∴ R ⊂ C
3 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Parte real y parte imaginaria
Definición
Dado z = x+ yi ∈ C, definimos:
x = Re(z) Parte real de z
y = Im(z) Parte imaginaria de z
z = x− yi Conjugado de z
|z| =
√
x2 + y2 Módulo de z
Re, Im : C→ R son R-lineales, es decir: ∀a, b ∈ R,∀z, w ∈ C
Re(az + bw) = aRe(z) + bRe(w)
Im(az + bw) = aIm(z) + bIm(w)
4 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Parte real y parte imaginaria
Definición
Dado z = x+ yi ∈ C, definimos:
x = Re(z) Parte real de z
y = Im(z) Parte imaginaria de z
z = x− yi Conjugado de z
|z| =
√
x2 + y2 Módulo de z
Re, Im : C→ R son R-lineales, es decir: ∀a, b ∈ R,∀z, w ∈ C
Re(az + bw) = aRe(z) + bRe(w)
Im(az + bw) = aIm(z) + bIm(w)
4 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Parte real y parte imaginaria
Definición
Dado z = x+ yi ∈ C, definimos:
x = Re(z) Parte real de z
y = Im(z) Parte imaginaria de z
z = x− yi Conjugado de z
|z| =
√
x2 + y2 Módulo de z
Re, Im : C→ R son R-lineales, es decir: ∀a, b ∈ R,∀z, w ∈ C
Re(az + bw) = aRe(z) + bRe(w)
Im(az + bw) = aIm(z) + bIm(w)
4 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La conjugación
Propiedades de la conjugación
Sean a, b ∈ R y z, w ∈ C:
1. az + bw = az + bw
2. z · w = z · w
3. z−1 = (z)−1
4.
( z
w
)
=
z
w
5. z = z ⇐⇒ z ∈ R
6. Re(z) =
z + z
2
, Im(z) =
z − z
2i
7. Si p(x) ∈ R[x] (polinomio con coeficientes reales), entonces
p(z) = p(z)
5 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La conjugación
Propiedades de la conjugación
Sean a, b ∈ R y z, w ∈ C:
1. az + bw = az + bw
2. z · w = z · w
3. z−1 = (z)−1
4.
( z
w
)
=
z
w
5. z = z ⇐⇒ z ∈ R
6. Re(z) =
z + z
2
, Im(z) =
z − z
2i
7. Si p(x) ∈ R[x] (polinomio con coeficientes reales), entonces
p(z) = p(z)
5 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La conjugación
Propiedades de la conjugación
Sean a, b ∈ R y z, w ∈ C:
1. az + bw = az + bw
2. z · w = z · w
3. z−1 = (z)−1
4.
( z
w
)
=
z
w
5. z = z ⇐⇒ z ∈ R
6. Re(z) =
z + z
2
, Im(z) =
z − z
2i
7. Si p(x) ∈ R[x] (polinomio con coeficientes reales), entonces
p(z) = p(z)
5 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La conjugación
Propiedades de la conjugación
Sean a, b ∈ R y z, w ∈ C:
1. az + bw = az + bw
2. z · w = z · w
3. z−1 = (z)−1
4.
( z
w
)
=
z
w
5. z = z ⇐⇒ z ∈ R
6. Re(z) =
z + z
2
, Im(z) =
z − z
2i
7. Si p(x) ∈ R[x] (polinomio con coeficientes reales), entonces
p(z) = p(z)
5 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El módulo
Propiedades del módulo
Sean z, w ∈ C
1. |z · w| = |z||w||
2. |z−1| = |z|−1
3.
∣∣∣∣ zw
∣∣∣∣ = |z||w|
4. |Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|
5. |z + w| ≤ |z|+ |w| (Desigualdad triangular)
6.
∣∣ |z| − |w| ∣∣ ≤ |z − w|
7. ∀n ∈ Z |zn| = |z|n
6 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El módulo
Propiedades del módulo
Sean z, w ∈ C
1. |z · w| = |z||w||
2. |z−1| = |z|−1
3.
∣∣∣∣ zw
∣∣∣∣ = |z||w|
4. |Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|
5. |z + w| ≤ |z|+ |w| (Desigualdad triangular)
6.
∣∣ |z| − |w| ∣∣ ≤ |z − w|
7. ∀n ∈ Z |zn| = |z|n
6 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El módulo
Propiedades del módulo
Sean z, w ∈ C
1. |z · w| = |z||w||
2. |z−1| = |z|−1
3.
∣∣∣∣ zw
∣∣∣∣ = |z||w|
4. |Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z|
5. |z + w| ≤ |z|+ |w| (Desigualdad triangular)
6.
∣∣ |z| − |w| ∣∣ ≤ |z − w|
7. ∀n ∈ Z |zn| = |z|n
6 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Forma trigonométrica
Teorema
Si z ∈ C∗ = C \ {0}, entonces existe un único θ ∈ [0, 2π〉
tal que
Re(z) = |z| cos(θ), Im(z) = |z|sen(θ)
Por lo tanto
z = |z|
(
cos(θ) + isen(θ)
)
Definición
Este único θ se llama argumento (principal) de z y se denota
por arg(z), es decir.
arg(z) = θ
7 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Forma trigonométrica
Teorema
Si z ∈ C∗ = C \ {0}, entonces existe un único θ ∈ [0, 2π〉
tal que
Re(z) = |z| cos(θ), Im(z) = |z|sen(θ)
Por lo tanto
z = |z|
(
cos(θ) + isen(θ)
)
Definición
Este único θ se llama argumento (principal) de z y se denota
por arg(z), es decir.
arg(z) = θ
7 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El argumento
Teorema de D’Moivre
∀ n ∈ N (cos θ + isen θ)n = cos nθ + isennθ
Propiedades del argumento
Sean z, w ∈ C
1. arg(rz) = arg(z), si r ∈ R+
2. arg(zn) = n arg(z)− 2kπ, para algún k ∈ Z
3. arg(z · w) = arg(z) + arg(w)− 2kπ, para algún k ∈ Z
4. arg(z−1) = arg(z) = − arg(z) + 2kπ, para algún k ∈ Z
5. arg
( z
w
)
= arg(z)− arg(w)± 2kπ, para algún k ∈ Z
8 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El argumento
Teorema de D’Moivre
∀ n ∈ N (cos θ + isen θ)n = cos nθ + isennθ
Propiedades del argumento
Sean z, w ∈ C
1. arg(rz) = arg(z), si r ∈ R+
2. arg(zn) = n arg(z)− 2kπ, para algún k ∈ Z
3. arg(z · w) = arg(z) + arg(w)− 2kπ, para algún k ∈ Z
4. arg(z−1) = arg(z) = − arg(z) + 2kπ, para algún k ∈ Z
5. arg
( z
w
)
= arg(z)− arg(w)± 2kπ, para algún k ∈ Z
8 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El argumento
Teorema de D’Moivre
∀ n ∈ N (cos θ + isen θ)n = cos nθ + isennθ
Propiedades del argumento
Sean z, w ∈ C
1. arg(rz) = arg(z), si r ∈ R+
2. arg(zn) = n arg(z)− 2kπ, para algún k ∈ Z
3. arg(z · w) = arg(z) + arg(w)− 2kπ, para algún k ∈ Z
4. arg(z−1) = arg(z) = − arg(z) + 2kπ, para algún k ∈ Z
5. arg
( z
w
)
= arg(z)− arg(w)± 2kπ, para algún k ∈ Z
8 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El argumento
Teorema de D’Moivre
∀ n ∈ N (cos θ + isen θ)n = cos nθ + isennθ
Propiedades del argumento
Sean z, w ∈ C
1. arg(rz) = arg(z), si r ∈ R+
2. arg(zn) = n arg(z)− 2kπ, para algún k ∈ Z
3. arg(z · w) = arg(z) + arg(w)− 2kπ, para algúnk ∈ Z
4. arg(z−1) = arg(z) = − arg(z) + 2kπ, para algún k ∈ Z
5. arg
( z
w
)
= arg(z)− arg(w)± 2kπ, para algún k ∈ Z
8 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El argumento
Teorema de D’Moivre
∀ n ∈ N (cos θ + isen θ)n = cos nθ + isennθ
Propiedades del argumento
Sean z, w ∈ C
1. arg(rz) = arg(z), si r ∈ R+
2. arg(zn) = n arg(z)− 2kπ, para algún k ∈ Z
3. arg(z · w) = arg(z) + arg(w)− 2kπ, para algún k ∈ Z
4. arg(z−1) = arg(z) = − arg(z) + 2kπ, para algún k ∈ Z
5. arg
( z
w
)
= arg(z)− arg(w)± 2kπ, para algún k ∈ Z
8 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
El argumento
Teorema de D’Moivre
∀ n ∈ N (cos θ + isen θ)n = cos nθ + isennθ
Propiedades del argumento
Sean z, w ∈ C
1. arg(rz) = arg(z), si r ∈ R+
2. arg(zn) = n arg(z)− 2kπ, para algún k ∈ Z
3. arg(z · w) = arg(z) + arg(w)− 2kπ, para algún k ∈ Z
4. arg(z−1) = arg(z) = − arg(z) + 2kπ, para algún k ∈ Z
5. arg
( z
w
)
= arg(z)− arg(w)± 2kπ, para algún k ∈ Z
8 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La exponencial de un complejo
Definición
Para z = x+ yi ∈ C
ez = ex(cos y + iseny)
Teorema de Euler
∀ y ∈ R eyi = cos y + iseny
En particular:
eπi = −1, e
π
2
i = i y e2πi = 1
9 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La exponencial de un complejo
Definición
Para z = x+ yi ∈ C
ez = ex(cos y + iseny)
Teorema de Euler
∀ y ∈ R eyi = cos y + iseny
En particular:
eπi = −1, e
π
2
i = i y e2πi = 1
9 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La exponencial de un complejo
Definición
Para z = x+ yi ∈ C
ez = ex(cos y + iseny)
Teorema de Euler
∀ y ∈ R eyi = cos y + iseny
En particular:
eπi = −1, e
π
2
i = i y
e2πi = 1
9 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
La exponencial de un complejo
Definición
Para z = x+ yi ∈ C
ez = ex(cos y + iseny)
Teorema de Euler
∀ y ∈ R eyi = cos y + iseny
En particular:
eπi = −1, e
π
2
i = i y e2πi = 1
9 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Teorema
Sea z ∈ C
ez = 1⇐⇒ z = 2kπi para algún k ∈ Z
Supongamos que ez = 1, z = x+ yi =⇒ ex · eiy = 1
Tomando módulo : ex = 1 =⇒ x = 0
cos y + iseny = 1
cos y = 1 ∧ seny = 0
y = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = 2kπi para algún k ∈ Z
10 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Teorema
Sea z ∈ C
ez = 1⇐⇒ z = 2kπi para algún k ∈ Z
Supongamos que ez = 1, z = x+ yi =⇒ ex · eiy = 1
Tomando módulo : ex = 1 =⇒ x = 0
cos y + iseny = 1
cos y = 1 ∧ seny = 0
y = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = 2kπi para algún k ∈ Z
10 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Teorema
Sea z ∈ C
ez = 1⇐⇒ z = 2kπi para algún k ∈ Z
Supongamos que ez = 1, z = x+ yi =⇒ ex · eiy = 1
Tomando módulo : ex = 1 =⇒ x = 0
cos y + iseny = 1
cos y = 1 ∧ seny = 0
y = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = 2kπi para algún k ∈ Z
10 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Teorema
Sea z ∈ C
ez = 1⇐⇒ z = 2kπi para algún k ∈ Z
Supongamos que ez = 1, z = x+ yi =⇒ ex · eiy = 1
Tomando módulo : ex = 1 =⇒ x = 0
cos y + iseny = 1
cos y = 1 ∧ seny = 0
y = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = 2kπi para algún k ∈ Z
10 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Teorema
Sea z ∈ C
ez = 1⇐⇒ z = 2kπi para algún k ∈ Z
Supongamos que ez = 1, z = x+ yi =⇒ ex · eiy = 1
Tomando módulo : ex = 1 =⇒ x = 0
cos y + iseny = 1
cos y = 1 ∧ seny = 0
y = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = 2kπi para algún k ∈ Z
10 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
¡Un problema interesante!
Problema
Determine el (o los) valores de z = x+yi tales que ez = 1 + i
Solución
exeyi =
√
2e
π
4
i
Tomando módulo: ex =
√
2 =⇒ x = ln(
√
2)
eyi = e
π
4
i
e(y−
π
4
)i = 1
(y − π
4
)i = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = ln(
√
2) + π4 i+ 2kπi (infinitas soluciones)
11 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
¡Un problema interesante!
Problema
Determine el (o los) valores de z = x+yi tales que ez = 1 + i
Solución
exeyi =
√
2e
π
4
i
Tomando módulo: ex =
√
2 =⇒ x = ln(
√
2)
eyi = e
π
4
i
e(y−
π
4
)i = 1
(y − π
4
)i = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = ln(
√
2) + π4 i+ 2kπi (infinitas soluciones)
11 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
¡Un problema interesante!
Problema
Determine el (o los) valores de z = x+yi tales que ez = 1 + i
Solución
exeyi =
√
2e
π
4
i
Tomando módulo: ex =
√
2 =⇒ x = ln(
√
2)
eyi = e
π
4
i
e(y−
π
4
)i = 1
(y − π
4
)i = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = ln(
√
2) + π4 i+ 2kπi (infinitas soluciones)
11 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
¡Un problema interesante!
Problema
Determine el (o los) valores de z = x+yi tales que ez = 1 + i
Solución
exeyi =
√
2e
π
4
i
Tomando módulo: ex =
√
2 =⇒ x = ln(
√
2)
eyi = e
π
4
i
e(y−
π
4
)i = 1
(y − π
4
)i = 2kπ para alguń k ∈ Z
Por lo tanto z = ln(
√
2) + π4 i+ 2kπi (infinitas soluciones)
11 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Problemas de clase
Problema 1
Calcule (2 + i)(3 + i) y deduzca la igualdad
π
4
= arctan
(
1
2
)
+ arctan
(
1
3
)
Problema 2
Sea z = x+ yi ∈ C / |z| = 1, z 6= 1, z 6= −i. Compruebe que
arg
(
z − 1
z + i
)
=

π
4 , 1− x+ y > 0
5π
4 , 1− x+ y < 0
12 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Problemas de clase
Problema 1
Calcule (2 + i)(3 + i) y deduzca la igualdad
π
4
= arctan
(
1
2
)
+ arctan
(
1
3
)
Problema 2
Sea z = x+ yi ∈ C / |z| = 1, z 6= 1, z 6= −i. Compruebe que
arg
(
z − 1
z + i
)
=

π
4 , 1− x+ y > 0
5π
4 , 1− x+ y < 0
12 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Problemas de clase
Problema 18
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I) ∀z ∈ C |z + 2i| ≤ |2z − i|+ |z − 3i|.
II) Si |z + 1| ≤ |z|, entonces Re(z) < 12 .
III) Si z se localiza en el primer cuadrante, entonces −z se localiza
en el segundo cuadrante
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
Problema 23
Determine |z|, si (4− i)
√√
z
3 + 2
√
2i
= 1−
√
3i.
A) 17 B) 25 C) 8 D) 4 E) 16
13 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Problemas de clase
Problema 18
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I) ∀z ∈ C |z + 2i| ≤ |2z − i|+ |z − 3i|.
II) Si |z + 1| ≤ |z|, entonces Re(z) < 12 .
III) Si z se localiza en el primer cuadrante, entonces −z se localiza
en el segundo cuadrante
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
Problema 23
Determine |z|, si (4− i)
√√
z
3 + 2
√
2i
= 1−
√
3i.
A) 17 B) 25 C) 8 D) 4 E) 16
13 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Problemas de clase
Problema 43
Sea z = sen(θ)+i cos(θ) , 0 < θ < π2 . Indique el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones:
I) arg(z) = θ
II) arg(iz) = π − θ
III) arg(−z2) = 2(π − θ)
A) VVV B) FVV C) FFV D) FFF E) VVF
Problema 56
Si z es un número complejo sobre la circunferencia |z − 1| = 1,
halle arg(z − 1)− 2 arg(z).
A) 0 B) π6 C)
π
4 D)
π
3 E)
π
12
14 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N
Problemas de clase
Problema 43
Sea z = sen(θ)+i cos(θ) , 0 < θ < π2 . Indique el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones:
I) arg(z) = θ
II) arg(iz) = π − θ
III) arg(−z2) = 2(π − θ)
A) VVV B) FVV C) FFV D) FFF E) VVF
Problema 56
Si z es un número complejo sobre la circunferencia |z − 1| = 1,
halle arg(z − 1)− 2 arg(z).
A) 0 B) π6 C)
π
4 D)
π
3 E)
π
12
14 / 14
NÚMEROS COMPLEJOS (1a parte)
N