Fundamentos Matemáticos: Conjuntos, Números e Expressões Algébricas

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Contenido 
 
INTRODUCCIÓN ........................................................................................ 4	
1. CONCEPTO DE CONJUNTO ................................................................. 5	
1.1 ¿Cuáles son las Formas de Describir los Conjuntos? ...................... 5	
1.1.1 Conjunto por Extensión ............................................................. 5	
1.1.2 Conjunto por Comprensión ........................................................ 6	
1.2 ¿Cuáles son los Tipos de Conjuntos? .............................................. 6	
1.2.1 Conjunto iguales ........................................................................ 6	
1.2.2 Conjunto finito o infinito ............................................................. 6	
1.2.3 Conjunto subconjunto ................................................................ 7	
1.2.4 Conjunto vacío ........................................................................... 7	
1.2.5 Conjuntos disjuntos o disyuntivos .............................................. 7	
1.2.6 Conjuntos equivalentes ............................................................. 8	
1.2.7 Conjunto unitario ........................................................................ 8	
1.2.8 Conjunto universal ..................................................................... 8	
1.2.9 Conjunto superpuesto ................................................................ 8	
1.2.10 Conjunto congruente ............................................................... 9	
1.2.11 Conjunto no congruente .......................................................... 9	
1.2.12 Conjunto homogéneo .............................................................. 9	
1.2.13 Conjunto no homogéneo ......................................................... 9	
1.3 ¿Qué Operaciones se pueden Realizar entre Conjuntos? ............. 10	
2. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ....................................................... 11	
2.1 Números Naturales ......................................................................... 11	
2.2 Números Enteros ............................................................................ 12	
2.3 Números Racionales ....................................................................... 12	
2.4 Números Irracionales ...................................................................... 12	
3. ORDEN Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS NUMÉRICOS ....... 14	
3.1 Intervalos ........................................................................................ 15	
3.1.1 Intervalos acotados .......................................................................... 15	
 
3 
 
3.1.2 Intervalos no acotados ............................................................. 16	
3.2 Valor Absoluto ................................................................................. 17	
3.2.1 Propiedades del valor absoluto ............................................... 18	
3.2.2 Distancia entre números reales ............................................... 18	
4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................... 19	
4.1 Tipos de Expresiones Algebraicas .................................................. 21	
4.1.1 Monomio: ................................................................................. 21	
4.1.2 Binomio: ................................................................................... 21	
4.1.3 Trinomio: .................................................................................. 21	
4.1.4 Polinomio: ................................................................................ 21	
4.2 Grado de un polinomio y clasificación de un polinomio según su grado
 .............................................................................................................. 22	
4.3 Tipos de Polinomios ........................................................................ 22	
4.3.1 Polinomio nulo: ........................................................................ 22	
4.3.2 Polinomio homogéneo: ............................................................ 22	
4.3.3 Polinomio heterogéneo: ........................................................... 22	
4.3.4 Polinomio completo: ................................................................ 22	
4.3.5 Polinomio ordenado: ................................................................ 22	
4.3.6 Polinomios iguales: .................................................................. 22	
4.3.7 Polinomios semejantes: ........................................................... 22	
4.4 Operaciones con Expresiones Algebraicas .................................... 23	
4.4.1 Suma ....................................................................................... 23	
4.4.2 Resta ....................................................................................... 23	
4.4.3 Multiplicación ........................................................................... 24	
4.4.4 División .................................................................................... 25	
4.4.5 Factorización ........................................................................... 26	
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................... 27	
 
 
 
 
 
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INTRODUCCIÓN 
 
El Precálculo tiene una cadena de conocimientos previos necesarios para dar continuidad 
a cada temática que procede en el desarrollo de una unidad, y que son inevitables a la 
hora de contextualizar conceptos únicos y básicos de los temas en desarrollo. 
 
Conocimientos previos requeridos 
El estudiante debe estar en capacidad de usar, manejar y aplicar en el contexto los 
temas que se describen a continuación: 
 
• Operaciones básicas de número R. 
• Proposiciones y forma de oraciones. 
• Ubicación en la recta real. 
Competencias 
Al finalizar esta unidad, el estudiante debería estar en capacidad de: 
 
• Identificar el uso de los conceptos de conjuntos, objetivo del precálculo, para 
asociar símbolos, significados y conceptos. 
• Interpretar definiciones y teoremas utilizados en el precálculo para formar 
operaciones básicas y la aplicación que se requiere en el contexto. 
• Manejar de manera apropiada los signos y propiedades, y hacer uso 
fundamentados para el desarrollo de las mismas. 
 
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1. CONCEPTO DE CONJUNTO 
 
Son elementos que se agrupan de manera que tienen cierta característica que hace que 
se complementen como conjunto con características o propiedades iguales. Como 
conjunto se pueden agrupar números, personas, nombres, colores, distancias; además 
de las clasificaciones de todos los elementos que existen en el entorno. 
 
Entonces un conjunto es una agrupación de términos con una característica en común. 
 
1.1 ¿Cuáles son las Formas de Describir los Conjuntos? 
 
1.1.1 Conjunto por Extensión 
 
Cuando el conjunto contiene elementos separados por comas, los cuales se agrupan de 
manera que se cumpla una condición. 
 
 
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Por ejemplo, 𝑨	 = 	 {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏} 
 
“A es el conjunto cuyos elementos son 2, 3, 5, 7 y 11”, los cuales están separados por 
comas y cumple como característica común, que son números primos. 
 
1.1.2 Conjunto por Comprensión 
 
Cuando el conjunto se describe, como definición general, indicando la condición que se 
necesita para obtener elementos específicos: 
 
𝑨	 = 	 {𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔	𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔	𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔	𝒂	𝟏𝟑} 
 
También se puede escribir haciendo uso del lenguaje simbólico 
 
𝑨 = 	 {𝒙	/𝒙	𝑬	𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔	𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔; 	𝒙 > 𝟏𝟑}	
 
Un conjunto debe estar bien definido y debe ser claro, tanto en definición como en 
descripción de elementos. 
 
 
1.2 ¿Cuáles son los Tipos de Conjuntos? 
 
1.2.1 Conjunto iguales 
 
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. 
 
Ejemplo: 
 
SiA = {Vocales del alfabeto} y B = {a, e, i, o, u} se dice que A = B 
 
1.2.2 Conjunto finito o infinito 
 
Los conjuntos finitos, son aquellos en donde pueden ser contabilizados o enumerados 
todos los elementos del conjunto. 
 
Ejemplo: 
 
 A = {Números enteros entre 2.000 y 2.005} 
 A = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004} 
 
Un conjunto también puede ser infinito, lo único que importa es que esté bien definido. 
 
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Ejemplo: 
 
A = {Números pares y enteros mayores o iguales a dos} 
A = {2, 4, 6, 8, 10,} 
 
1.2.3 Conjunto subconjunto 
 
Un subconjunto es una parte de un conjunto. 
 
Ejemplo: un conjunto A es llamado un subconjunto de otro conjunto B, si cada elemento 
de A es un elemento de B. Esto se escribe como: 
 
A ⊂ B (Se lee “A es un subconjunto de B”) 
 
1.2.4 Conjunto vacío 
 
El símbolo Ø representa el conjunto vacío, que es el conjunto que no tiene elementos en 
absoluto. Nada en el universo entero es un elemento de Ø: 
 
1.2.5 Conjuntos disjuntos o disyuntivos 
 
Dos conjuntos se llaman disjuntos si no tienen elementos en común. 
 
Por ejemplo, los conjuntos: 
 
A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 7} 
 
Son disjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2.6 Conjuntos equivalentes 
 
Se dice que A y B son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos que los 
constituyen, es decir, el número cardinal del conjunto A es igual al número cardinal del 
conjunto B, n (A) = n (B). El símbolo para denotar un conjunto equivalente es ‘↔’. 
 
Por ejemplo: 
 
A = {1, 2, 3}, por lo tanto, 
n (A) = 3 
B = {p, q, r}, por lo tanto, 
n (B) = 3 
Por lo tanto, A ↔ B 
 
1.2.7 Conjunto unitario 
 
Es un conjunto que tiene exactamente un elemento en él. En otras palabras, sólo hay 
un elemento que conforma el conjunto. 
 
 Por ejemplo: 
 
A = {a} 
 
1.2.8 Conjunto universal 
 
Un conjunto universal es la colección de todos los objetos en un contexto particular o 
teoría. Todos los demás conjuntos en ese marco constituyen subconjuntos del conjunto 
universal, que se denomina con la letra mayúscula y cursiva U. 
 
1.2.9 Conjunto superpuesto 
 
Dos conjuntos que tienen al menos un elemento común se llaman conjuntos 
superpuestos. 
 
Ejemplo: 
 
Sean A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5} 
 
Los dos conjuntos A e B tienen un elemento en común, el número 3. Por lo tanto, se 
llaman conjuntos superpuestos. 
 
 
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1.2.10 Conjunto congruente 
 
Son aquellos conjuntos en los que cada elemento de A tiene la misma relación de 
distancia con sus elementos imagen de B. 
 
Ejemplo: 
 
B = {2, 3, 4, 5, 6} y A = {1, 2, 3, 4, 5} 
 
La distancia entre: 2 y 1, 3 y 2, 4 y 3, 5 y 4, 6 y 5 es una (1) unidad, por lo que A y B son 
conjuntos congruentes. 
 
1.2.11 Conjunto no congruente 
 
Son aquellos en los que no se puede establecer la misma relación de distancia entre 
cada elemento de A con su imagen en B. 
 
Ejemplo: 
 
B= {2, 8, 20, 100, 500} A = {1, 2, 3, 4, 5} 
 
La distancia entre: 2 y 1, 8 y 2, 20 y 3, 100 y 4, 500 y 5 es diferente, por lo que A y B 
son conjuntos no congruentes. 
 
1.2.12 Conjunto homogéneo 
 
Todos los elementos que componen el conjunto pertenecen a la misma categoría, 
género o clase. Son del mismo tipo. 
 
Ejemplo: 
 
B = {2, 8, 20, 100, 500} 
 
Todos los elementos de B son número por lo que el conjunto se considera homogéneo. 
 
1.2.13 Conjunto no homogéneo 
 
Los elementos que forman parte del conjunto pertenecen a diferentes categorías. 
 
Ejemplo: 
 
A = {z, auto, π, edificios, manzana} 
 
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No existe una categoría a la que pertenezcan todos los elementos del conjunto, por lo 
tanto, es un conjunto heterogéneo. 
 
1.3 ¿Qué Operaciones se pueden Realizar entre Conjuntos? 
 
Figura 1: Operaciones entre conjuntos 
 
 
 
 
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2. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 
 
Números reales R que son el Conjunto con el cual se complementan todos los 
subconjuntos que se mencionarán a continuación, son los más útiles a la hora de hacer 
operaciones y más que esto son necesario para expresar las diferentes cantidades, de 
las cuales se habla en distintos campos de la vida cotidiana y sus diferentes aplicaciones. 
 
2.1 Números Naturales 
 
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …} 
 
Los cuales cumplen las condiciones de ser subconjuntos determinados, así: 
	
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ	
 
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2.2 Números Enteros 
 
ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
Estas, además, se ubican en la recta numérica, con el fín de dar un orden específico, 
así los números enteros se muestran a continuación, marcados como la unidad de 
medida definida en intervalos de número a número. 
 
 
 
2.3 Números Racionales 
 
ℚ = {a⁄b tales que a, b ∈ ℤ, b ≠ 0} 
 
Son definidos como partes que dividen a las unidades dadas en la recta de los ℤ; resultan 
al dividir en 𝑛 partes iguales la distancia entre dos enteros consecutivos (𝑛 ∈ ℕ). 
 
Los demás subconjuntos, se describen por la necesidad de expresar aquellos que no se 
pueden escribir como fracción; ejemplo, el punto que resulta al sobreponer la recta al 
diagonal del cuadrado de la unidad. 
 
 
 
2.4 Números Irracionales 
 
𝕀 = { 𝟐
,
𝒆
,
𝝅, …} 
 
Se caracterizan por decimales, teniendo en cuenta que algunos de ellos coinciden 
con los números racionales, dado que los decimales también se clasifican como: 
 
 
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Decimales exactos y periódicos como números ℚ	
 
𝟏
⁄
𝟐	 = 	𝟎. 𝟓 Decimal exacto 
𝟏
𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 	𝟎. 𝟑 Decimal periódico 
 
Decimales (infinitos) no periódicos como números 𝕀 
 
√𝟐
		 = 	
𝟏
.
𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔
					
Decimal no periódico 
𝝅		 = 	𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓… Decimal no periódico 
 
Los cuales forman el conjunto ℝ de los números reales y cumplen que 
 
ℚ ∪ 𝕀 = ℝ ℚ ∩ 𝕀 = ∅	
 
 
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3. ORDEN Y OPERACIONES ENTRE 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Las operaciones fundamentales tales como suma, resta, multiplicación y división, son 
operaciones que entre números ℝ dan como resultado otro número ℝ. 
 
Los números reales se ordenan según la relación que define que el resultado es 
positivo o cero, dada por: 
 
a ≤ b ⇔ (b - a); a y b ∈ R 
 
Para dar orden a los números ℝ se destacan las siguientes propiedades: 
 
Siendo a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c; a , b , c ∈ R 
 
• 𝒂	 ≤ 	𝒃	 ⇒ 	𝒂	 + 	𝒄	 ≤ 	𝒃	 + 	𝒄.	
• 𝒂	 ≤ 	𝒃	 ⇒ 	−𝒂	 ≥ 	−𝒃. 
 
 
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El orden de los	ℝ y los números en sí se representan mediante la recta numérica la cual 
establece las características propias de ser negativos, menores, mayores y positivos, 
según la ubicación. 
 
 
 
Dando una correspondencia única entre unidades. 
 
 
3.1 Intervalos 
 
Cuando se habla de conjunto se puede relacionar con intervalos en la definición dado 
que un intervalo tiene extremos que determinan los elementos que se encuentran entre 
esos extremos dados. 
 
Estos se pueden clasificar en acotados y no acotados según la forma en que se 
relacionan los extremos y si están definidos o no. 
 
 
3.1.1 Intervalos acotados 
 
Son aquellos que tienen los extremos ya definidos y varían en que tomen o no esos 
extremos. 
 
1. [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Intervalo cerrado 
Toma los dos números extremos y todos los números que están entre ellos. 
 
𝟏, 𝟕 = 	 𝒙	 ∈ 	ℝ:	𝟏	 ≤ 	𝒙	 ≤ 𝟕 
 
2. (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Intervalo abierto	
No toma ningún extremo, solo los números que están dentro del conjunto. 
 
 
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−𝟏, 𝟕 = 	 𝒙	 ∈ ℝ:	 − 𝟏	 < 	𝒙	 < 𝟕 
 
3. [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} Intervalo semiabierto por la derecha. 
Toma solo el número extremo de la izquierda y el anterior al número dado por la 
derecha. 
−
𝟏
,
𝟕 = 	 𝒙	 ∈ ℝ ∶ 	−𝟏	 ≤ 	𝒙	 < 𝟕 
 
4. (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} Intervalo semiabierto por la izquierda. 
(-1,7] = {x ∈ Z: -1< x ≤ 7} 
 
 
 
 
3.1.2 Intervalos no acotados 
 
5. (−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑎} 
Ejemplo: (−∞, 4] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 4} 
 
 
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6. (−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑎}	
Ejemplo: (−∞, 4) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 4}7. [𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥} 
[-2, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ: -2 ≤ 𝑥} 
 
8. (𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥} 
(-2, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥} 
 
9. (−∞, ∞) = ℝ 
 
 
3.2 Valor Absoluto 
 
Es llamado valor absoluto a la propiedad que se aplica en los números reales, la cual 
determina el valor de 𝑎 ∈ ℝ. 
 
𝒂 = 	 𝒂	𝒔𝒊	𝒂		 ≥ 	𝟎−𝒂	𝒔𝒊	𝒂		 ≥ 	𝟎 
 
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Ejemplo: 
 
• |+6| = 6 
• |-3| = -(-3) = 3 
 
 
3.2.1 Propiedades del valor absoluto 
 
1 |𝑎|	≥	0	 
2 |𝑎|	=	0	⟺	𝑎	=	0	 
3 |𝑎	+	𝑏|	≤	|𝑎|	+	|𝑏|	 (Desigualdad triangular) 
4 |𝑎𝑏|	=	|𝑎|	|𝑏|	 
5 |a/b|	=	|a|	/	|b	 (Si b ≠ 0) 
6 |𝑎|	≤	𝑏	⇔	−𝑏	≤	𝑎	≤	𝑏(𝑏	≥	0).	 El caso 𝑏 < 0 no es posible 
7 |𝑎|	≥	𝑏		⇔	𝑎		≥	𝑏	o	𝑎	≤	−𝑏	 (𝑏 ≥ 0). El caso 𝑏 < 0 es trivial 
 
Ejemplo: 
 
|𝑥|	≤	6	⇔	−6	≤	𝑥	≤	6	
|𝑥|	≥	4	⇔	𝑥	≤	−4	o	𝑥	≥	4	
|𝑥	−	2|	=	0	⇔	𝑥	−	2	=	0	⇔	𝑥	=	2	
 
3.2.2 Distancia entre números reales 
 
El concepto de valor absoluto nos permite definir la distancia entre dos números reales 
como el valor absoluto de su diferencia. 
 
d(a,b)	=	|a	-	b|	=	d(b,a)	
 
Ejemplo: 
 
• (−5, +2) = |−5 − (+2)| = |−7| = 7 
• (+5, −2) = |+5 − (−2)| = |+7| = 7 
 
 
 
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4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
Son útiles a la hora de expresar situaciones con valores que no se conocen, son 
relaciones numéricas llamadas variables, incógnitas o indeterminadas y se representan 
por letras. 
 
Las expresiones algebraicas como su nombre lo indica, son oraciones que representan 
una situación de la vida cotidiana con letras y números combinados entre sí, los cuales 
al agruparlos se les denomina términos; cada uno de ellos están separados por una 
operación básica (adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación). 
 
Partes de un término de la expresión algebraica 
 
 
 
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Entonces: 
 
𝒂, 𝒏	 ∈ ℤ	 
𝒙	 ∈ ∀	𝒍𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔	𝒅𝒆𝒍	𝒂𝒃𝒆𝒄𝒆𝒅𝒂𝒓𝒊𝒐 
 
Coeficiente: 
El coeficiente es el número que acompaña a las variables de modo que se ve el 
término como producto. 
 
Parte literal o variable: 
La parte literal es la letra que determina el término de la expresión. 
 
Exponente o Grado: 
El grado es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. 
 
 
Ejemplo: 
 
El grado del siguiente término es: 
 
5x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6 
 
Cuando dos términos son semejantes se puede realizar las operaciones de suma y resta, 
solo si se cumple que tengan las mismas variables con igual exponente. 
 
 
Ejemplo: 
 
5x3 y2 z es semejante a 12x3 y2 z 
 
Situaciones de la vida cotidiana, dadas por oraciones como las siguientes. 
 
 
 
 
 
 
 
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EJ
EM
PL
O
 
ORACIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
El doble o duplo de un número 2x 
El cuádruplo de un número 4x 
El triple de un número 3x 
Un número al cuadrado x2 
Un número al cubo x3 
Dos números consecutivos x y x + 1 
Un Número más uno x + 1 
 
Dados los ejemplos anteriores es importante mencionar que la letra utilizada es x, pero 
puede ser cualquier letra que pertenezca al abecedario. 
 
4.1 Tipos de Expresiones Algebraicas 
 
4.1.1 Monomio: Expresión algebraica formada por un solo término. 
 
Ejemplo: 2x2 
 
4.1.2 Binomio: Un binomio es una expresión algebraica formada por dos 
términos: 
 
Ejemplo: 2x2 + y3 
 
4.1.3 Trinomio: Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres 
términos. 
 
Ejemplo: 2x2 + 3y3 - 2x2 
 
4.1.4 Polinomio: Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de 
un término. 
 
Ejemplo: 2x2 + y3 + 2x2 + 5y2 - 2x (De Fuentes, s.f.) 
 
 
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4.2 Grado de un polinomio y clasificación de un polinomio 
según su grado 
 
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la 
variable x. 
Primer grado (o grado 1) 
P(x) = 3x + 2 
Segundo grado (o grado 2) 
P(x) = 2x2+ 3x + 2 
Tercer grado (o grado 3) 
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2 
 
4.3 Tipos de Polinomios 
 
4.3.1 Polinomio nulo: es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes 
nulos. 
 
4.3.2 Polinomio homogéneo: es aquel polinomio en el que todos sus 
términos o monomios son del mismo grado. Ejemplo: P(x) = 2x2 + 3xy 
 
4.3.3 Polinomio heterogéneo: es aquel polinomio en el que sus términos no 
son del mismo grado. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 – 3 
 
4.3.4 Polinomio completo: Tiene todos los términos desde el término 
independiente hasta el término de mayor grado. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 3 
 
4.3.5 Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que 
lo forman están escritos de mayor a menor grado. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x - 3 
 
4.3.6 Polinomios iguales: Dos polinomios son iguales si verifican: 
 
• Los dos polinomios tienen el mismo grado. 
• Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. 
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x - 3 + 2x3 
 
4.3.7 Polinomios semejantes: Dos polinomios son semejantes si verifican 
que tienen la misma parte literal. 
 
• P(x) = 2x3 + 5x − 3 
• Q(x) = 5x3 − 2x – 7 
 
 
 
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4.4 Operaciones con Expresiones Algebraicas 
 
4.4.1 Suma 
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de 
las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. 
 
𝒂𝒙𝒏 	+ 	𝒃𝒙𝒏 	= 	 (𝒂	 + 	𝒃)𝒙𝒏	
 
Ejemplo: 
 
Determinar la suma de las siguientes expresiones algebraicas 
 
a. 7x2 y3 z + 11x2 y3 z = 18x2 y3 z 
 
 b. P(x) = x4 + 3x - 3 Q(x) = 2x - 3x2 + 2x5 
 
1. Ordenamos los polinomios, de forma que los exponentes se observen de forma 
decreciente. 
 
Q(x) = 2x5 - 3x2 + 2x 
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x5 - 3x2 + 2x) 
 
2. Agrupamos los términos que tengan la misma variable con igual exponente. 
 
P(x) + Q(x) = 2x5 + x4 - 3 x2 + 5x – 3 
 
4.4.2 Resta 
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. De manera formal, 
se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de sumarle a P(x) el 
opuesto de Q(x). 
 
Ejemplo: 
 
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 
4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 
4x 
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x – 3 
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3 
 
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4.4.3 Multiplicación 
Producto de un número por un monomio 
 
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente 
es el producto del coeficiente de monomio por el número. 
 
5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z 
 
Multiplicación de monomios 
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto 
de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga 
la misma base. 
 
axn · bxm = (a · b)xn +m 
 
5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3 
 
Multiplicación de un número por un polinomio 
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el 
producto de los coeficientes del polinomio por el número. 
 
3 · (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6 
 
Multiplicación de un monomio por un polinomio 
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el 
polinomio. 
 
3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2 
 
Multiplicación de polinomios 
 
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x 
 
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo 
polinomio. 
 
25 
 
 
P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) = 
 = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = 
 
Se suman los monomios del mismo grado. 
 
 = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x 
 
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que 
se multiplican. 
 
4.4.4 División 
División de monomios. 
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo 
mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor. La división de 
monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y 
cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base. 
 
axn / bxm = (a / b)xn − m 
 
División de polinomios 
Se llama división enterra de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q(x) de gradon 
al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen las 
siguientes condiciones: 
 
P(x) = Q(x) • C(x) + R(x) 
Grado de C(x) = m - n; grado de R(x) ≤ n - 1 
 
Los polinomios P, Q, C y cociente y resto R se llaman, respectivamente, dividendo, 
divisor, cociente y resto. (De Fuentes, s.f.) 
 
Ejemplo: 
 
Al dividir P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1: 
 
 
 
 
26 
 
 
 
Se obtiene que el cociente es C(x) = 5x – 3 y el resto, R(x) = 11x – 6 
	
4.4.5 Factorización 
Dado que los casos de factorización son ejemplificados y explícitamente muestrados 
por el autor, se recomienda adjuntar este archivo como material de estudio de este 
subtema. 
 
Principales casos de factorización 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
• Aranda, P. (2007). Cálculo I. Recuperado el 22 de 03 de 2017, de 
http://jacobi.fis.ucm.es/... 
• Baum, A. M., Milles, S. J., & Schultz, H. J. (1992). Cálculo Aplicado. México. 
• De Burgos, J. (2007). Cálculo infinitesimal de una Variable. Madrid: McGraw Hil. 
• De Fuentes, M. A. (s.f.). Operaciones con monomios y polinomios . Obtenido de 
http://docplayer.es/... 
• FedeBosio. (6 de 03 de 2018). Límites y continuidad de funciones. Recuperado 
el 0418 de 2018, de https://es.wikipedia.org/... 
• Finney, T. (1987). Cálculo con Geometría Analítica Vol. 1. México. 
• González, F. J. (2016). http://www.ugr.es Recuperado el 04 de 05 de 2017, de 
http://www.ugr.es/... 
• Granville, W. A. (1980). integración de formas elementales . En W. A. Granville, 
Cálculo diferencial e integral (pág. 686). Limusa. 
• Guzmán, d. l. (2016). Sistemas dinámicos aplicados a la dinámica cardíaca en 18 
horas mediante una ley matemática exponencial. Obtenido de 
http://revistasum.umanizales.edu.co/... 
• Lemus, E. G. (17 de 04 de 2018). Clasificación de los limites según el valor 
evaluado . Tunja, Colombia . 
• Morales, H. R. (08 de 2006). Recuperado el 09 de 2018, de 
http://rmorales.mayo.uson.mx/... 
• Rios, G. J. (2012). casos de factorización. Obtenido de https://julioprofe.net/... 
 
Imágenes y gráficos obtenidos de: 
• https://www.freepik.es/ 
• https://pixabay.com/ 
• https://www.pexels.com/ 
• https://www.flaticon.com/ 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
CRÉDITOS UPTC EQUIPO DE PRODUCCIÓN 
Autor / compilador: Erika Geraldine Pérez Lemus 
Equipo de Producción: Comité de gestión y calidad FESAD Departamento de Innovación Académica 
Versión 1.0 – diciembre de 2018 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
Contenido 
 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 3 
1. ECUACIONES ................................................................................................................. 5 
1.1 Ecuaciones lineales o de primer grado ..................................................................... 7 
Aplicaciones. Resolución de problemas ......................................................................... 7 
1.2 Ecuación de segundo grado o ecuaciones cuadráticas ........................................... 9 
1.2.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas completas .......................................... 13 
1.2.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando uno de los 
coeficientes b o c es cero: ......................................................................................... 15 
1.3 Inecuaciones ............................................................................................................ 21 
1.3.1 Propiedades básicas de las inecuaciones ....................................................... 21 
1.3.2 Ejemplos de inecuaciones ................................................................................ 27 
1.4 FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA .................................................. 29 
1.4.1 Función lineal .................................................................................................... 29 
1.4.2 Pendiente de una recta ..................................................................................... 31 
1.4.3 Función de proporcionalidad ............................................................................ 33 
1.4.4 Ecuación de la recta .......................................................................................... 34 
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 35 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El precálculo tiene una cadena de conocimientos previos necesarios para dar continuidad a 
cada temática que procede en el desarrollo de una unidad, y que son inevitables a la hora de 
contextualizar conceptos únicos y básicos de los temas en desarrollo. 
 
Conocimientos Previos Requeridos 
 
El estudiante debe estar en capacidad de usar, manejar y aplicar en el contexto los temas 
que se describen a continuación: 
 
• Operaciones básicas de número R 
• Proposiciones y forma de oraciones 
• Ubicación en la recta real 
• Lógica y teoría de conjuntos 
 
4 
 
Competencias 
 
Al finalizar esta unidad, el estudiante debería estar en capacidad de: 
 
• Identificar el uso de los conceptos de ecuaciones, para asociar símbolos, significados 
y conceptos. 
• Interpretar definiciones y teoremas utilizados en el precálculo para formar ecuaciones 
e inecuaciones básicas y la aplicación que se requiere en el contexto. 
• Manejar de manera apropiada los signos y propiedades y hacer usos fundamentados 
para el desarrollo de las mismas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. ECUACIONES 
 
Las situaciones de la vida real se pueden expresar en lenguaje algebraico, tal como lo vimos 
en la anterior unidad en el tema de expresiones algebraicas, de manera que con estas 
expresiones se forman ecuaciones que si bien describen oraciones propias de un problema 
que se puede resolver al determinar el valor de una incógnita. 
 
En las ecuaciones los elementos son 
Incógnita La letra (o variable) que aparece en la ecuación. 
Grado 
Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas 
las operaciones. (Reducir términos semejantes) 
Miembro Es cada una de las expresiones algebraicas separadas por el signo = 
Término Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación. 
 
 
6 
 
Ejemplo 1: 
 
Identifica los elementos de la ecuación: 
 4x + (2x + 7) = 3x
2 + 2x + 5 
Incógnita: x 
Primer miembro: 4x + (2x + 7) 
Segundo miembro: 3x2 + 2x + 5 
Términos: 4x, 2x, 7, 3x2, 2x, 5 
Grado: 2 
 
Solución de una ecuación 
 
Para dar solución a una ecuación se debe determinar el valor de la incógnita, la cual permite 
que la igualdad se cumpla o que sea cierta. De manera que se clasifican así: 
• Compatible, si la ecuación tiene solución 
• Incompatible, si la ecuación no tiene solución 
• Equivalentes, si tienen las mismas soluciones dos ecuaciones 
 
Ejemplo 2: 
 
 x+3 = 9 → x=9-3 → Solución x=6 → Es compatible 
 3x+5 =8+3x → 3x-3x=8-5 → 0x=3 → x= 
3
0
 
No tiene solución, es incompatible 
 2(x+2) = 18 → 2x+4 = 18 → 2x=18-4 → x=
14
2
 
Son ecuaciones equivalentes 
 2x+4=18 → 2x=18-4 → x=
14
2
 
 
7 
 
1.1 Ecuaciones lineales o de primer grado 
 
Una ecuación de primer grado, se caracteriza por tener una incógnita; se expresa en 
forma de ecuación por medio de una igualdad algebraica. 
 
• Para resolver una ecuación lo importante es definir la propiedad y transposición de 
términos, esto con el fin de lograr despejar la incógnita dada. 
• Usando la adición, la sustracción, la multiplicacióno la división. 
• De manera que la variable quede como un miembro de la ecuación y los demás 
términos en el otro. 
 
Ejemplo 3: 
 
Encontrar la solución de la siguiente ecuación 
 
 12x+4=4x+2 
 
Pasamos la x la izquierda y lo que no tiene x a la derecha 
 
12x-4x=2-4 
 
Despejamos la x 
 
 8x=-2 X= -1/4 
 
Aplicaciones. Resolución de problemas 
 
Las ecuaciones de primer grado se aplican a la resolución de problemas. 
 
Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo 
que se ha de calcular y los datos que te dan. Traduce al lenguaje algebraico las condiciones 
 
8 
 
del enunciado y después resuelve la ecuación planteada. Una vez resuelta la ecuación, se 
da solución al problema. 
 
Ejemplo 4: 
 
• Halla tres números consecutivos cuya suma sea 249 
• 
 
Llamamos x al menor de los tres números. Los números consecutivos son x+1, x+2 
 
La ecuación es: x+x+1+x+2=249 
 
Resolvemos: 3x + 3 = 249 
 3x = 246 x = 246/3 = 82 
 
La solución: los números son 82, 83 y 84 
 
• En el colegio de Miguel hay un total de 1.230 estudiantes (alumnos y alumnas). Si el 
número de alumnas supera en 150 al número de alumnos, ¿cuántas alumnas hay en 
total? 
 
Solución 
 
La incógnita x del problema es el número total de alumnas. 
Como hay 150 alumnas más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas 
menos 150. Es decir, x−150 
El número total de estudiantes es 1.230 y es la suma del número de alumnas y de alumnos: 
x+(x−150) = 1230 
 
9 
 
Hemos escrito el paréntesis para que se vea claro que es la suma del número de alumnos y 
del de alumnas. 
Resolvemos la ecuación: 
𝑥 + 𝑥 − 150 = 1230 → x−150=1230 → 2x=1230+150 → 2x=1380 
x= 
1380
2
 → x= 690 
Por tanto, el número de alumnas es 690 
 
• Tenemos dos garrafas de agua de la misma capacidad, pero una de ellas se 
encuentra al 20% y la otra al 30%. Calcular la capacidad de las garrafas si tenemos 
un total de 12 litros de agua. 
 
La incógnita x es la capacidad de las garrafas. El porcentaje es una fracción del total. 
El 20% de x es la fracción 
20
100
⋅x 
El 30% de x es la fracción 
30
100
⋅x 
La suma de estas dos fracciones es 12: 
20
100
⋅x + 
30
100
⋅x=12 
Multiplicamos la ecuación por 100: 
20𝑥 + 30𝑥 = 1200 →50 x = 1200 → x = 
1200
50
 → x=24 
La capacidad de las botellas es de 24 litros (cada una). 
 
1.2 Ecuación de segundo grado o ecuaciones cuadráticas 
Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, 
aquella en la que el grado mayor de los monomios es 2 (su parte literal es x2). 
Puesto que la ecuación es de grado 2, se tendrán 2 raíces que son soluciones distintas. 
 
10 
 
El exponente 2, conlleva a mostrar y relacionar representación gráfica las funciones 
cuadráticas con forma: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
Función que se representa gráficamente como una curva denominada parábola (de la familia 
de las cónicas), que tienen las siguientes formas: 
 
Figura 1. Función cuadrática representada como cónica 
 
Fuente: (Elaboración propia, 2018). 
 
El valor de la constante a (el coeficiente de x2) es el que determina si la gráfica abre hacia 
arriba o hacia abajo. Cuando a > 0, la parábola abre hacia arriba. Sin embargo, si a < 0, la 
parábola abre hacia abajo. 
 
Estas gráficas tienen un punto máximo o mínimo dependiendo de si abren hacia abajo o hacia 
arriba, respectivamente. Este punto recibe el nombre de vértice. La coordenada x del vértice 
está dada por la expresión: 
 
 
11 
 
2
x
b
V
a
= − 
 
Y la coordenada y se puede obtener sustituyendo en la función misma. 
 
Ejemplo 1: 
 
Sea ( ) 2 4 3f x x x= − + − . 
 
Se realiza una tabla de valores para graficar: 
 
X f(x) 
-1 -8 
0 -3 
1 0 
2 1 
3 0 
4 -3 
5 -8 
 
Las constantes son: 
a = -1, b = 4, c = -3. 
 
De esta manera ya se puede determinar que es una parábola que abre hacia abajo porque 
 
 
12 
 
1a = − ; a<0 su vértice es el punto máximo, cuya coordenada x es: 
 
( )
4 4
2
2 2 1 2
x
b
V
a
−
= − = − = =
− −
 
 
En la representación tabular vemos que a este valor de x le corresponde: 
 
( ) ( ) ( )
2
2 2 4 2 3
4 8 3 1
f = − + − =
= − + − =
 
 
Entonces el vértice de la parábola es el punto (2, 1). 
 
Al igual que en la recta, el término independiente indica el punto donde la parábola intersecta 
al eje y. En esta función es el punto (0,-3). 
 
La representación gráfica de esta función, obtenida de la tabla es: 
 
 
1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
2
3
-1
Ordenada
al origen
Vértice
Raíces
-2 2 3 4 5 6
 
13 
 
El dominio de esta función es ( , )−   y el rango es ( , 1]−  . 
 
En la figura, la parábola intercepta el eje x en dos puntos; quiere decir que tiene dos 
soluciones. Al igual que con la función lineal, para encontrar las raíces se resuelve la 
ecuación ( ) 0f x = : 
( ) 2
2
4 3
0 4 3
f x x x
x x
= − + −
= − + −
 
 
A diferencia de las funciones lineales, no se puede despejar directamente; por lo tanto: 
Dado que toda ecuación de segundo grado se puede escribir o reducir a una ecuación 
equivalente cuya forma sea: 
2ax bx c 0+ + = , a≠0 
 
Si ninguno de los coeficientes, a, b y c es cero, es decir, 
 
La ecuación es completa. Si no (si alguno es 0), diremos que es incompleta. Las ecuaciones 
cuadráticas se expresan, con términos que definen características propias de la ecuación. 
 
1.2.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas completas 
 
2ax bx c 0+ + = 
 
a) 
2x bx c 0;+ + = a 1;= b 0; c 0 Ecuación completa particular 
b) 
2ax bx c 0;+ + = a 1; b 0; c 0 Ecuación completa general 
 
 
Para resolver una ecuación cuadrática completa, se puede hacer uso de los casos de 
factorización o de la fórmula cuadrática. 
 
 
14 
 
Figura 2. Procesos de resolución de ecuaciones cuadráticas. 
 
Casos de factorización Fórmula cuadrática 
• Trinomio cuadrado perfecto 
• Trinomio de la forma x²+bx+c 
Trinomio de la forma ax²+bx+c 
2b b 4ac
x
2a
−  −
= 
Con esta fórmula se obtienen sus dos soluciones que son: 
2
1
b b 4ac
x
2a
− + −
= 
2
2
b b 4ac
x
2a
− − −
= 
Ejemplo: 
 
2x 5x 6 0+ + = 
( )( )x 2 x 3 0+ + = 
x 2 0+ =  x 3 0+ = 
Entonces 1x 2= −  
2x 3= − 
2x 2x 15 0− − = 
( )( )x 5 x 3 0− + = 
x 5 0− =  x 3 0+ = 
• Entonces 1x 5=  2x 3= − 
Ejemplo: 
1. 
2x 7x 6 0− + = 
a 1,= b 7= − y c 6,= por lo tanto: 
( ) ( )
2
7 7 4 1 6 7 49 24 7 25 7 5
x
2 1 2 2 2
− −  − −    −  
= = = =

 
Entonces: 
1
7 5 12
x 6
2 2
+
= = = 
2
7 5 2
x 1
2 2
−
= = = , luego el conjunto 
solución es  S 1,6= 
 
2. 
23x 7x 2 0+ + = 
a 3,= 7=b y c 2= 
27 7 4 3 2 7 49 24 7 25 7 5
x
2 3 6 6 6
−  −   −  − −  − 
= = = =

 
Entonces 
1
7 5 2 1
x
6 6 3
− + − −
= = = 
2
7 5 12
x 2
6 6
− − −
= = = − 
 
 
Fuente: (Portal Educativo, 2016). 
 
 
15 
 
En este caso, para el ejemplo 1 que se está trabajando se hará uso de la fórmula cuadrática, 
con a = -1, b = 4, c = -3. 
 
2b b 4ac
x
2a
−  −
= 
( ) ( ) ( )
( )
2
4 4 4 1 3
2 1
4 2
1
2
4 16 12 4 2
2 2
4 2
3
2
x
−  − − −
= =
−
− +
= −
−  − − 
= = = 
− −  − −
 =
−
 
 
Las soluciones son x = 1 y x = 3; valores que al comprobar hacen verdadera la ecuación. 
 
1.2.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando uno 
de los coeficientes b o c es cero: 
 
El objetivo de resolver una ecuación cuadrática es determinar los valores numéricos para la 
variable x que hacen que la expresión 
2ax bx c+ + valga cero. Equivale a determinar los 
valores numéricos para la variable x que en la función cuadrática ( ) 2f x ax bx c= + +tienen 
imagen cero. 
 
Existen ecuaciones cuadráticas completas e incompletas: 
 
✓ 
2ax c 0;+ = b 0;= c 0 Ec. Incompleta pura 
✓ 
2ax bx 0;+ = b 0; c 0= Ec. Incompleta 
binomial 
✓ 
2ax 0;= b c 0= = Ec. Incompleta 
 
 
16 
 
Incompleta de la forma 
2ax c 0+ = 
 
Se despeja la incógnita y se obtiene su raíz cuadrada 
2ax c 0+ = → 2ax c= − → 2
c
x
a
−
= → 
c
x
a
−
=  
 
Ejemplo 2: 
22x 18 0− = 
 
22x 18= 
 
2 18x
2
= 
 
2x 9= 
 x 3=  
 
Por lo tanto su conjunto solución es  S 3, 3= − 
 
Incompleta de la forma 
2ax bx 0+ = 
 
Se factoriza por la incógnita para obtener los factores que igualados a cero darán la solución: 
 
2ax bx 0+ = → ( )x ax b 0+ = → x 0=  ax b 0+ = → 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 1x 0=  2
b
x
a
−
= 
 
Ejemplo 3: 
23x 2x 0− = 
 ( )x 3x 2 0− = 
 x 0=  3x 2 0− = 
Entonces 1x 0=  2
2
x
3
= 
 
17 
 
Su conjunto solución es 
2
S 0,
3
 
=  
 
 
 
Ejemplo 4: 
 
Sea la función ( ) 2 16f x x= − , hallar la solución. 
 
Se pueden hallar las soluciones de las siguientes maneras: 
 
 
• Se puede factorizar como ( ) ( )( )4 4f x x x= + − . Para encontrar las raíces se iguala a 
cero 
( )( )4 4 0x x+ − = 
 
Lo que se cumple sólo cuando x = 4 y x = -4. 
 
• Como en esta función la constante b = 0, lo que se hace es despejar x: 
 
2
2
16 0
16
16 4
x
x
x
− =
=
=  = 
 
 
• Además, se puede recurrir a la fórmula cuadrática: 
 
( ) ( )
( )
20 0 4 1 16 64
4
2 1 2
x
−  − − 
= = =  . 
De las tres maneras se puede obtener la solución. 
 
 
18 
 
Ejemplo 5: 
 
Sea la función ( ) 2 4f x x= − − , hallar solución y graficar. 
 
Se despeja x: 
2
2
4 0
4
4
x
x
x
− − =
= −
=  −
 
 
Se obtiene una respuesta con números imaginarios dado que la raíz resulta negativa. 
 
Como a= -1, b= 0 y c=-4 
 
Las coordenadas del vértice son: 
𝑉𝑥 = − 
𝑏
2𝑎
 
 
( )
0
0
2 1
xV = − =
−
 
 
( ) 20 0 4 4f = − − = − 
 
Como a<0, se determina qué parábola abre hacia abajo, y dado que el vértice 𝑉( 0, −4 ) está 
abajo del eje x, se realiza tabla de valores y se grafica en el plano cartesiano. 
 
 
 
19 
 
 
Observe que en este caso la intersección con el eje y coincide con el vértice. 
 
Ejemplo 6: 
 
Sea 2( ) 5f x x= − . Hallar las raíces. 
 
Después de igualar a cero se puede despejar directamente 
2
2
5 0
5
5
x
x
x
− =
=
= 
 
Recuerde que 5 2.236068...= es un número irracional. 
Las coordenadas del vértice son: 
( )
0
0
2 1
xV = − = 
( ) 20 0 5 5f = − = − 
-15
-10
-5
0
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
 
20 
 
Con estos tres puntos se puede trazar la gráfica. 
 
Número de soluciones de las ecuaciones cuadráticas. 
Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones, una o ninguna solución, según sea b2-4ac, 
el llamado discriminante. 
 
 
 
 b2-4ac > 0 Hay dos soluciones 
 b2-4ac = 0 Hay una solución doble: x=-b/2a 
 b2-4ac < 0 No hay solución 
 
Figura 3. Forma de la parábola según el número de soluciones 
 
 
 
Fuente: (Ochoa, 2004). 
 
 
 
21 
 
1.3 Inecuaciones 
 
Se define a una inecuación como una desigualdad que es verdadera para unos valores 
asignados a la incógnita. 
 
El dominio de la inecuación f(x) > g(x), es el conjunto de valores de x para los cuales las 
expresiones f(x) y g(x) están ambas definidas. 
 
Dos inecuaciones en la misma variable son equivalentes si sus soluciones coinciden, o bien 
tienen la misma solución. 
 
Para resolver inecuaciones se aplican transformaciones que permiten obtener otra inecuación 
equivalente, la solución se obtiene haciendo uso de las propiedades de las desigualdades. 
 
 
1.3.1 Propiedades básicas de las inecuaciones 
 
I. DESIGUALDAD ESTRICTA 
 a es mayor que b, si a-b es positivo a>b
+− Rba 
 a es menor que b, si b-a es positivo, o bien a-b es negativo a<b
+− Rab 
 
De esta definición se deduce que 
 
a>0 si y solo sí a es positivo 
a<0 sí y solo sí a es negativo 
 
 
Además, se puede enunciar la propiedad (iii) de la siguiente forma: 
 
 
Para cada par de números reales a y b, es verdadera una y solamente una de las 
siguientes proposiciones o, a<b, o, a>b, o a=b”. 
 
 
 a es mayor o igual que b, si a-b es negativo o a=b 
bababa = 
 a es menor o igual que b, si a-b es negativo o a=b 
bababa = 
 
 
22 
 
II. INTERVALOS 
 
 
El orden de los números reales cumple que a < b, el punto a está a la izquierda del punto b. 
Los números positivos están a la derecha del cero y los negativos a la izquierda, así: 
 
| | | | | | 
-2 -1 0 1 a 2 b 
 
Si a < b, un punto x satisface las desigualdades a < x < b si y sólo sí x está entre a y b, en 
otras palabras: 
 
a < x < b es el conjunto de todos los números reales que están entre a y b. Este conjunto 
recibe el nombre de intervalo abierto y se denota (a,b). Gráficamente se representa en la 
recta real. 
 
 
 o o ( ) 
 a b a b 
 
 
Decir a < x < b equivale a x (a, b). 
 
 
1. Si a < b, un punto x satisface las desigualdades a < x < b sí y sólo sí x está entre a y b, 
es igual a “a” o es igual a “b”, en otras palabras, a < x < b es el conjunto de todos los 
números reales que están entre a y b, incluyendo a “a” y a “b”. Este conjunto recibe el 
nombre de intervalo cerrado y se denota [a,b]. Gráficamente se representa en la recta 
real de la siguiente forma: 
 
 o o [ v ] 
 a b a b 
 
Decir a < x < b equivale a x[a, b]. 
 
 
Se define a los intervalos semiabiertos como aquellos que satisfacen una de las siguientes 
desigualdades 
 
 
 a < x< b x [a, b) o o 
 a b 
 
 a < x< b x (a, b] o o 
 a b 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Se define a los intervalos infinitos como aquellos que satisfacen una de las siguientes 
desigualdades 
 
( ) ,axax o 
 a 
 
 ) ,axax o 
 a 
 
( )a,xax − o 
 a 
( , ]x a x a   − o 
 a 
 
Los símbolos  (infinito) y -  (menos infinito) “no” son números reales, se usan para 
indicar todos los números reales mayores que a, o bien todos los números reales menores 
que a. 
 
Observe que por la definición de desigualdades: 
 
 
 x>a x-a>0 ; x < aa-x>0 
 
 
Propiedades de las desigualdades 
 
Para todo número real a, b, c, se verifican las siguientes propiedades: 
 
1) Propiedad transitiva: si a < b y b < c entonces a <c 
2) Si a < b entonces a + c< b + c 
3) Si a < b y c>0 entonces ac < bc 
4) Si a < b y c<0 entonces ac > bc 
 
Caso particular: si a < b y c =-1 entonces –a>-b. 
5) Si a  0 entonces a2>0. 
6) a>0 sí y sólo sí 0
a
1
 
7) Si a>b y c>0 entonces 
c
b
c
a
 
 
 
 
 
 
24 
 
8) Si a>b y c<0 entonces 
c
b
c
a
 
9) Si ab>0 entonces a y b son ambos positivos o ambos negativos 
10) Si a < c y b < d entonces a + b < c + d 
11) Si a > 0  b > 0  a > b entonces a2 > b2. 
 Si a < 0  b<0  a > b entonces a2 < b2 
 
 
Observe que si se trata de dos números negativos, al elevar al cuadrado el sentido de la 
desigualdad se invierte. Si es un número positivo comparado con uno negativo no se puede 
sacar ninguna conclusión. Por lo que la propiedad no puede ser aplicada en ese caso. 
 
Si 
b
1
a
1
0 entonces ba0b0a  
Si 0
b
1
a
1
 entonces ba0b0a  
 
 
Si se está comparando un número positivo con otro negativo no se puede sacar ningunaconclusión. Por lo que esta propiedad no aplica. 
 
Todas estas propiedades son las que permiten trabajar con las desigualdades y son la base 
para concluir que proposiciones como las siguientes son verdaderas: 
 
a. A ambos miembros de una desigualdad se puede sumar un número real y ésta no se altera. 
b. Se puede multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número real positivo y 
ésta no se altera. Si el número es negativo la desigualdad se invierte. 
c. Se puede sumar miembro a miembro dos desigualdades que tienen el mismo sentido 
d. Se pueden elevar ambos miembros de una desigualdad al cuadrado, siempre y cuando 
ambos miembros sean positivos o negativos. Si son positivos el sentido de la desigualdad se 
mantiene, si son negativos el sentido de la desigualdad se invierte, etcétera. 
 
 
25 
 
Resolver la inecuación: 
3x+1<7 
3x<6 
x<2 
sol: (- ∞,2) 
2 
Inecuaciones lineales y cuadráticas 
 
Inecuaciones lineales 
 
Para resolver una inecuación de primer grado, 
aplicamos las propiedades de las inecuaciones 
hasta obtener una inecuación de la forma 
(matematicasonline, s.f.). 
 
 
 
 
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas 
 
Una inecuación de primer grado con una incógnita es una desigualdad 
algebraica que se puede expresar en alguna de las formas: 
 
ax+by<c, ax+by>c, ax+by ≤c ó ax+by≥c 
 
Con a, b, c números reales. 
Para resolverla, se considera la función lineal asociada a la inecuación ax + by = c, y se 
representa gráficamente (recuerda que se trata de una recta). 
 
La solución será uno de los dos semiplanos en que la recta divide el plano 
(matematicasonline, s.f.) 
 
 
 
 
 
x  a → sol: (−, a) x  a → sol : (−, a] x  
a → sol : (a, +) x  a → sol : [a, +) 
 
26 
 
2 
X –2y  2 
 
PRIMERO 
Se considera la función lineal asociada a la inecuación, sustituyendo 
el signo  por = → X – 2y = 2 
 
SEGUNDO 
Se presenta gráficamente la función, que es una recta que divide el 
plano en dos partes 
Recuerda que para dibujar una recta necesitamos dos puntos 
 
TERCERO 
Se elige un punto de una zona y se comprueba 
si cumple la inecuación. Si la cumple, la 
solución es el semiplano donde está el punto, si 
no la cumple es la otra. 
 
(6) – 2(-4) = 14  2 → CIERTO 
 
La solución es el semiplano coloreado y la recta 
 
Inecuaciones cuadráticas 
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es una 
desigualdad algebraica que se puede 
ax2+bx+c<0 
con a#0, y a, b, c números reales. 
 
Para resolverla, se hallan las raíces de la ecuación x1 y x. 
La solución, si tiene, será algunos o algunos de los 
intervalos (-∞, x1), (x1, x2), (x2, +∞) con x1< x2 
 
Para saber si un intervalo es de la solución se coge un punto 
interior a él y se comprueba si verifica la desigualdad; si la 
verifica es de la solución (matematicasonline, s.f.). 
La solución es (2,4) 
4 2 
Resolver la inecuación: 
x2 – 6x + 8 < 0 
x2 − 6x + 8 = 0 
Raíces x=2, x=4 
 
 
27 
 
1.3.2 Ejemplos de inecuaciones 
 
1) Resolver x3<8. 
 
Comparando con cero 
 
x3 -8<0. 
 
(x-2) (x2+2x+4) <0 Factorizando 
 
 
Hallando las raíces o buscando los ceros, para ello se resuelve 
 
(x-2) (x2+2x+4) =0 
(x-2)=0  x=2 
x2+2x+4=0 no tiene raíces reales porque b2-4ac=4-4(1)(4) =4-16<0 
 
 
Estudiando el signo de (x-2) (x2+2x+4) <0 
 
 
Se representa en la recta real la raíz obtenida en ii) y se estudia el signo en cada intervalo: 
 
 
 ----------------|++++++++ 
 2 
 
 
El signo de cada intervalo se determina con un valor de prueba, así: 
 
 
x=5  (5-2)(52+2(5)+4)=(3)(39)>0 
 
x = -3  (-3-2) ((-3)2 + 2(-3) +4 = (-5) 7 < 0 
 
 
La solución es: x<2 o bien. ( 2,x − 
 
 
2) Resolver 
3
1
x
1
 
 
 
28 
 
Comparando con cero 
 
0
3
1
x
1
− Comparando con cero 
 
0
x3
x3

−
 Unificando denominadores 
 
( )
0
x3
3x

−−
 Extrayendo factor común –1 
 
0
x
3x

−
 Multiplicando ambos miembros por –3 
 
 
Hallando las raíces del numerador y del denominador 
 
 
x-3=0  x=3. Hallando los ceros del numerador 
 
x=0. Hallando los ceros del denominador 
 
Estudiando el signo de 0
x
3x

−
 
 
 
Representando en la recta real 
 
 +++++++|-------|++++++ 
 0 3 
 
El signo de cada intervalo se determina con un valor de prueba, así: 
 
 
x=5  0
3
2
5
35
=
−
 
x=1  04
1
31
−=
−
 
x=-8  0
8
11
8
11
8
38
=
−
−
=
−
−−
 
 
 
La solución de la inecuación 
3
1
x
1
 es x<0  x>3 o bien ( ) ( ) ,30 ,x − 
 
29 
 
 
Denominaremos pendiente a la constante m 
Denominaremos ordenada al origen a la constante b 
1.4 FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA 
 
La función lineal es útil a la hora de representar situaciones de la cotidianidad, por esto el interés 
por el concepto de proporcionalidad y representación de la función lineal, la recta (Escuela Naval, 
2015). 
 
1.4.1 Función lineal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Son ejemplos de funciones lineales: 
 
y = 2x y = 0,5x + 2 y = x – 4 y = 2 
 
Se habla de función lineal cuando las dos variables se encuentran con exponente1. En cada 
una de las funciones, x representa la variable independiente e y la variable dependiente. 
 
La función lineal representada en el plano cartesiano se relaciona así. 
Recibe la denominación de función lineal. 
 
Toda función de la forma 
 
y = f (x) = m x + b Función Lineal 
Pendiente 
Ordenada al origen 
 
30 
 
Ejemplos: 1. y = x - 4 
 
 
 
 
 
 
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada 
también aumenta 1 unidad. 
 
 
 
 
2. y = - 3 x +2 
 
 
 
 
 
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada 
disminuye 3 unidades. 
 
 
 
 
3. y = 2 
 
 
 
 
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada 
no aumenta ni disminuye. 
 
Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 
3, o más unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
1.4.2 Pendiente de una recta 
 
Figura 4. Forma de la pendiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: (Monterey, 2016). 
 
 
✓ La pendiente está determinada por el cociente 
entre la 
variación de y y la variación de x. 
 
✓ La pendiente m mide la inclinación de la 
recta respecto del eje x. Podemos hallar entonces a 
partir de la pendiente el ángulo  que forma dicha recta 
con el eje x teniendo en cuenta que: 
m = tg . 
 
Teniendo en cuenta que el ángulo de inclinación , se mide en sentido contrario a las agujas del 
reloj, a partir de la dirección positiva del eje x. 
 
Retomando los ejemplos anteriores: 
 
y = m x + b 
m > 0 
y 
 
 
x 
Función creciente 
m < 0 
y 
 
x 
Función decreciente 
m = 0 
y 
 
 
x 
Función constante 
 
La función tangente, 
utilizada en la expresión: 
m = tg , se estudiará 
junto con las demás 
funciones 
trigonométricas, con más 
detalle en una próxima 
unidad 
 
32 
 
 a) y = x - 4 
 
En este ejemplo 
 
 
 Entonces 
 
 
 
 
 
m = 
1
 = tg  
 1 
 
 
 = 45º 
 
 b) y = -3 x + 2 
 
 
 
Entonces 
m = 
- 3 = tg  
 1 
 
 
 
= 108º 26’ 5,82’’ 
 
 
 
c) y = 2 
 
 
Entonces 
m = 
0 
= tg  
 2 
 
 
 = 0º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 2 
 3  3 
 2 
1.4.3 Función de proporcionalidad 
 
La ordenada al origen es el punto de intersección entre la recta y el eje y, es decir, es el valor de 
la ordenada para x = 0, o sea la imagen de cero. 
 
Teniendo en cuenta que: en la ecuación y = m x + b a la constante b se la denomina 
ordenada al origen. 
 
 
 
Observemos en la función y = 2 x la relación entre los 
valores de la variable x y los valores que se obtiene de 
la variable y.X Y 
 
1 2 
 
2 4 
2 : 2 
3 6 
 
 
 
En este caso los cocientes entre la variación de la 
ordenada y la variación de la abscisa nos dan 
nuevamente el valor de la pendiente. 
 
 
Función de 
proporcionalidad 
directa 
Si la ordenada al origen es 0, resulta 
y = mx 
Este caso particular se llama función de proporcionalidad 
directa y su gráfica es una recta que pasa por el origen 
La pendiente de la función de proporcionalidad se denomina constante de proporcionalidad 
y 
= 
2 
= 
4 
= 
1 
= ... = 2 = m 
x 1 2 1 
2 
Es decir, si se calcula... 
 
el doble de 1, su imagen 
resulta el doble de 2 
 
el triple de 1, su imagen 
resulta el triple de 2 
 
la mitad de 1, su imagen 
resulta la mitad de 2 
..... 
 
34 
 
1.4.4 Ecuación de la recta 
 
Veamos qué formas puede tomar la ecuación de una recta. 
Ejemplo: Y = 2/3 x + 8/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
La misma recta del ejemplo anterior se puede escribir como 
 2x - 3 y + 8 = 0 
 si b = 0 y a  0, 
 
 la ecuación implícita de la recta se reduce a 
 a x + c = 0, 
 que representa a la recta paralela al eje y 
x = - 
c
 
a 
la cual, como vimos anteriormente no representa una función 
y = f (x) 
Ecuación de la recta 
Para m, n  R constantes, podemos interpretar una 
función lineal 
y = mx + n 
como una ecuación lineal con dos incógnitas x e y que 
denominaremos ecuación de la recta 
Forma explícita de la 
ecuación de la recta 
A la expresión: 
y = mx + n 
donde m, n  R son constantes, la denominamos forma 
explícita de la ecuación de la recta 
 
Forma implícita de la 
ecuación de la recta 
Diremos que para a, b, c  R constantes, 
a x + b y + c = 0 
es la forma implícita de la ecuación de la recta 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
• matematicasonline. (s.f.). Obtenido de https://www.matematicasonline.es/... 
• Monterey, I. (2016). Recuperado e 2018, de https://www.montereyinstitute.org/... 
• Ochoa, M. Á. (2004). Recuperado el 07 de 2018, de http://recursostic.educacion.es/... 
• Portal Educativo. (2016). Recuperado el 27 de 06 de 2018, de 
https://www.portaleducativo.net/... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imágenes tomadas de: freepik, pexels, unsplash 
 
CRÉDITOS UPTC EQUIPO DE PRODUCCIÓN 
Autor / compilador: Erika Geraldine Pérez Lemus 
Equipo de Producción: 
Comité de gestión y calidad FESAD 
Departamento de Innovación Académica 
Versión 1.0 - Julio de 2019 
 
Ecuación de la recta que pasa 
por dos puntos 
Así, 
y1 − y0 =
 
y − y0 
x1 − x0 x − x0 
es la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos 
(x0, y0), (x1, y1) 
https://www.matematicasonline.es/almacen/4eso_opA/Temas/05_Ecuaciones%20e%20inecuaciones.pdf
https://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U04_L1_T4_text_final_es.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones2grado/eg23.htm
https://www.portaleducativo.net/biblioteca/GP8_ecuaciones.pdf
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Contenido 
 
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 3 
1. FUNCIONES ............................................................................................................... 5 
1.1 Definición de una función con diagrama sagital ..................................................... 6 
1.2 Definición de una función con diagrama cartesiano ............................................... 8 
2. DOMINIO Y RANGO. GRÁFICAS ............................................................................. 11 
3. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS, ...................................................... 19 
4. FUNCIÓN INVERSA, PAR E IMPAR......................................................................... 22 
4.1 Función inversa .................................................................................................... 22 
4.1.1 Función inversa definida en diagrama sagital ............................................... 23 
4.1.2 Función inversa definida en el plano cartesiano ............................................ 25 
4.2 Función par e impar ............................................................................................. 27 
4.2.1 Función par e impar método algebraico ........................................................ 27 
4.2.2 Función par e impar método gráfico .............................................................. 27 
5. CÓNICAS .................................................................................................................. 30 
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El Precálculo en la unidad tres implementa algebra, geometría y aritmética, para el 
estudio y la formación del plano cartesiano, concepto y características de las funciones 
en forma algebraica y gráfica. La comprensión del plano cartesiano en ubicación, 
dimensiones y ejes para reconocer el comportamiento de las funciones, pasando por la 
transformación e identificación de las propiedades pares e impares; además de inversas; 
finalizando en el estudio de la geometría analítica con las secciones cónicas. 
 
Lo anterior, implica que el estudiante emplee los elementos básicos de las operaciones 
con números reales, factorización y ecuaciones, lo que le permite afianzar y aplicar 
conceptos vistos para el desarrollo y contextualización de temáticas de la unidad 
“Funciones”. 
BY PEXELS 
 
 
 
 
 
4 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
 
El estudiante estará en capacidad de utilizar y aplicar en el contexto los temas que se 
describen a continuación. 
 
• Operaciones básicas de número R. 
• Ecuaciones e inecuaciones. 
• Ubicación en la recta Real. 
• Factorización. 
• Geometría Básica. 
 
 
COMPETENCIAS 
Al finalizar esta unidad, el estudiante estará en capacidad de: 
 
• Identificar el uso de los conceptos de función, objetivo del precálculo, para asociar 
el comportamiento y la transformación de funciones algebraica y gráficamente. 
• Interpretar definiciones y propiedades de las funciones para la aplicación que se 
requiere en el contexto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. FUNCIONES 
 
Toda acción de la vida real se puede expresar como una trayectoria con un sentido en 
un instante o durante un tiempo estimado; de manera que, el concepto de función analiza 
aspectos básicos como: identificar cuándo una relación entre dos conjuntos es una 
función, obtener información de una representación y/o gráfico y reconocer ciertos 
conjuntos asociados a las funciones tales como el dominio y la imagen. La construcción 
y lectura de gráficos hacen parte de las formas de caracterizar una función, la cual puede 
representarse mediante una ecuación, con una gráfica, o con palabras. 
BY FREEPIK 
 
 
 
 
 
6 
 
Una función permite asignar a cada uno de los elementos “x” de un conjunto “A” un único 
elemento “y” de otro conjunto “B”. 
 
 
 
1.1 Definición de una función con diagrama sagital 
 
Figura 1. Definición de función en diagrama sagital 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: (Funciones, 2015). 
 
En la gráfica se muestra la relación “y que es la imagen de x por la función f”. 
En símbolos: y = f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
Función 
Sean A y B subconjuntos de R; si se relacionan las variables, x e 
y, por tanto a cada valor de la variable independiente x le 
corresponde un único valor de la variable dependiente y. 
f : A → B 
 
y = f(x) 
x • 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Ejemplos 
De las siguientes relaciones en diagrama sagital, diga cuáles son funcionesy justifique 
su respuesta. 
1. De las siguientes relaciones en diagrama sagital, diga cuáles son funciones y 
justifique su respuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es función, ya que su lado derecho costa con cada 
uno de sus flechas en salida y no hay problema de 
su lado izquierdo. 
Es función, ya que su lado derecho costa con cada 
una de sus flechas en salida y no hay problema en 
su lado izquierdo. 
Es función, ya que su lado derecho costa con cada 
una de sus flechas a su salida, pero no hay dificultad 
con el lado izquierdo, porque el lado izquierdo no 
tiene problema al quedar unos de sus puntos solos. 
No es función, ya que su lado derecho no costa con 
cada una de su salida, como (D) que quedó solo y 
no es válido. 
 
 
 
 
 
8 
1.2 Definición de una función con diagrama cartesiano 
 
Para representar una función gráficamente se pude hacer uso de un plano cartesiano, el cual 
contiene sistema de coordenadas de la forma (x, y) variables, que determinan a su vez ejes 
cartesianos. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Plano cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: (Funciones, 2015). 
 
Eje de Abscisas En el eje horizontal se representa la variable independiente x, 
ésta recibe el nombre de eje de abscisas o eje x. 
En el eje vertical se ubica la variable dependiente Y y recibe el 
nombre de eje de ordenadas o eje y. 
Eje de Ordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(X , Y) 
 
 
 
 
 
9 
La función y = f(x) representada en el plano cartesiano, identificando la variable 
independiente x y la variable dependiente y, forma coordenadas. 
 
El plano cartesiano se compone de 4 ejes, que se definen por la intercepción de los ejes. 
 
Figura 3. Cuadrantes en el plano cartesiano 
 Y ordenadas 
 
 II (-, +) I (+, +) 
 
 III (-,-) IV (+,-) 
 
Fuente: elaboración propia. 
 
Figura 4. Ejes y coordenadas del plano cartesiano 
 
Fuente: (Reyes, 2011). 
X abscisas 
 
 
 
 
 
10 
En el plano cartesiano el origen de coordenadas, se define como el punto p(0,0), es el 
punto donde se cortan los dos ejes. 
 
Ejemplo: relacionar y graficar los datos de la tabla de valores que forman coordenadas (x,y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABLA DE 
VALORES 
X Y 
0 3 
1 4 
2 5 
3 10 
4 9 
5 4 
6 10 
7 2 
8 1 
9 5 
 10 2 
11 1 
12 3 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
2. DOMINIO Y RANGO. GRÁFICAS 
 
Dominio: el movimiento que realiza la función en el eje de las abscisas o eje x, en otras 
palabras valores que toma la función como variable independiente. 
 
Codominio, imagen o rango: se observa en el eje de las ordenadas y se definen los 
valores posibles del comportamiento de la función sobre ese eje definido por la variable 
dependiente Y. 
 
 
En el gráfico son los valores que se leen de izquierda a derecha en el eje x (valores 
que toma la función) 
 
Dominio 
Dom (f) 
Dominio de la función y denominado Dom f. 
 
El dominio es el conjunto de elementos que t ienen imagen. 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = { 𝑥 ∈ 𝑅/ ∋ 𝑓(𝑥)} 
 
 
Imagen 
Rng (f) 
Im (f) 
Imagen de la función y denominado Rango f. 
f: A → B 
para la función se define 
A = Dom f e Rng f  B 
 
 
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12 
 
Es importante tener en cuenta que una función está definida por la relación entre conjunto 
que cumple condiciones de relación, según los elementos determinados. 
 
Dominio en diagrama sagital 
 
 
 Conjunto inicial Conjunto f inal 
 
Dominio Conjunto imagen o recorrido 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
2 
4 
6 
8 
Dominio 
Codominio 
Rango 
 
 
 
 
 
13 
Ejemplo Nº 1. 
 
La función f de C a D tiene como 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝐶 y además cada elemento de C está 
relacionado solo una vez con los elementos de D. Y como 𝐼𝑚 (𝑓) = 𝐷. 
 
Dominio función polinómica 
 
El dominio de la función con forma polinómica entera, es todo el conjunto de los números 
reales R, dado que cualquier número asignado a la variable x tendrá una imagen. 
 
Son funciones polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y las 
funciones polinómicas de grado superior. 
 
 
 
 
f 
 
 
 
 
 
14 
Ejemplo 2. 
 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 + 8𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥2 
 
 𝐷𝑜𝑚 (𝐹) = 𝑅 𝐼𝑚 (𝑓) = 𝑅 𝐷𝑜𝑚 (𝐹) = 𝑅 𝐼𝑚 (𝑓) = [−4, ∞) 
 
Dominio de la función racional 
 
El dominio de una función racional se determina encontrando los valores que hacen que 
anulen al denominador, ya que; los números de la forma 
𝑛
0
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜, por 
propiedades de los números reales. 
 
De manera que el dominio es R- {Conjuntos de número que hacen cero el denominador} 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Ejemplo: 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 5
𝑥2 − 5𝑥 + 6
 
 
𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟: 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 → (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0 
𝑥 − 3 = 0 ^ 𝑥 − 2 = 0 
𝑥 = 3 ^ 𝑥 = 2 
Por lo tanto, los valores 2 y 3 hacen que el denominador sea 0, valores 
que no hacen par te del dominio. 
 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑅 − {2,3}, Para la función 𝐹(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Ejemplos: 
 
 Si 𝑓(𝑥) = 
𝑥2+1
𝑥
 Si 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥2−1
 
 
𝐷𝑜𝑚 (𝐹) = 𝑅 − {0} 𝐼𝑚 (𝑓) = (−∞, −2]𝑢 [2,00) 𝐷𝑜𝑚 (𝐹) = 𝑅 − {−1,1} 𝐼𝑚 (𝑓) = (−∞, ∞) 
 
Dominio de la función irracional 
 
Si el índice n de la función 𝑓(𝑥) = √𝑚
𝑛
 es impar; el 𝐷𝑜𝑚 (𝐹) = 𝑅. 
 
Si el índice n de la función 𝑓(𝑥) = √𝑚
𝑛
 es par; 
el 𝐷𝑜𝑚 (𝐹) = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 
𝑠𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 
 
 
 
 
 
 
17 
Ejemplo: 
 
El dominio de las siguientes funciones. 
 
𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 5𝑥 + 6
3
 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑅. 
𝑓(𝑥) = √
𝑥
𝑥2−5𝑥+6
3
 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑅 − {2,3}. 
𝑓(𝑥) = √
𝑥2−5𝑥+6
𝑥+4
2
 Radicando 
 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≥ 0 → (−∞, 2]𝑢 [3, ∞) 
𝑥 + 4 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 4 
 
 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (−∞, −4)𝑢 (−4,2]𝑢 [3, ∞) 
 
Si 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1 
 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (−∞, −1] 𝑢 [1, ∞) 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = [1, ∞) 
 
 𝐼𝑚 (𝑓) = [0, ∞) 𝐼𝑚 (𝑓) = [0, ∞) 
 
 
 
 
 
18 
Dominio de la función logaritmo 
 
La función logarítmica establece el dominio para los valores que cumplen que la función 
interna sea mayor a cero. 
 
Ejemplo: 
 
 𝐹(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔(𝑥2 − 5𝑥 + 6) 
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎: 𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0 → 𝑥 > 2 ^ 𝑥 > 3 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞, 2)𝑢 (3, ∞) 
 
Si 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥 + 2) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥2 − 4) 
 
 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (−2, ∞) 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (−∞, −2)𝑢 (2, ∞) 
 𝐼𝑚 (𝑓) = (−∞, ∞) 𝐼𝑚 (𝑓) = (∞, ∞) 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. FUNCIONES INYECTIVAS, 
SOBREYECTIVAS, BIYECTIVAS Y 
PROPIEDADES EN LA GRÁFICA DE LA 
FUNCIÓN 
 
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20 
Fuente: (García, 2011). 
FUNCIONES 
Función Función Inyectiva Función Sobreyectiva Función Biyectiva 
Concepto 
Se definecomo función inyectiva, si cada 
elemento del conjunto X le corresponde un 
único elemento de Y. Es decir, si cada elemento 
de entrada sólo se relaciona con un elemento 
de salida. 
Una función f es sobreyectiva, si todo 
elemento de Y , corresponde al menos a un 
elemento del Inicial X. 
Una función f es biyectiva, si es al mismo tiempo inyectiva y 
sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y 
tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le 
corresponde; y todos los elementos del conjunto inicial X tiene 
una única imagen en el conjunto final Y. 
 
Conclusión 
Sigue siendo función sin importar que algún 
elemento de Y se relacione con un elemento de 
X 
Una función es sobreyectiva cuando su 
codominio y su dominio son 
correspondientes. 
No puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y sólo 
, sin relacionarse con un único elemento del conjunto inicial X. 
Gráfica 
Diagrama 
sagital 
 
 
Diagrama 
cartesiano 
 
 
 
 
21 
Figura 5. Determinaciones y relaciones de funciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES 
INYECTIVA 
SOBREYECTIVA 
BIYECTIVA 
Uno a uno 
 
F (X) = B 
Inyectiva y 
sobreyectiva a la vez 
Ejemplo: F (X) = 2X + 1 
Y 
Ejemplo: F (X) = 3X + 2 
Ejemplo: F (X) = X2 - 1 
Fuente: Elaboración propia 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. FUNCIÓN INVERSA, PAR E IMPAR 
 
4.1 Función inversa 
Una función inversa o recíproca se identifica cuando el dominio de la función es igual al rango 
de la función inicial, y su rango es igual al dominio de la función que se obtiene. 
 
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23 
Entonces, algebraicamente si una función; 
 
La Función inversa es; 
 
Las funciones al tener un elemento del rango que no es imagen de un elemento del dominio, en 
el proceso de función inversa la que se obtiene no se define como función. Por lo tanto, para 
que una función inversa exista, la función inicial tiene que ser biyectiva. (Portal educativo, 
2015). 
4.1.1 Función inversa definida en diagrama sagital 
a) La función que se muestra a continuación relaciona el conjunto A con el conjunto B; 
 
Para identificar y realizar el proceso de demostrar si g-1 función inversa es una función se 
observa que: 
La función en diagrama sagital g no es inyectiva pero si cumple ser sobreyectiva, ya que 
g (a) = 1 y g (b) = 1. 
 
 
 
24 
Entonces, g-1 no es función, teniendo en cuenta que la imagen de a y b es: 
 g-1 (1) = a 
 g-1 (1) = b. 
 b) Dada la función h: A a B; determina si la inversa h-1 es una función. 
 
La función h es inyectiva pero no es sobreyectiva, observe que los elementos 4 y 5, no son 
imagen de ningún elemento de A. Entonces, h-1 no es función. 
 c) Dada la función f: A a B; determina si f-1 es una función: 
 
La función f es biyectiva,. Entonces, f-1 es función. 
 
 
 
 
 
 
25 
4.1.2 Función inversa definida en el plano cartesiano 
Los elementos del dominio son iguales para las funciones f con f-1, si 
f: A → B ^ f-1: B → A, 
f-1 o f: A → A 
Si cada elemento se relaciona con el mismo se define función identidad. Además, si dos 
funciones son inversas su composición es la función identidad. 
 
La gráfica de las funciones es simétrica a la gráfica de la función f (x) = x. 
 Ejemplo: 
A continuación se muestra el plano con la gráfica de la función f (x) = x + 3 y la función inversa 
f-1 (x) = x - 3. 
 
 
 
 
 
 
Para hallar la función inversa: 
 
1º. Realizar cambio de variables, sustituyendo y por x, y 
viceversa. y=f(x). 
 
2º. Despejar la variable y de la ecuación resultante. 
I. 
3º.El resultado será definido como 𝑓¨−1(𝑥) o función 
inversa. 
 . 
 
 
26 
Ejemplo: 
 
Se tiene una función 
 𝑓(𝑥) = 2𝑥^2 + 3 
I. Cambie 𝑓(𝑥) 𝑝𝑜𝑟 𝑌 
 
𝑦 = 2𝑥2 + 3 
II. Cambie las variables 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑥 Y 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑦 
 
𝑦 = 2𝑥2 + 3 
𝑥 = 2𝑦2 + 3 
III. Despeje y de la función x 
𝑥 = 2𝑦2 + 3 
𝑥 − 3 = 2𝑦2 
𝑥 − 3
2
= 𝑦2 
√
𝑥 − 3
2
= 𝑦 
IV. La función resultante y es la función inversa por tanto cambie y por 𝑓¨−1(𝑥) 
√
𝑥 − 3
2
= 𝑓¨−1(𝑥) 
De tal manera que la respuesta es: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠 √
𝑥 − 3
2
= 𝑓¨−1(𝑥) 
 
 
 
27 
4.2 Función par e impar 
 
Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad; las que con pares o impares 
cumplen propiedades. 
 
4.2.1 Función par e impar método algebraico 
 
 
 
La función f(x) = xn: se define como función par si n es un entero par e impar, si n es un entero 
impar. 
 
4.2.2 Función par e impar método gráfico 
 
Función par. Una función se define función par 𝑠𝑖 ∀𝑥 𝑒 𝐷(𝑓 ), entonces la imagen de x y la de 
su opuesto –x coinciden y gráficamente son simétricos respecto del eje OY. 
 
 
 
 
 
 
 
I) Función par: f (− x) = f ( x) 
II) Función impar: f (− x) = − f ( x) 
 
 
 
f(x) = f(–
– x x 
y 
 
 
28 
Función impar. Una función f es impar 𝑠𝑖 ∀𝑥 𝑒 𝐷(𝑓 ) y se cumple la simetría respecto del 
origen. 
 
Ejemplos de funciones de x pares e impares: 
 
 
 
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que 
quiere decir que, su gráfica no se altera por una reflexión sobre el eje y. Una función impar 
posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que, 
su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen. 
Se establecen las siguientes propiedades: 
 
 
 
 f(x) 
– x 
f(–x) = –
x 
y 
x 
y 
x 
y 
 
 
29 
 
Propiedades de funciones pares e impares. 
 
• La única función que cumple ser par e impar es la función cero f(x) = 0 ∀𝑥 𝑒 𝑅. 
• Al sumar una función par y una impar, el resultado no es ni par ni impar. 
• Al sumar funciones con la misma pariedad, el resultado corresponde a la pariedad de 
las funciones del proceso. 
• El producto de dos funciones pares es una función par. 
• El producto de dos funciones impares es una función par. 
• El producto de funciones con diferente pariedad es una función impar. 
• El cociente de dos funciones pares es una función par. 
• El cociente de dos funciones impares es una función par. 
• El cociente de una función par y una función impar es una función impar. 
• La derivada de una función par es una función impar. 
• La derivada de una función impar es una función par. (paridad funciones, 2018) 
 
Ejemplos: 
 
 
3x2 
y 
2x4 3 par y = x3 impar y = x2 – 4x + 3 ni par ni impar 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. CÓNICAS 
 
En esta sección se presenta el comportamiento de las cónicas, para hacer uso de las 
herramientas que permiten simular movimientos. 
 
 
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31 
En el documento de Aragón (2015) anexo, se presenta la clasificación de las cónicas, como 
sección cónica degenerada y no degenerada, superficie cónica; y la gráfica de definición en el 
plano. 
 
Secciones cónicas 
 
Teniendo en cuenta que las secciones cónicas se definen con la intersección de un plano y un 
cono. 
Figura 6. Secciones cónicas 
 
 
Fuente: (Zúñiga, 2016). 
 
 
 
 
Lugar geométrico 
formado por puntos que 
están a la misma 
distancia de un centro 
fijo en el plano.
Lugar geométrico que 
define dos puntos fijos 
llamados focos y la suma 
de distancias de puntos 
del plano es constante.
Lugar geométrico que 
define dos puntos fijos 
llamados focos y la 
diferencia de distancias de 
puntos del plano es 
constante y menos que la 
distancia entre los puntos 
fijos (focos).
Lugar geométrico de los 
puntos del plano que 
equidistan de un punto 
fijo llamado