Algebra Lineal 2020

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1 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA 
 
 
 
UNIDAD 2- Matrices y Determinantes 
 
 
 
 Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales 
 
 LIC. EN GEOFISICA - LIC. EN ASTRONOMIA 
 
 
 
 
 Año: 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Matrices y Determinantes 
 
 I- Objetivos 
Al finalizar la unidad se espera que el alumno sea capaz de: 
• Inferir el concepto de matriz. 
• Manejar con habilidad las operaciones entre matrices y aplicar correctamente las 
propiedades. 
• Diferenciar los distintos tipos de matrices que se presentan. 
• Calcular determinantes a través de diferentes métodos. 
• Aplicar correctamente las propiedades de determinante. 
• Interpretar el concepto de matriz inversa. 
• Calcular correctamente la matriz inversa. 
• Calcular el rango de una matriz 
 
 II- Secuencia de los Contenidos. 
• Origen y definición de matrices. Notación. 
• Igualdad y traza de una matriz. 
• Operaciones entre matrices - Propiedades de las operaciones. 
• Estructura algebraica del espacio de las matrices con las operaciones de suma de 
matrices y producto de una matriz por un escalar 
• Matrices especiales. 
• Submatrices. 
• Determinantes: origen y definición. 
• Determinante de una matriz de orden 2x2 y de 3x3.-Regla de Sarrus. 
• Menor complementario y cálculo de un determinante por cofactores. 
• Regla de Laplace. 
• Propiedades de los determinantes para su posterior aplicación en el cálculo de los 
mismos (triangularización). 
• Matriz Adjunta para obtener el cálculo de la matriz inversa. Matrices elementales 
y equivalentes.-Aplicaciones 
• Rango de una matriz- Aplicaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
MATRICES - DETERMINANTES 
 
1- Introducción 
 
Las matrices son utilizadas en problemas que requieren de métodos algebraicos para ser 
solucionados, estos problemas proceden desde distintas áreas de la matemática, de física, en 
ingeniería, en química, geología, biología, astronomía, sociología, en lenguaje de programación ya 
que la mayoría de ordenadores introducen información organizadas en tablas con filas y columnas 
para trabajar gráficas computarizadas, procesamientos de imágenes, etc. 
 
Estas simplifican el trabajo en diferentes aspectos, uno de los más importantes es en la solución de 
sistemas de ecuaciones lineales con un elevado número de incógnitas, pues usando la representación 
de ellos como “ ecuaciones matriciales” se evitan métodos tediosos como sustitución, igualación. 
 
Otra utilidad es como lista de chequeo que incorpora información cualitativa sobre relaciones causa 
y efecto, pero también es de gran utilidad para la presentación ordenada de los resultados de la 
evaluación. Se utiliza para resolver situaciones que se encuentran en muchas dimensiones cuando se 
tienen problemas que solo se pueden resolver con sistemas de ecuaciones diferenciales, para ello se 
arman matrices con dichas ecuaciones de tal manera que se pueda solucionar problemas de 
economía o de ingeniería ambiental, civil, hidráulica, etc. 
 
El propósito de esta unidad es aprender conceptos y métodos algebraicos: usar símbolos y 
vocabulario para traducir del lenguaje coloquial, a generar expresiones matemáticas resolubles 
desde el Álgebra Lineal. Se practicará en el manejo de procedimientos algebraicos sistemáticos que 
ayudan a resolver, si es posible, sistemas de ecuaciones lineales, se deberá aprender a tener manejo 
tanto de los “conceptos” como de los “métodos” para poder dar solución a problemas que 
relacionan álgebra con otras disciplinas y situaciones cotidianas. Se usarán herramientas como 
calculadora científica o software de cálculo simbólico. 
 
Puedes consultar mas aplicaciones en : 
https://www.youtube.com/watch?v=0hr1zsrGHcY 
https://www.youtube.com/watch?v=I3aiZWmuqTs 
 
1.1- Matrices 
 
A) A continuación se presenta una disposición en filas y columnas de cierta información 
relacionada con “las distancias entre los distintos planetas que conforman nuestro sistema solar”. 
 
 Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno 
Mercurio 0 0.34 0.62 1.14 4.82 9.16 18.84 29.68 
Venus 0.34 0 0.28 0.8 4.48 8.82 18.5 29.34 
Tierra 0.62 0.28 0 0.52 4.2 8.54 18.22 29.06 
Marte 1.14 0.8 0.52 0 3.68 8.02 17.7 28.54 
Júpiter 4.82 4.48 4.2 3.68 0 4.34 14.02 24.86 
 4 
Saturno 9.16 8.82 8.54 8.02 4.34 0 9.68 20.52 
Urano 18.84 18.50 18.22 17.7 14.02 9.68 0 10.84 
Neptuno 29.68 29.3 29.06 28.54 24.86 20.52 10.84 0 
 
1 unidad astronómica= 150 106 km 
 
B) Considera la “gráfica” que une los cuatro puntos en la figura, los cuales son campamentos 
mineros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construya un “arreglo” (o disposición) de cuatro filas y cuatro columnas, que tengan la siguiente 
propiedad: el elemento de la fila “i” (con i = 1,2,3,4) y de la columna “j” (j = 1,2,3,4) vale 
cero si el campamento “i “ no está conectado directamente con el campamento “j “; (es decir : para 
llegar de “i “ a “j “ , debo pasar en el camino, por otro campamento intermedio); y vale uno si el 
campamento “i “ está conectado directamente con el campamento “j “. Además en las posiciones 
de la diagonal principal, colocar cero. 
 
 
C) Considere el siguiente enunciado, genere su representación simbólica por medio de un sistema 
de ecuaciones y su representación matricial: 
 
Los empleados de un campamento se les ha provisto según las necesidades de: botas para alta 
montaña y/o protector auditivo para casco para alta montaña. 
El precio de cada par de botas es de $7000 en el mercado y el de protector auditivo para casco fue 
de $ 2500. El gasto realizado en calzado y complementos de seguridad fue de $310000. 
Se ha adquirido un total de 70 de estos elementos. ¿Cuántos equipos de cada tipo se adquirieron? 
 
 
El uso de la notación matricial permite considerar un arreglo de muchos números (elementos en 
general), como un solo objeto designado por un símbolo. Se pueden expresar así de manera sintética 
relaciones entre los grandes conjuntos de números que surgen con frecuencia en las aplicaciones. 
Cuanto más complicado es el problema, más útiles resultan las matrices ( notación concisa para 
almacenar información). Quizás sea aún más importante el hecho de que las matrices proporcionan 
conocimientos que no podrían obtenerse fácilmente a través de otros medios. La noción de matriz 
no solamente nos suministra una nueva visión de problemas antiguos, sino que también da origen a 
muchos nuevos temas. 
 
1.1.1- Definición: Una matriz es un arreglo rectangular (ordenado) de elementos. 
 5 
 
Nota: Solo trabajaremos con matrices cuyos elementos sean números reales. 
 
Debe tener en cuenta la bibliografía que utilice para usar las notaciones adecuadas. 
Por lo general: 
� Los elementos de la matriz aparecen enunciados entre corchetes o paréntesis. 
� La matriz se la denota con una letra mayúscula. Por ejemplo: A ; M ; D ; I ; etc. 
� El tamaño de la matriz está especificado por el número de filas y de columnas que la 
conforman. En general se dice: mxn. 
 
A continuación, se presentan algunos ejemplos de matrices. 
 
 
Ejercicio: En los ejemplos presentados indique el tamaño de cada una de las matrices. 
 






−
=
572
08
,
A , 




 π
=
3 22
B , 





=
000
000
O , 





=
10
01
I , 










−=
700
040
001
D , 





π−= 221
5
2
C 
Las matrices presentadas en este ejemplo tienen los siguientes tamaños: 
•La matriz A es de tamaño 2 filas y 2 columnas; lo cual se dice: A es de 2 x 2 ó A2x2 
•La matriz B es de tamaño ………………… 
•La matriz O es de tamaño………………… 
•La matriz I es de tamaño………………….. 
•La matriz D es de tamaño…………………. 
•La matriz C es de tamaño…………………. 
 
A continuación, se generaliza la notación para una matriz de cualquier tamaño. 
Así, una matriz A de orden m x p es una matriz que tiene m filas y p columnas con una cantidad 
total de m x p “elementos”. 
A dicha matriz se la puede expresar: 
 
( ) ( )
{ }
{ }p,...,j
m,...,iijmxpij
mpmm
p
p
aa
aaa
aaa
aaa
A
1
1
21
22221
11211
∈
∈
==














=
L
MLMM
L
L
 
 
Nota: La expresión aij representa a cualquier elemento de la matriz A, que se encuentre en la fila i y 
columna j. Por ejemplo: a21 representa al elemento de la matriz A que está en la fila 2 y columna 1. 
 
Ejercicio: Indique el valor de los elementos: 
 
 
 6 
(para el primer sistema) 
(para el primer sistema) 
(para el primer sistema) 
El elemento a12 de la matriz A, es……….. 
El elemento a22 de la matriz A, es……….. 
El elemento b31 de la matriz B, es…..…… 
El elemento o23 de la matriz O , es…….… 
El elemento c12 de la matriz C, es…….… 
El elemento d13 de la matriz D, es…….… 
 
Nota: Se verá que algunas matrices, por sus características son llamadas de una manera especial. 
Así, tomando en cuenta los ejemplos de sistemas lineales vistos en el inciso C), permiten señalar 
esas matrices especiales: 
Matriz de Coeficientes ⇒ 





=
11
25007000
A 
 
 Matriz de Incógnitas ⇒ 





=
y
x
X 
Matriz de Términos Independientes ⇒ 





=
70
310000
B 
 
Más adelante, cuando aprenda a “multiplicar matrices”, verá que el sistema lineal dado puede 
expresarse como la “Ecuación matricial A.X = B”. 
 
1.1.2- Igualdad de matrices 
 
Definición: 
 
Dadas las matrices ( )
mxpij
aA = y ( )
nxrij
bB = , se dice que A es igual a B si: 
 1) m = n y p = r (esto es A y B tienen el mismo orden) 
 2) aij = bij para todo i,j 
Observe que no basta pedir que dos matrices tengan elementos iguales para que lo sean, por 
ejemplo: 
 






=
00
00
A 





=
000
000
B resulta que A ≠ B 
 
 
Notación: Se denotará Mmxp = { }p x morden de matriz una es AA 
(se lee: el conjunto de las matrices de orden mxp). 
 
 1.1.3- Matrices Especiales 
 
Atendiendo al orden de la matriz, y a la disposición de sus elementos, una matriz A∈Mmxp , se la 
puede clasificar como: 
 
• Matriz Rectangular: Se llama así a la matriz en la cual m ≠ p. 
 Por ejemplo: 
 7 
 










−=
5
2
1
A 




 −−
=
472
521
B 
 
• Matriz Cuadrada: Es la matriz en la cual m = p 
Por ejemplo: 






−
−
=
06
231.0
C 










−−
−
=
906
6.412
035.0
H [ ]4Q −= 
• Matriz Triangular Superior: Es aquella que cumple: 



>∀=
=
ji0a
pm
ij
 
• Matriz Triangular Inferior: Es aquella que cumple 



<∀=
=
ji0a
pm
ij
 
Ejemplos: 
SuperiorTriangular
00
120
43121
R










π−
−
= 
InferiorTriangular
621
0521
007
Q










−−
−= 
• Matriz Nula (Matriz Cero): Es aquella matriz en la que se verifica: 
{ }
{ }1,..pj 
1,..mi 
 0aij ∈∀
∈∀
= 
 Ejemplo: 
 [ ]000O 
00
00
O 
0
0
O 321 =





=





= 
• Matriz Fila: Si m = 1 cualquiera sea p. 
Ejemplo: 
[ ]321F1 −= [ ]435.21F2 −= [ ]5F3 −= 
• Matriz Columna: Si p = 1 cualquiera sea m. 
 Ejemplo: 
 










=










−
−
=
11.0
1.0
0
C
4
7
2.1
C 21 
• Matriz Diagonal: Si m = p y aij = 0 ∀ i ≠ j 
 Ejemplo: 
 









−
=
200
050
001
D1 




−
=
210
05.7
D2 
• Matriz Escalar: Si m = p y 


 ≠∀
=
=
i todopara
ji
Ka
0a
ii
ij 
Ejemplo: 
 8 










−
−
−
=





=
300
030
003
E 
40
04
E 21 
• Matriz Identidad: Si m = p y 


 ≠∀
=
=
i todopara
ji
1a
0a
ii
ij 
Ejemplo: 










=





=
100
010
001
10
01
2 3I I 
 
• Matriz de Probabilidad o Estocástica por columnas: Si m = p y ( 10 ≤≤∀∀ aij : j i y 
1=∑
=
ij
m
1i
a , j∀ fijo ) 
Ejemplo: 










=





=
2302500
72050090
05025010
10
01
1
,,
,,,
,,,
F F 2 
 
Nota : Se llama doblemente estocástica si además lo es también por filas. 
 Ejemplo: 
 










=





=
85005010
08020
15015070
10
01
1
,,,
,,
,,,
G G 2 
 
Observación: Relación entre Vectores y Matrices 
 
Se define a un “Vector Renglón de n−componentes” al conjunto “ordenado” de n−números, escritos 
en la forma: 
 ( )n21 x,...,x,xx =
r
 con xi ∈ ℜ ; i = 1,...,n 
Por ejemplo: En el espacio ℜ 2 un vector renglón es de la forma: ( )3;2x −=r 
 En el espacio ℜ 3 será: ( )2;7;2.1y −=r 
Un “Vector Columna de n−componentes”, es el conjunto “ordenado” de n−números escritos en la 
forma: 
 














=
n
2
1
x
x
x
x
L
r
 con xi∈ℜ ; i = 1,...,n 
Por ejemplo: En el espacio ℜ 2 será: 




 −
=
5
1
a
r
 y en el espacio ℜ 3 será: 










−=
14.3
5.2
21
b
r
 
Cada elemento del vector se llama “k−componente” siendo “k” la ubicación de la misma. 
Por ejemplo: en el vector y
r
∈ ℜ 3, es 7 la segunda componente del vector. 
 
 9 
La palabra “ordenado” es esencial. Dos vectores con las mismas componentes escritas en 
“diferente” orden no son iguales. 
Por ejemplo: ( )3;2a −−=r ∈ℜ 2 y ( )2;3b −−=
r
 ∈ℜ 2 tienen las mismas componentes escritas en 
diferente orden, y sin embargo no son iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2- Aritmética Matricial 
 
1.2.1- Adición de Matrices 
 
Definición: Sean A y B matrices del mismo tamaño. La suma A + B es la matriz que se obtiene al 
sumar elementos correspondientes de A y B. 
Esta matriz A + B será del mismo tamaño que las matrices A y B. 
Si A y B no son del mismo tamaño, no se pueden sumar, y se dice que la suma no existe. 
 
En símbolos: 
Sean ( )
mxpij
aA = y ( )
mxpij
bB = (del mismo tamaño) 
 
Luego C = A + B =( )
mxpij
c del mismo tamaño que las dadas, 
 
donde cij = aij + bij con 
{ }
{ }

∈
∈
p,...,2,1j
m,...,2,1i
 
 
Ejemplo: 
Sean 





−
=
320
741
A , 




 −
=
031
520
B , 









−
=
0
7
3
014
520
101
C , 





−−−
−
=
222
5103 ,
D 
 
∗ Determinamos: A + B 






=





++−+
+−++
=+
311
1221
033210
57)2(401
BA 
 
∗ Determinamos: D + B 
=





=+
____________
____________
BD 
 
 10 
∗ ¿Puede calcular A + C o B + C? ¿Por qué? 
 
No se pueden calcular dichas sumas, pues no tienen el mismo tamaño. Se dice que no son 
conformables para la suma. 
 
 
 
Investiga que matrices obtienes cuando realizas C+C , (C+C)+C 
 
 
 
1.2.2- Multiplicación de una Matriz por un escalar. 
 
Definición: Sea A una matriz, y sea k un escalar real . Se denota con k.A, a la matriz que se 
obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por k.La matriz k.A será del mismo tamaño que la matriz A. 
 
En símbolos: 
 Sea ( )
mxpij
aA = i ∈{1,...,m} ; j ∈{1,...,p} 
 Sea k ∈ℜ ; luego si B = k.A , ( )
mxpij
bB = ⇒ bij = k.aij con 
{ }
{ }

∈
∈
p,...,,j
m,...,,i
21
21
 
Ejemplo: 
 Sea 





−
−
=
603
512
A 
 
∗ Determinar (−2).A 
 
 Sea B = (−2).A ⇒ 





−
−−
=





−−−−
−−−−
=
1206
1024
6).2(0).2()3)(2(
5).2()1)(2(2)2(
B 
 
Observe que A y (−2).A son matrices de 2 x 3. 
 
 
∗ Determinar (−1).A 
 
 Sea C = (−1).A ⇒ 





−
−−
=





−−−−
−−−−
=
603
512
610131
511121
).().())((
).())(()(
B 
 
 
Investiga que matrices obtienes cuando en k.A, se tiene k=1 ó k=0 
 
 
 
1.2.3- Diferencia o Resta de Matrices. 
 
Se define −A (Se lee la opuesta de A), como la matriz (−1).A. Esto significa que para “hallar la 
opuesta” de una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por (−1). 
 11 
 
Por ejemplo: 
 






−
−
=
263
701
A entonces 





−−
−
=−
263
701
A 
 
Nota: Ahora definimos la resta de matrices de manera que sea compatible con la adición, la 
multiplicación escalar. 
 Sea A − B = A + (−B) 
 
Esta definición, implica que la sustracción, se lleva a cabo entre matrices del mismo tamaño, 
sustrayendo elementos correspondientes. 
 
Ejemplos: 
 Sea 





−
−
=
563
205
A y 




 −
=
640
182
B . 
 
∗ Determine A − B 
 






−
−−
=





−−−−
−−−−−
=−
1123
183
654603
)1(28025
BA 
 
∗ Determine B − A 
 






−−
−
=−
1123
183
AB 
 
Ejercicio: Indique el resultado de AB 3− 
 
 






=−
____________
____________
AB 3 
 
 
Nota: Para facilitar el uso de las operaciones que se acaban de definir, es conveniente conocer que 
propiedades poseen. 
 
Propiedades de la adición de matrices y de la multiplicación por un escalar 
 
Sean ( )ijaA = ; ( )ijbB = ; ( )ijcC = elementos de Mmxp 
Sean α y β números reales. Luego: 
 
 S1) La suma es asociativa. 
Sean A, B, C del conjunto Mmxp , luego se verifica la identidad: 
(A + B) + C = A + (B + C ) 
 12 
 S2) Existe un elemento (neutro para la suma) O ∈ Mmxp tal que para toda A ∈ Mmxp es: 
 A + O = O + A = A 
S3) Para toda matriz A ∈ Mmxp existe (−A) ∈ Mmxp (llamada Matriz Opuesta Aditiva de A) tal que 
 A + (−A) = (−A) + A = O 
 S4) La suma de matrices es conmutativa. 
 Para toda A , B ∈ Mmxp se cumple: 
 A + B = B + A 
 S5) El producto de matrices por un número real es distributivo respecto a la suma de matrices. 
 Dado α ∈ ℜ y para toda A , B ∈ Mmxp se cumple: 
 α (A +B) = αA + αB 
 S6) El producto de la matrices por números reales es distributivo con respecto a la suma de 
números reales. 
 Para todo α , β ∈ ℜ y A ∈ Mmxp se verifica:(α + β) A = αA + βA. 
 
 S7) El producto de números reales por una matriz es asociativo. 
 Para todo α , β ∈ ℜ y A ∈ Mmxp se verifica: 
 (α.β) A = α.(β.A) 
 S8) El producto de una matriz A ∈ Mmxp por el número 1, da por resultado la matriz A. 
 Para toda A ∈ Mmxp se verifica: 1.A = A 
 
 
Nota: Recuerda estas propiedades enunciadas; para que más adelante otorguemos al conjunto Mmxp 
con estas operaciones (adición y multiplicación por un escalar) la categoría de Espacio Vectorial 
Real. 
 
 
1.2.4- Multiplicación de Matrices 
 
 
Definición: Sean A = (aik) ∈ Mmxn y B = (bkj) ∈ Mnxr, donde el número de columnas en la matriz 
A, es el mismo que el número de renglones de una matriz B , entonces existe el producto A.B. El 
elemento en el “renglón i” y la “columna j” de A.B se logra sumando los productos que se obtienen 
al multiplicar elementos correspondientes del renglón i de A y de la columna j de B. 
 
En símbolos: 
 Sean A = (aik) ∈ Mmxn y B = (bkj) ∈ Mnxr , donde C = A.B = (cij) ∈ Mmxr 
 tal que: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj =∑
=
n
1k
kjik ba ; i ∈ {1 ,..., m} y j ∈ {1 , 2, … , r} 
Notas: 
1)Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B, se dice que el producto no 
existe. 
 13 
2) La manera más natural de multiplicar dos matrices A y B parecería multiplicar elementos 
correspondientes de A y de B, pero sin embargo, se ha encontrado que esta no es la manera más útil 
para hacerlo; la forma más ventajosa es la definida como precede. 
 
Formas para realizar el producto matricial : 
 
Forma 1: Visualizar esta operación mediante el esquema: 
 
 
 
Forma 2: Para hallar el elemento “cij” de A.B se deben aislar el renglón i de A y la columna j de B 
 
[ai1 ai2 ... ain] 














nj
j2
j1
b
b
b
L
= [ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj ] =[cij ] =[ ∑
=
n
1k
kjikba ] 
 
 
Ejemplo: Dadas las siguientes matrices: 
 





=
02
31
A 





−
=
623
105
B 










−=
4
2
1
C 










−
−−
−
=
34
11
20
D 
 
∗ A continuación se analizan cuales de los siguientes productos están definidos: 
A.B ; B.A ; B.C 
 
A . B 
 2x2 2x3 
 
 
 = 
 
 
B . A 
 2x3 2x2 
 
 
 ≠ 
Este producto es posible y el resultado será una 
matriz de tamaño 2x3 
Este producto no es posible . 
 14 
 
 
 
B . C 
 2x3 3x1 
 
 
 = 
 
* Siguiendo la propuesta anterior determinar cual de los siguientes productos están definidos 
A.C ; C.A ; A.A ; C.B ; B.B 
 
 * Resolvamos A.B 
 
Forma 1 : 
 
 
 





−
=
6
1
23
05
B 
 
 
 
 





=
02
31
A 





+
+
−++
−++
6012
6311
20023052
23013351
..
..
).(...
).(...
= 




 −
2010
19614
 
 
 
Forma 2 : 
 
 
 
 





=
02
31
B . A . 





− 623
105
= 





232221
131211
rrr
rrr
 
 
 
[ ] 143351
3
5
3111 =+=





= ...r 
[ ] 62301
2
0
3112 −=−+=





−
= ).(..r 
[ ] 196311
6
1
3113 =+=





= ...r 
[ ] 103052
3
5
0221 =+=





= ...r 
[ ] 02002
2
0
0222 =−+=





−
= ).(..r 
[ ] 26012
6
1
0223 =+=





= ...r 
Este producto es posible y el resultado será una 
matriz de tamaño 2x1 
 15 
 
Con lo cual resulta que A. B = 




 −
2010
19614
 
 
Ejercicio: Indique , en caso de ser posible, el resultado de C.D;D.B;A.D 
 
 










=A.D 










=D.B 
D.C










= 
 
* Siguiendo la propuesta anterior, de los productos analizados que son posibles calcúlalos. 
 
 
Tamaño de una Matriz Producto 
 
Si A ∈ Mm x r y B ∈ Mr x n , entonces A.B ∈ Mmxn 
Esto se representa gráficamente así: 
 
A.B de tamañoeldan 
iguales interiores
BA n x rr x m
 
 
Ejemplo: 
 
Si A es una matriz de 5 x 6 y B una matriz de 6 x 2. ¿Cuál es el tamaño de A.B? 
 A5x6 . B6x2 = A.B5x2 
 
 
Ejercicio: Dadas las siguientes matrices: 
 





=
02
31
A y F3x3 
 
 
 
Investiga que matrices obtienes cuando realizas : A. A ; (A.A).A ; ((A.A).A).A ; F.F 
 
 
 
 16 
Nota importante:Se pueden enunciar algunos resultados interesantes del producto de matricescomparando con el producto de números reales. 
 
I ) A diferencia de la multiplicación de números reales, la multiplicación de matrices, no es 
conmutativa. En general para dos matrices A y B; A.B ≠ B.A. Algunas veces existen tanto A.B 
como B.A, pero en raros casos son iguales. 
 
 
II) En la teoría de matrices, las matrices cero juegan un papel semejante al del cero con los números 
reales, y las matrices identidad juegan un papel semejante al del 1. 
 Sea A ∈ Mnn y O ∈ Mnn ⇒ A . On = On . A = On 
 Sea A ∈ Mnn y I ∈ Mnn ⇒ A . In = In . A = An 
 
 
III) En Álgebra son conocidas las leyes de cancelación. 
 Si a.b = a.c y a ≠ 0 ⇒ b = c 
 Si p.q = 0 ⇒ p = 0 ó q = 0 
 Sin embargo las leyes correspondientes para matrices no son válidas: 
• A . B = A . C no implica que B = C 
• P . Q = O no implica que P = O ó Q = O 
 Verificarlo con las siguientes matrices: 
 
 Considera las matrices: 





=
42
21
A 




−
=
12
21
B 





−
−
=
23
83
C 
 Observa A . B y A . C ¿Qué observas? 
 
 Considera las matrices: 





−
−
=
42
21
P 





−
−
=
31
62
Q Calcula P . Q ¿Qué observas? 
 
Propiedades de la Multiplicación de Matrices. 
 
Sean A, B y C matrices, y k un escalar. Suponga que las matrices son de tamaños tales que se 
puedan realizar las operaciones que se indican. 
 
 M1) A . (B.C) = (A.B) . C Propiedad Asociativa de la multiplicación. 
 M2) A . (B + C) = A.B + A.C Propiedad Distributiva de la multiplicación. 
 M3) (A + B) . C = A.C + B.C Propiedad Distributiva de la multiplicación. 
 M4) A.In = In.A = A (Donde In es la matriz identidad adecuada). 
 
 
 





=
10
01
I 
 
 
 
 





=
02
31
A 





++
++
 ....
 ....
10020012
13010311
= A=





02
31
 
 
 17 
 
 
 M5) a (A.B) = (aA) B = A (aB) Propiedad Asociativa del producto por un escalar. 
 
1.2.5- Potencia de Matrices. 
 
• Si A es una matriz cuadrada, llamaremos potencia de A y se escribe: 
 44 344 21
vecesk
k A..................A.AA
−
= , k∈N 
• Las reglas conocidas de los exponentes para números enteros no negativos, se satisfacen para 
matrices cuadradas : 
 1) Ar As = Ar + s 2) ( ) srsr AA = 3) A0 = In ; con A matriz no nula. 
 
Ejercicio: a) Calcula E2 ; E4, em base a la matriz 





−
−
=
01
21
E 
 
 










=





−
−






−
−
=
01
21
01
212 .E 
 










=




















= .E4 
 
 b) Sean A y B matrices cuadradas de igual orden, simplifica la siguiente expresión 
matricial, teniendo en cuenta las propiedades del producto de matrices: 
 A (A + 2B) + 3B ( 2A − B) − A2 + 7B2 − 5AB 
Ahora se presenta un número que se le asocia a una matriz cuadrada, llamado “traza de una matriz”. 
 
1.2.6- Traza de una matriz 
 
Definición: Sea A una matriz cuadrada. La traza de A denotada por Traz (A); (trace(A)); es la 
suma de los elementos de la diagonal principal de A. 
Si A ∈ Mnxn ⇒ Traz (A) = a11 + a22 + ... + ann =∑
=
n
1i
iia 
Ejercicio: Determinar la traza de B = 










−
−−
702
457
321
 
 Traz (B) = 1+ (−5) +7 = 3 
 
Propiedades de la Traza 
 
Sean A, B matrices, y k un escalar. Suponga que las matrices son de tamaños tales que se puedan 
realizar las operaciones que se indican. 
 
 T1) Traz (A + B) = Traz (A) + Traz (B) 
 18 
 T2) Traz (A . B) = Traz (B . A) 
 T3) Traz(kA) =k Traz (A) 
 T4) Traz (AT) = Traz(A) 
 
1.2.7- Transposición de Matrices. 
 
Definición: Sea A ∈ Mmxn , llamaremos transpuesta de la matriz A, y lo indicaremos con AT, a 
la matriz cuyas columnas son los renglones de la matriz A dada. 
Así, el elemento (i,j) de A se convierte en el elemento de (j,i) de AT. 
Si A ∈ Mmxn ⇒ AT ∈ Mnxm 
 
Ejemplo: Determinar la transpuesta de las siguientes matrices; e indicar el tamaño. 
 
2x208
72
A 





−
= 
1x33
1
0
B










−= [ ] 2172 xH −= 
Solución: 
 
22
07
82
x
TA 




 −
= [ ] 31310 xTB −= 
12
7
2
x
T
H 





= 
 
 Propiedades de la Transpuesta 
 
Sean A y B matrices, sea k un escalar. Suponga que los tamaños de las matrices son tales que se 
pueden realizar las operaciones que se indican: 
 
T1) (A + B)
T = AT+ BT Transpuesta de una suma. 
T2) (kA)
T = k . AT Transpuesta de un múltiplo escalar. 
T3) (A.B)
T= BT. AT Transpuesta del producto. 
T4) (A
T)T = A Transpuesta de la transpuesta. 
 
 
Ejercicio: Obtenga la matriz transpuesta, de las matrices del inciso B) y C) de la introducción de 
matrices. 
 










=⇒










= TEE 
 










=⇒










= TAA 
 
 19 
[ ]=⇒










= TBB 
 
Ejercicio: a) Encuentre la transpuesta de 










−
−
=
243
401
311
A y luego compare AT y A. 
b) La conclusión que obtuvo en el apartado anterior ¿Es válida para cualquier matriz 
cuadrada? 
 
1.2.8- Matrices Antisimétricas 
 
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, decimos que A es una matriz antisimétrica , 
si es igual a la opuesta de su transpuesta. 
 A es antisimétrica ⇔ A = −AT ⇔ aij =



≠
=
ji cuando a-
ji si 
ji
0
 ∀ i ∀ j ∈ {1 , 2 , …., n} 
 
Ejemplo: Como verificar que las siguientes matrices son antisimétricas: 










−−
−
=





−
=
032
306
260
08
80
22
B;A
x
 
Solución: 
 Calculamos : −AT = =





−
−
T
08
80
=




 −
−
08
80
A=





− 08
80
 ⇒ A es antisimétrica 
 
Calculamos : −BT = 
T










−−
−
−
032
306
260










−−
−
−=
032
306
260
= B ⇒ B es antisimétrica 
 
 
1.2.9- Matrices Simétricas 
 
Las “matrices simétricas”, son quizás la clase más importante de matrices, ya que se utilizan en 
áreas de las matemáticas, como geometría, la ingeniería mecánica y eléctrica, la física teórica, etc. 
 
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, decimos que A es una matriz simétrica , si 
es igual a su transpuesta. 
 A es simétrica ⇔ A = AT ⇔ aij = aji ∀ i ∈ {1 , 2 , …., n} ∀ j ∈ {1 , 2 , …., n} 
 
Nota: En una matriz simétrica, todos los elementos no diagonales se presentan en pares situados 
simétricamente respecto de la diagonal principal. 
 
Observa en un caso particular, para A ∈ M3x3 
 20 
 










=
qrz
rwy
zyx
A 










=⇔
qrz
rwy
zyx
A T 
 
Ejemplo: Como verificar que la siguiente matriz es simétrica: 
22
38
87
x
A 





−
= 
 
Solución: Calculamos : AT = =





−
T
38
87
=





− 38
87
A ⇒ A es simétrica 
 
Teorema: Sean A y B matrices simétricas del mismo tamaño, entonces el producto A.B es 
simétrico sí y solo sí A.B = B.A 
 
Demostración: Para la demostración se tiene que tener en cuenta el “sí y solo sí”; por lo tanto hay 
que mostrar: 
I) que si A.B es simétrica entonces A.B = B.A 
II) que si A.B = B.A entonces A.B es simétrica. 
 
I) Sea AB simétrica. Entonces: 
 AB = (A.B)T por definición de matriz simétrica. 
 = BT.AT según la transpuesta del producto.= B.A porque B y A son simétricas. 
 
II) Si A.B = B.A Entonces. 
 (A.B)T = (B.A)T aplica transpuesta miembro a miembro. 
 = ATBT transpuesta del producto. 
 = A.B porque A y B son simétricas. 
 
 
 
1.2.10- La Inversa de una Matriz 
 
Nota: La inversa de matrices solo se aplica a matrices cuadradas. 
 
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn. Si se puede encontrar una matriz B tal que 
A . B = B . A = In; Entonces se dice que A es invertible, regular (o no singular); y a la matriz B se 
la llama “la inversa de A”, y se la indica B=A-1. 
 
Nota: Una matriz cuadrada que no tiene inversa se llama no invertible, o matriz singular. 
 
Ejercicio: Demuestre que la inversa de la matriz: 





=
43
21
A , es : 








−
−
=
2
1
2
3
12
B 
 
 Solución: Para probar que B es la matriz inversa de A se debe verificar que 
 A . B = B . A= I 
 
 21 
I
10
01
232
3
2
3
4432
43
21
.
2
1
2
3
12
B.A
I
10
01
2366
1132
2
1
2
3
12
.
43
21
A.B
=





=








−−
+−+−
=













−
−
=
=





=





−+−
−+−
=








−
−






=
 
 
Luego, B es la matriz inversa de A ( y recíprocamente A es la inversa de B). 
 
Teorema: La matriz inversa de una matriz invertible es única. 
 
Demostración: Suponga que las matrices B y C son la matrices inversas de A. 
 
Por lo tanto A . B = B . A = I � 
 A . C = C . A = I � 
 
Multiplicando en � miembro a miembro por C 
 
 C . A . B = C . B . A = C . I 
 
{ {
CB
I . CB . I
I . C A) . (B . C B . A) . (C
=
=
==
321321
 
En consecuencia una matriz invertible solo tiene una inversa. 
 
Notación: Sea A una matriz invertible, su inversa se denota por A−1. 
 
Propiedades de Matrices Invertibles 
 
Teorema: Si A es una matriz invertible entonces A−1 es también invertible y se verifica: 
 (A−1)−1 = A 
 
Teorema: Si A es una matriz invertible entonces AT es también invertible y se verifica: 
 (AT)−1 = (A−1 )T 
 
Teorema: Si A es una matriz invertible y m≥0, entonces Am es también invertible y se verifica: 
 (Am)−1 = (A-1)m 
 
Importante: Esta última propiedad permite definir la potencia negativa de una matriz : A- m =(A-1)m 
 
Teorema: Si A y B son matrices invertibles (no singulares) y de orden n, entonces A . B es 
invertible y se verifica: (A.B)−1 = B-1.A-1 
 
Teorema: Para cualquier k escalar, k ≠ 0, la matriz A invertible, entonces kA es también 
invertible y se verifica: 
 ( ) 11 A
k
1
kA −− = 
 
 22 
Importante: Si una matriz C tiene inversa entonces son válidas las leyes cancelativas del producto. 
a) A.C = B.C ⇒ A=B 
b) C.A =C.B ⇒ A=B 
 
a) Demostración: Suponga que la matriz C tiene inversa, la cual es C-1 
 
 Partimos de la igualdad : A.C = B.C 
 
 Post multiplicando a ambos lados de la igualdad con la inversa de C, se tiene: 
 
 (A.C).C-1=(B.C).C-1 , asociando 
 
 
4342143421
I:BI.A
)C.C.(B)C.C..(A 11 −− = 
 
} }
 B A = 
 
 
Ejercicio: Realizar la demostración de la propiedad b) 
 
 
 
Problema: Hasta ahora se utiliza el término de matriz inversa, pero ¿Cómo se obtiene la inversa de 
una matriz? 
 
Por ahora, solo la podemos obtener por medio de algún método de solución de sistemas, pero más 
adelante, cuando se estudie la función determinante de una matriz cuadrada, se dará un algoritmo 
(fórmula) para obtener la inversa de una matriz no singular. 
 
Ejercicio: Dadas las matrices 
 





−
=
21
01
M y 





−
=
30
12
R Determinar M−1 y R−1 
 
Solución: Tomando en cuenta que por ahora el alumno solo resuelve sistemas lineales de orden 
2x2 (o a los más de 3x3), solo se puede intentar el cálculo de la inversa de una matriz invertible de 
la siguiente forma: 
 
Por definición, si M es no singular entonces existe una única matriz M−1 tal que debe cumplirse: 
 
 M.M−1 = M−1.M = I2 luego: 
 






=











− 10
01
dc
ba
.
21
01
 de donde 





=





+−+− 10
01
d2bc2a
ba
 
 
Resultando de la igualdad de las matrices: 
 
 23 








=⇒














=⇒=⇒=+−
=⇒=⇒=+−
=
=
−
2
1
2
1
01
M
2
1d1d21d2b
2
1c1c20c2a
0b
1a
1 (inversa a derecha) 
 
Probemos si es válida como inversa por la izquierda: 
 
 M−1.M = I ⇒ 2I10
01
102
1
2
1
0001
21
01
.
2
1
2
1
01
=





=








+−
++
=





−







 
 
Luego: M –1








=
2
1
2
1
01
 es la matriz inversa de M. 
 
Nota: De la misma manera trabaje para encontrar la matriz inversa de R. 
 
 
Ejercicios: Sean las matrices 












=










=










=
100
0
2
1
2
1
0
2
1-
2
1
P , 
'c
'b
'a
 ' X , 
c
b
a
X , 










−
−−
=
130
301
012
A 
 Calcular : 1) XT.A.X 
 2) D= PT.A.P ( trabajar en P con los valores exactos) 
 3) ( ' X ) T. D. ( ' X ) 
 4) Sustituir X=P. ' X en el cálculo 1), aplicar propiedades de traspuesta 
 hasta llegar al cálculo obtenido en 3) 
 
Teorema: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, entonces A se puede escribir de forma única 
como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. 
 
Demostración: Supongamos que A= S+K , con S matriz simétrica ⇒ S= ST � 
 con K matriz antisimétrica ⇒ K= −KT � 
 
 
 Calculemos la matriz traspuesta de A : 
 
 AT=(S+K)T= ST + KT = S + KT =S − K 
� � 
 
 A = S + K 
 
 + 
 AT= S −K 
 
 A+ AT= 2 . S ⇒ S= )AA.( T+
2
1
 
 24 
 
 
 
 
 A = S + K 
 
 − 
 AT= S −K 
 
 A− AT= 2 . K ⇒ K= )AA.( T−
2
1
 
 
 
Revisemos que S es una matriz simétrica : 
 
ST=
T
T )AA.( 




 +
2
1
= [ ]TTT )A(A +
2
1
= [ ]AAT +
2
1
= [ ] SAA T =+
2
1
⇒ S es simétrica. 
 
Revisemos que K es una matriz antisimétrica : 
 
−KT= −
T
T )AA.( 




 −
2
1
= − [ ]TTT )A(A −
2
1
= − [ ]AAT −
2
1
= [ ] KAA T =−
2
1
⇒ K es antisimétrica. 
 
Ejercicio: Para completar la demostración resta probar la unicidad de la descomposición de A como 
suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 
 
Ejemplo: Descomponer la siguiente matriz como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica: 
 
A= 





− 82
50
 
 
Solución: 
 
 Por el teorema anterior: A= S+K , con S matriz simétrica y K matriz antisimétrica , 
donde : 
 
 
S= [ ] 





=





=











 −
+





−
=+
851
510
163
30
2
1
85
20
82
50
2
1
2
1
,
,
AA T 
 
[ ] =−= TAAK
2
1






−
=





−
=










 −
−





− 053
530
07
70
2
1
85
20
82
50
2
1
,
,
 
 
Entonces: A= S+K = =





−
+





853
530
851
510
,
,
,
,






− 82
50
 
 
 
 
 25 
1.3- Determinante 
 
Anteriormente, se asoció a una matriz cuadrada un número real, llamado traza de A. 
A continuación, nuevamente a una matriz cuadrada le asociaremos un número real, que se le llama 
“determinante”. 
El determinante de una matriz se usa en muchas ramas de las matemáticas, y de las ciencias. 
Veremos más adelante que el determinante da información acerca de las soluciones de un sistema 
lineal y también se utiliza en una fórmula para calcular la inversa de una matriz. 
Por ahora solo se define el determinante y se desarrollan sus propiedades. 
 
Nota: Se mostrarán técnicas para calcular un determinante, llegando a la regla general en forma 
inductiva. Es decir, que: 
Inicialmente, se definirá el determinante de una A ∈ M2x2. 
Posteriormente, se definirá el determinante de una A ∈ M3x3 en términos del determinante de A 2x2. 
Finalmente, se definirá el determinante de una A ∈ Mnxn, siendo n cualquier valor natural. 
 
I) Determinante de una matriz A ∈ M1x1 
 
Definición: El determinante de una matriz A de 1x1 se denota por |A| o det (A), y es el 
número real dado por: 
 
 1111 aaA == 
 Nota: Si la matriz es de orden 1x1, no confundir su determinante con el valor absoluto de un 
número. 
 
II) Determinante de una matriz A ∈ M2x2 
 
Definición: El determinante de una matriz A de 2x2 se denota por |A| o det (A), y es el 
número real dado por: 
 
 21122211
2221
1211 a.aa.a
aa
aa
A −== 
Note que el determinante de una matriz de 2x2 está dado por la diferencia de los productos 
de las dos diagonales de la matriz. 
 
Ejercicio: Dadas las matrices: 




 −
=
42
11
A , 





=
32
21
B , P= 





−
−
=





− 102
51
03
04
22 Q,I, x . 
Calcule el determinante de ellas. 
 
 Solución: 
 
 =
−
=
42
11
)A(det 1 . 4 − (−1) . 2 = 4 + 2 ⇒ |A| = 6 
 
 ==
32
21
)B(det 1 . 3 − 2 . 2 = 3 − 4 ⇒ |B| = −1 
 
 det(P)= det 





− 03
04
= 4.0 − 0.( −3) =0 
 26 
 
 det( 22xI )= det 





10
01
 =1.1 −0.0 = 1 
 
 det(Q)= det 





−
−
102
51
= 1.( −10) − (−5).2 =0 
 
 
 Ejercicio: Calcule el determinante de cada una de las matrices dadas: 
 
 






=





=





=





−
=
11
11
00
00
40
04
10
058
ROK
,
D
 
 
 
III) Determinante de una matriz A ∈ M3x3 
 
 Definición: El determinante de una matriz A ∈ M3x3 es el número real dado por: 
 ==
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
)A(det 
 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a23 a32 a11) 
 
 
Regla de Sarrus ( sólo para matrices de orden 3x3) 
 
El mismo consiste en agregar las dos primeras columnas de A y se forman los productos de los 
elementos que atraviesan las flechas. A las flechas que van de la izquierda superior a la derecha 
inferior se les asigna el signo más( son las de trazo simple); y a las otras el signo menos( son las de 
trazo doble). A continuación se suman todos los productos con signo: 
 
 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa














 
 
det(A)= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11 
 
 
 
Advertencia: Este esquema de Sarrus no se aplica a los determinantes de orden 4x4, 5x5, y a los de 
más alto orden. 
 27 
 
Ejemplo: Calcule el determinante de : 










−
−
−
=
305
234
221
A , 
 Solución: 
 
 
05
34
21
305
234
221
−
−










−
−
−
 
 
 =A (−1).3.3 +1.(−2).(−5)+2.4.0−2.3.(−5)−0.(−2).(−1)−2.4.3 =17 
 
 
Ejercicio: Calcule el determinante de : 










−−=
300
260
275
B y G= 










−
−
000
160
275
. ¿Se observa 
algo particular en estas matrices? 
 
 
 
1.4- Submatrices. Menor complementario- Cofactor 
 
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn. El Menor del elemento ubicado en la Fila”i”, 
Columna “j”, se denota por Mij , es el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila 
i−ésima y la columna j-ésima de la matriz A. 
 
Ejercicio: Determinar los menores complemetarios M11,M12,M13, para :










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
Solución: 
22313221
3231
2221
13
23313321
3331
2321
12
32233322
3332
2322
11
aaaa
aa
aa
M
aaaa
aa
aa
M
aaaa
aa
aa
M
−==
−==
−==
 
 
 
Definición:Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, llamaremos Cofactor del elemento aij se 
denota por Cij ; al número dado por la fórmula: 
 Cij = (−1)i+j . M ij 
 
 28 
Ejercicio: Determinar los cofactores correspondientes para los menores complemetarios 
M11,M12,M13 
 
Solución: 
 1111
11
11 1 MM.)(C =−=
+ 
 
 1212
21
12 1 MM.)(C −=−=
+ 
 
 1313
31
13 1 MM.)(C =−=
+ 
 
Nota: Observa que el menor y el cofactor solo difieren en el signo, o son iguales; pues Cij = ± Mij 
 
 
 
Ejercicio: Determina el menor y el cofactor de los elementos a11y a32 de la siguiente matriz A. 
 










−
−=
120
214
301
A 
 
Importante : Para la matriz 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , se vio por Sarrus que : 
 
det(A)= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11 
 
 Sacando factor común los elementos de la 1º Fila de A, el det(A) se puede expresar también: 
 
 |A| = a11 [a22 a33 − a32 a23] + a12 [a31 a23 −a21 a33 ] + a13 [a21 a32 − a31 a22] 
 
 Sacando (-1) factor común en el 2º término, se tiene: 
 
 |A| = a11 [a22 a33 − a32 a23] − a12 [a21 a33 −a31 a23] + a13 [a21 a32 − a31 a22] 
 
Aplicando la definición de Menores y Cofactores antes vistas, se tiene 
 
 |A| = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 
 
Nota: Observe que se ha calculado el determinante de una matriz de 3x3, utilizando la 
definición de cofactores para los elementos de la 1º Fila de la matriz A. 
 
Ejercicio: Dada la matriz 










−
−
−
=
305
234
221
A . Calcular el determinante de A, por el esquema de 
Sarrus; luego calcula del determinante de A desarrollado por cofactores de la 1° fila, por los 
cofactores de la 2° columna, de la 3° fila, de la 3° columna. ¿Qué observas? ¿Importa la fila o 
columna según la cual se desarrolla el determinante? 
 
 29 
 
Ahora se puede reformar la fórmula que se definió para el determinante de una matriz A de 3x3, y 
expresarlo en términos de los cofactores. 
 
A continuación definimos el determinante para una matriz de orden “n”. 
 
1.5- Desarrollo por Cofactores (Regla de Laplace) 
 
Sea A una matriz cuadrada de orden “n”. 
� El determinante de A puede desarrollarse con respecto a la i−ésima fila en términos de 
cofactores mediante la fórmula: 
 
 |A| = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ... + ain Cin 
 
 
 o bien, puede ser que: 
 
� El determinante de A, puede calcularse con respecto a la j−ésima columna en términos de 
cofactoresmediante la fórmula: 
 
 |A| = a1j C1j + a2j C2j + ... + anj Cnj 
 
 Nota: Este método de calcular determinantes por medio de cofactores se llama “Desarrollo 
por cofactores” o “Desarrollo de Laplace”. 
 
 Nota: Al evaluar el determinante, se pueden minimizar las operaciones, si se desarrolla en 
términos de la fila o columna que tenga mayor cantidad de ceros. 
 
Ejemplo: 
Evalúa el determinante de 












−
−
−
=
2010
3010
4012
5327
B , aplicando la Regla de Laplace para la Fila 3 
|B| = b31 C31 + b32 C32 + b33 C33 +b34 C34= 0 C31 + 1 C32 + 0 C33 +(−3) C34=1 C32 +(−3) C34� 
 
Donde 
121 3232
23
32 −=−=−=−=
+
2-00
402
537
 MM.)(C 
 
61 3434
43
34 −=−=−=−=
+
010
012
32-7
 MM.)(C 
 
Reemplazando estos valores en �, se tiene: 
 
|B| =1 C32 +(−3) C34=1.(−12)+(−3).(−6)=6 
 
 
 30 
 
Ejercicio: 
Evalúa el determinante de 












−
−
−
=
2010
3010
4012
5327
B , aplicando la Regla de Laplace para la Columna 3 
 
 
Observación: Debes advertir que el número de operaciones, y en consecuencia la velocidad del 
cálculo se ven afectadas a medida que crece el orden de la matriz. Sin embargo, éstas pueden 
minimizarse si se tienen en cuenta las propiedades de la función determinante. 
 
1.6- Propiedades de los Determinantes 
 
 Sea A una matriz nxn. 
 D1− ● A y AT tienen el mismo determinante, en símbolos: det(A)=det(AT). 
 
 
 D2 − ● Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces det (A)=0. 
 ● Si A tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces entonces det (A)=0. 
 ● Si A tiene dos filas (o columnas) que son múltiplos entre sí, entonces det (A)=0. 
 ● Si A tiene una fila (o columna) que es igual a la suma de múltiplos de otros dos filas 
 ( columnas), entonces det (A)=0. 
 
 
D3 − ● Si A es una matriz triangular (superior o inferior), su determinante es igual al 
producto de los elementos diagonales. En símbolos: 
 Si A es triangular ⇒ det (A) = a11 a22 ... ann 
 
 
 D4 − ●Si B se obtiene de A, intercambiando dos filas (columnas) cualesquiera ⇒det (B) = −det (A) 
 
D5 − ●Si B es una matriz que se obtiene de A, multiplicando una de sus filas (columnas) por una 
constante k distinta de cero, entonces: det (B) = k det (A) 
 
 D6 − ● Si B se obtiene de A, reemplazando la “Fila i” ( Columna i) , por la suma de ella con un 
múltiplo de otra fila ( Fi+k.Ft→ Fi, con i ≠ t ) (columna) entonces: det (B) = det (A) 
 
Importante: 
 
Muchas veces se confunden las propiedades D5) y D6). Las operaciones con filas son: 
En D5) la operación es : k.Fi→ Fi , con k≠0 
En D6) la operación es : Fi+k.Ft→ Fi, con i ≠ t y con k≠0 
 
 31 
D7 − ● El determinante del producto matricial de AB es igual al producto de los determinantes. 
 det. (AB) = det (A) det (B) 
 
 D8 − ●Si A tiene inversa A−1, entonces det (A) ≠ 0 y ( )
)A(det
1
Adet 1 =− 
 Hacemos la demostración de esta afirmación: 
 A tiene inversa A−1 ⇒ A . A−1 = A−1 . A = I 
 se sabe que: det (I) = 1 
 ( ) ( )
32143421
ℜ∈ℜ∈
−
−
=
=
Adet.Adet1
)A.A(det)I(detLuego
1
1
 por D7) 
 En consecuencia: det (A) ≠ 0 , por lo tanto: 
 ( )1Adet
)A(det
1 −= 
D9 − ● det (k.A) =k n. det (A) , con k≠0, siendo n el orden de A 
 
 
Definición: Se dice que una matriz cuadrada A es singular si det (A) = 0. A es no singular si 
det (A) ≠ 0. 
 
 
1.7- Matriz Adjunta 
 
Definición: Sea A una matriz de nxn , a la matriz cuyo elemento (i,j) es el cofactor Cij se la llama la 
Matriz de Cofactores de A, y se la indica Cof(A) 
 












=
nnn2n1
2n2221
1n1211
CCC
CCC
CCC
A)( Cof
L
MLMM
L
L
 
 
 
Definición: Sea A una matriz de nxn , se llama Matriz Adjunta de A, y se denota por adj (A). (o 
Adj(A))a la matriz traspuesta de la matriz de Cofactores de A. 
 
 
 ( )












==
nnnn
n
n
T
CCC
CCC
CCC
)A(Cof)A(Adj
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
 
 32 
Ejercicio: Determine la matriz de cofactores de A y la matriz adjunta de A, siendo 










−
−=
310
210
412
A 
 
Solución: Planteemos los 9 cofactores : 
 
1
31
21
1 1111
11
11 =−
−
==−= + MM.)(C 
0
30
20
1 1212
21
12 =−
−=−=−= + M M.)(C 
0
10
10
1 1313
31
13 =
−
==−= + MM.)(C 
7
31
41
1 2121
12
21 =−
−=−=−= + M M.)(C 
Además : 
C22 = −6 C23 = −2 
C31 = 6 C32 = 4 C33 = −2 
 
Luego la matriz de cofactores es : Cof(A)= 










−
−−
246
267
001
 
 
Adj(A)=(Cof(A))T=










−−
−=










−
−−
220
460
671
246
267
001
T
 
 
 
 
 
Ejercicio: Determine las matrices de cofactores y la adjunta para ,A










−
−−
531
241
302
 
 
Propiedad: La suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) se multiplican 
por los cofactores correspondientes de una fila (columna) diferente, es cero. 
 
Demostración: 
 Consideremos la matriz A=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 33 
 
Multipliquemos los elementos de la Fila 3, por los cofactores de la Fila 1, se tiene que : 
 
 133312321131 CaCaCa ++ � 
 
Nos preguntamos por el valor de esta expresión 
 
 
 Donde 









−==
−=−=
−==
22313221
3231
2221
13
33212331
3331
2321
12
32233322
3332
2322
11
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C
 
 
 Si construimos una matriz B, a partir de A, con las Filas 3 y 1 iguales, esto es : 
 
B=










=










333231
232221
333231
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
bbb
bbb
bbb
 
 
 
Luego desarrollando el determinante de la matriz B por la Fila 1, se tiene que : 
 
 13*1312
*
1211
*
11 CbCbCbB ++= =0 � ( pues B tiene dos Filas iguales ) 
 
 
 13*3312
*
3211
*
3113
*
1312
*
1211
*
11 CaCaCaCbCbCbB ++==++= 0 
Donde 









−==
−=−=
−==
22313221
3231
2221
13
*
33212331
3331
2321
12
*
32233322
3332
2322*
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C 11
donde 13CCy CC , CC 13
*
 1212
*
1111
* === � 
 
 
Luego reemplazando � en � : 
 
133312321131 CaCaCa ++=0 
Con lo cual hemos podido dar respuesta a �.- 
 
Teorema : Sea A una matriz nxn. Entonces: A . Adj (A) = det (A) . In = Adj (A) . A 
Demostración: COMPLETAR PARA EXAMEN FINAL 
 34 
 
 
1.8- Inversa de una matriz a través de la Adjunta 
 
Teorema: Una matriz A de nxn es invertible sí y solo sí det (A) ≠ 0 
 
Teorema: Sea A una matriz invertible ⇒ )A(adj.
|A|
1
A 1 =− 
 
 
Demostración: 
 
Por un teorema anterior, se vio que : 
 
A . Adj (A) = det (A) . In � 
 
Además si A es regular , entones det(A)≠ 0 � 
 
Entonces si pasa �, dividamos por : det(A) a ambos lados en � 
 
=
)Adet(
)A(Adj.A .
)Adet(
I).Adet( n , simplificando , se tiene : 
 
nI)Adet(
)A(Adj
.A = 
Aplicando el Teorema de la Unicidad de la matriz inversa, se tiene que: A-1 =
)Adet(
)A(Adj
 
 
Ejercicio: Anteriormente se vio que la matriz Adj(A)= 










−−
−
220
460
671
, siendo 










−
−=
310
210
412
A , 
analizar si A es regular y en caso afirmativo hallar A-1Solución: 
 
 det(A) = 2
310
210
412
=










−
−det ≠ 0, entonces A es regular, es decir existe A-1. 
 
Utilizando la fórmula de cálculo para matriz inversa, 
 
 A-1 =
)Adet(
)A(Adj
=










−−
−=










−−
−
110
230
3
220
460
671
2
1
2
7
2
1
 
 
 
 35 
 
 
Ejercicio : Resta comprobar que A . A−1 = A−1 . A = I, para 










−
−=
310
210
412
A y 










−−
−=−
110
230
32721
1A 
 
 
Ejercicio: Determine A-1, utilizando la fórmula de cálculo para inversa, siendo:










−
−−=
531
241
302
A y 
teniendo en cuenta que: det (A) = 25 , Cof (A) =










−
−
−
8112
679
1314
 
 
 
 
Ejercicio: Determine, de ser posible, la inversa de la matriz de coeficientes correspondiente al inciso 
C) de la introducción de matrices. 
 
 
Nota: Aunque el método del ejemplo precedente es razonable para invertir manualmente una 
matriz de orden 3x3, este no es un algoritmo eficaz cuando el orden de la matriz es mayor o igual a 
cuatro, pues el volumen de cálculo para determinar los nxn cofactores es muy grande si n=4 ó n=5, 
etc; y además se produce arrastre de errores de redondeo si det(A) es un número “muy pequeño” o “ 
muy grande”. 
Sin embargo la fórmula )A(Adj.
|A|
1
A 1 =− es una fórmula real, útil para obtener propiedades de 
la inversa. Por ejemplo, con el uso de dicha fórmula se puede: 
 
Teorema: Una matriz triangular es invertible (no singular) sí y solo sí todos sus elementos 
diagonales son diferentes de cero. 
 
 
Teorema: La inversa de una matriz triangular inferior (superior) , con todos los elementos 
diagonales no nulos, es una matriz triangular inferior (superior) 
 
 
1.9- Matriz Escalonada por Renglones 
 
Paso 1: Las filas con todos los elementos nulos ( ceros) deben estar ubicadas en la parte inferior de 
la matriz. 
 
Paso 2: Toda fila que no tiene todos sus elementos ceros, la primera entrada distinta de cero que 
llamaremos elemento principal, se encuentra en una columna más a la izquierda de cualquier otra 
entrada principal de otra fila inferior. 
 
Si la matriz verifica los Pasos 1 y 2, se dice “ Matriz Escalonada por Renglones” 
 36 
 
Ejercicio: Analizar cuales de las siguientes matrices es “ Matriz Escalonada por Renglones” 
 










−−
=
6700
3150
0902
A ,











 −
=
0000
0000
5400
8021
B ,
















−
−
=
000000
900000
740000
151300
310020
C ,









 −
=
412
130
210
D ,










−−
=
6700
0000
0902
E 
 
Solución: 
 










−−
=
6700
3150
0902
A es “ Matriz Escalonada por Renglones” 











 −
=
0000
0000
5400
8021
B es “ Matriz Escalonada por Renglones” 
















−
−
=
000000
900000
740000
151300
310020
C es “ Matriz Escalonada por Renglones” 









 −
=
412
130
210
D NO es “ Matriz Escalonada por Renglones”, pues no verifica Paso2.- 
 










−−
=
6700
0000
0902
E NO es “ Matriz Escalonada por Renglones”, pues no verifica Paso1.- 
 
1.10- Operaciones Elementales sobre filas en una Matriz A 
 
(Estas operaciones también se pueden enunciar para las columnas de A). 
 
O1 − Intercambiar la fila “i” con la fila “j” en A. 
 Fi → Fj , para i ≠ j 
 
O2 − Reemplazar una Fila, por un múltiplo escalar de ella, considere una constante k ≠ 0 
 37 
 *FF
k
*FFk iiii →→
1
 
 
O3 − Sumar a una “fila i” un múltiplo escalar de otra fila diferente 
 
 
ti ,k con*,FFkF
ti ,k con*,FFkF
iti
iti
≠≠→−
≠≠→+
0
0
 
 
Ejercicio: Obtener desde 









 −
412
130
210
 una Matriz Escalonada por Renglones, aplicando las 
operaciones elementales entre filas 
 
Solución: 
 









 −
412
130
210
 ∼ 










− 210
130
412
 ∼ 










3
700
130
412
“ Matriz Escalonada por Renglones” 
 13 FF → * 323 3
1
FFF →+ * 
 
 
 
Ejercicio: Obtener desde 












−
−
−
5310
0321
2010
4012
 una Matriz Escalonada por Renglones 
 
 
 
Definición: Una matriz Amxn es equivalente por filas a una matriz Bmxn; si B resulta de A mediante 
una sucesión finita de operaciones elementales sobre las filas de A. 
 
 
Nota: Vinculo entre operaciones Elementales sobre filas y valor de determinante 
 
Si entre 2 matrices cuadradas A y B equivalentes sólo se aplicó: 
 
a) Una serie de operaciones elementales del tipo: 
 
 ti ,k con*,FFkF iti ≠≠→± 0 , entonces det(A)=det(B) 
 
b) Si se aplica una única vez una operación del tipo : 
 
 Fi → Fj , para i ≠ j , entonces det(A)= − det(B) 
 38 
 
c) Si se aplica una única vez una operación del tipo : 
 
 0≠→ k con*FFk ii , entonces det(A)= k. det(B) 
 
1.11- Rango de una matriz Amxn 
 
Llamaremos rango de la matriz A y lo indicaremos con rang(A) ó rg(A) , al número de filas no 
nulas de una Matriz Escalonada por Renglones equivalente con A. 
 
Ejercicio : Para la siguientes matrices A, B, C, se dan sus Matriz Escalonada por Renglones 
equivalentes, a partir de ellas determinar el rango. 
 
A=










−
−
412
310
210
∼










3
700
130
412
⇒ rang(A)=3 
 
B=












−
−
−
5310
0321
2010
4012
∼












−
−
0000
7300
2010
4012
⇒ rg(B)=3 
 
C=
















−
−−
000000
000000
000000
154000
311020
⇒ rg(C)=2 
 
D=










−
−
−
303
234
221
∼











−
11
3
00
6110
221
⇒ rg(D)=3 
 
 
Ejercicio: Indicar el rango de las matrices: 
 
A= 












−
−
−
5310
0321
2010
4012
 ; B= 









 −
412
130
210
 
 
 
Propiedad: El rango de A = rango de AT. 
 
 
 39 
1.12- Inversa de una Matriz, con la aplicación de Operaciones elementales. 
 
Nota: A continuación se enunciará un procedimiento de cómputo a partir del cual, se pueden 
determinar la matriz inversa de una matriz de cualquier orden. 
 
 
1.12.1- Algoritmo para Invertir una Matriz, con Operaciones elementales. 
 
Dada una matriz A de nxn, para determinar A−1, si existe, ejecute los siguientes pasos. 
 
Paso 1 − Escriba la “Matriz ampliada” [ ]IA M 
 
Paso 2 − Obtenga la Matriz Escalonada por Renglones equivalente de la matriz del Paso 1, por la 
aplicación de operaciones elementales sobre las filas, obteniendo así una nueva matriz. [ ]CBM 
 
Paso 3 − Ahora controle lo siguiente: Si B tiene un renglón de ceros, “deténgase”. A no es 
invertible. 
 
 De lo contrario continúe con el proceso de escalonamiento hasta obtener la “Matriz 
Ampliada” que se encuentra en la forma [ ]1AI −M . 
 
 
Ejemplo : Determine la matriz inversa por el algoritmo de reducción de la forma [ ]IA M a [ ]1AI −M , 
para A=










−
−
−
303
234
221
, det(A)= −3 ≠ 0 
 
A=










−
−
−
303
234
221
 I=










100
010
001
 
 









−−
−
360
6110
221
 










− 103
014
001
 
212 4 FFF →+ * 
313 3 FF)(F →−+ * 









−
11
300
6110
221
 










− 1
014
001
11
6
11
9
 
3211
6
3 FFF →+ * 









 −−
100
10
221
11
6 










−
−
3
11
11
1
11
4
23
0
001
 
111 FF)( →− * 
2211
1 FF → * 
333
11 FF → * 
 40 









 −
100
010
021
 










−
−−
−
3
11
3
22
23
212
47
 
2311
6
2 FF)(F →−+ * 
131 2 FFF →+ * 
 










100
010
001
=I 










−
−−
−
3
11
3
10
23
212
23
=A-1 
121 2 FFF →+ * 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio: Dadas las matrices A1 y A2, determine si existe la matriz inversa por el algoritmo de 
reducción de la forma [ ]IA M a [ ]1AI −M . 
 










−−
−=










=
641
232
011
A
801
352
321
A 21 
 
 
 
 -*-*-*-*-*-*- 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAL 
 
 
 
UNIDAD 2- Sistemas de Ecuaciones Lineales 
 
 
 
 Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales 
 
 LIC. EN GEOFISICA - LIC. EN ASTRONOMIA 
 
 
 
 
 Año: 2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Sistemas de Ecuaciones Lineales 
 
 
 I- Objetivos Específicos 
Al finalizar la unidad se espera que el alumno sea capaz de: 
• Relacionar el concepto de matriz y determinante con el de resolución 
de sistemas de ecuaciones lineales. 
• Interpretar la discusión analítica y gráfica de un sistema de dos y tres 
ecuaciones lineales con dos y con tres incógnitas. 
• Interpretar correctamente problemas de aplicación (geofísicos, 
astronómicos) y modular dichos problemas en términos de un sistema 
de ecuaciones lineales. 
• Inferir el tipo de solución que puede tener el sistema de ecuaciones 
homogéneo o no homogéneo planteado. 
• Resolver correctamente sistemas de ecuaciones lineales aplicando los 
métodos de: 
 a- Leibnitz-Cramer 
 b- Matricial 
 c- Eliminación de Gauss 
 d- Eliminación de Gauss-Jordan 
• Manejar con habilidad algún programa de computación para resolver 
sistemas de ecuaciones lineales. 
 
 II- Contenidos. 
 
Presentación de sistemas de ecuaciones lineales como modelización matemática de 
problemas reales vinculados con la Geofísica y con la Astronomía. Definición de 
ecuación lineal en n-variables. Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales en forma 
general. Simbolismo. Expresión matricial. Clasificación de los sistemas de ecuaciones 
lineales (de acuerdo al número de ecuaciones, incógnitas, solución, términos 
independientes): cuadrados, rectangulares, homogéneos. Conjunto solución. 
Interpretación geométrica del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales de 
dimensión dos por dos y de tres por tres. Sistemas equivalentes. Representación 
matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz ampliada del sistema lineal. 
Interpretación del conjunto solución del sistema por el análisis de los rangos de matriz 
de coeficientes y de matriz ampliada del sistema (Teorema de Roche-Frobenius). 
Solución de un sistema de ecuaciones lineales (número de ecuaciones igual al número 
de incógnitas) mediante: Método de Leibnitz-Cramer (aplicación de determinantes en 
sistema no homogéneo), Método Matricial (aplicación de la matriz inversa). Algoritmo 
(métodos iterativos) para determinar el conjunto solución de un sistema lineal en 
general: Método de Eliminación de Gauss, y la modificación del mismo denominada 
Eliminación de Gauss-Jordan. 
Aplicaciones a miniproyectos que involucran temas de la física, química, geofísica, 
astronomía, ajuste de curvas, etc. 
 
 
 
 
 
 
 3 
Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL) 
 
Un sistema lineal de m−ecuaciones con n−incógnitas (variables) x1, x2, ... ,xn; es un 
conjunto de m−ecuaciones lineales con n−incógnitas de la forma: 
 
 A 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxnaxaxa
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
1211
22222121
11212111
 
 
Los números aij , i ∈{1, ... , m} j ∈ {1, ... , n} son los “coeficientes” del sistema; y 
b1, b2, ... bm son los “términos constantes”. 
 
Si todos los términos constantes son cero, el sistema se llama “ Sistema Lineal 
Homogéneo (SELH)” . Cuando este último (SELH) tiene los mismos “coeficientes” que 
el sistema A, se dice que está asociado con A. 
 
Ejemplos: 
 
a) 




−=+−
=++
14
832
21
321
xx
xxx
 
 
Es un SEL con 2 ecuaciones y 3 incógnitas : x1,x2,x3 
En la Primer ecuación los coeficientes son : 2,3,1 y el término independiente es 8 
En la Segunda ecuación los coeficientes son : -4,1,0 y el término independiente es -1 
 
b)





=−−
=+
=+
06
062
0
wy
 wy
wy
 
 
Es un SEL con 3 ecuaciones y 2 incógnitas : y,w 
En la Primer ecuación los coeficientes son : 1,1 y el término independiente es 0 
En la Segunda ecuación los coeficientes son : 2,6 y el término independiente es 0 
En la Tercer ecuación los coeficientes son : -6,-1 y el término independiente es 0 
 
Es un Sistema Lineal Homogéneo -SELH. 
 
Solución de un Sistema Lineal 
 
Una n-upla de números reales ( r1, r2, ... , rn) se llama “solución particular” del sistema 
A, si reemplazados x1 = r1 ; x2 = r2 ; ... ; xn = rn satisfacen simultáneamente las m- 
ecuaciones del sistema A 
El conjunto de todas las soluciones posibles es el “Conjunto solución del SEL”. 
Cualquier elemento genérico del conjunto solución se lo llama “Solución General”. 
Si todas las componentes de la solución particular son cero, la solución se llama Trivial 
 
 4 
Ejemplo: Analice si ( r1, r2, r3) =( -15, 6, -1) es una “solución particular” del siguiente 
SEL: 
 
 





=+−
−=−+
−=+
96
10232
32
31
321
21
xx
xxx
xx
 
 
En efecto: 





=−+−−
−=−−+−
−=+−
91615
101263152
36215
)(*)(
)(**)(*
*
 
 
Como se satisfacen las 3 ecuaciones simultáneamente, entonces: ( r1, r2, r3) =( -15, 6, -
1) es una “solución particular” del sistema. 
 
Ejercicio: Obtenga la solución general y 2 particulares del siguiente SEL: 
 
 


=++
=−+
2
53
321
431
xxx
xx4 x
 
De la ecuación segunda → 321 2 xxx −−= 
Reemplazando en la primera → 5423 4332 =−+−− xx)xx( 
Operando y despejando la última incógnita se tiene: 324 31 xxx +−= 
 
Luego la Solución General es : X=














+−
−−
=














32
3
2
32
4
3
2
1
31
2
xx
x
x
xx
x
x
x
x
 
 
∗ Para 01 32 == x,x → X1=












−
=














2
0
1
1
4
3
2
1
x
x
x
x
es un solución particular pues : 



=++
=−−+
2011
5213 )(0*4 *
 
Pues se satisfacen las 2 ecuaciones simultáneamente. 
 
 
 
 5 
∗ Para 12 32 =−= x,x → X2=












−
=














8
1
2
3
4
3
2
1
x
x
x
x
es un solución particular pues : 



=+−+
=−+
2123
5833
)(
1*4 *
 
Pues se satisfacen las 2 ecuaciones simultáneamente. 
 
Ejercicio: Obtener y verificar 3 soluciones particulares del SEL anterior. 
 
 
 
Representación Matricial de un SEL 
 
Se puede abreviar la notación algebraica de un SEL, utilizando una “representación 
matricial” del mismo. 
Así, el sistema lineal A 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxnaxaxa
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
1211
22222121
11212111
 se puede escribir en 
representación algebraica, en la forma: 
 
 
321
M
321
M
4444 34444 21
L
MOMM
L
L
1mx
m
2
1
1nx
n
2
1
mn
mn2m1m
212221
n11211
B
b
b
b
X
x
x
x
A
aaa
aaa
aaa












=























 
 
A la expresión A.X = B se la denomina Ecuación Matricial del SEL. 
A la matriz Amn se la denomina Matriz de Coeficientes. 
A la matriz Xn1 se la denomina Matriz de Incógnitas. 
A la matriz Bm1 se la denomina Matriz de Términos Independientes. 
 
También se puede describir completamente el SEL por medio de la “Matriz 
Aumentada” o “Matriz Ampliada” del sistema. 
 
( )













==
m
2
1
mn2m1m
212221
n11211
*
b
b
b
aaa
aaa
aaa
AB
A
M
L
MOMM
L
L
 
 6 
 
Ejemplo : La representación matricial del sistema 





=+−
−=−+
−=+
96
10232
32
31
321
21
xx
xxx
xx
, es: 
 
{ 32144 344 21
B
9
10
3
X
x
x
x
A
601
232
021
3
2
1










−
−
=




















−
− o también: 
444 3444 21




=










−
−
−
−
B
A*A
9
10
3
601
232
021
 
 
 
Ejercicio: Determine la representación matricial AX = B y por la matriz ampliada 
A* = ( )BA para los siguientes SEL. 
 







=−+−
=
=+
−=+−
9cba5
3b5
0b7a
1cb2a3
 





=−+
=+
=−
0zyx5
0zx3
0yx
 
 
 
Observación gráfica 
 
Consideremos los sistemas, sus matrices ampliadas , rango y gráfico en 2-D : 
 
a) 



=−
=+
4
1
yx
yx
 → 





− 411
111
:
:
∼ 





− 320
111
:
:
 →Datos: rg(A)=2; rg(A*)=2 ; 
 nº de incog=2 
 
 
 
EL SEL tiene solución única 
 
 
 
 
 7 
b) 



=+
=+
222
1
yx
yx
 → 





222
111
:
:
∼ 





000
111
:
:
 →Datos: rg(A)=1; rg(A*)=1 ; 
 nº de incog=2 
 
 
 
EL SEL tiene infinitas soluciones 
 
 
c) 



−=+
=+
422
1
yx
yx
 → 





− 422
111
:
:
∼ 





− 600
111
:
:
 →Datos: rg(A)=1; rg(A*)=2 ; 
 nº de incog=2 
 
 
 
EL SEL no tiene solución 
 
 
Ejercicio : Desde el análisis del gráfico en 2-D , sus matrices ampliadas , rango , indique 
el tipo de solución de los siguientes SEL: 
 



−=+
=+
422
13
yx
yx
 




−=+
=+
4
3
1
13
yx
yx
 



=+
=+
226
13
yx
yx
 



−=+
=+−
422
1042
yx
yx
 
 
 
 
 
 8 
Teorema (Rouche −−−− Frobenius) 
 
Es posible demostrar que un SEL tiene solución sí y solo sí rango A = rango A* 
� Si además rango A = rango A* = número de incógnitas , entonces el SEL tiene 
solución “única” . 
� Sí rango A = rango A* < número de incógnitas , el SEL tiene un número 
“infinito” de soluciones 
En este caso se verifica: 
Número de variables libres = número de incógnitas − rango A 
Cuando rango A ≠ rango A* entonces el SEL no tiene solución . 
 
Nota: En el caso de Sistemas Lineales Homogéneos AX = 0, siempre ocurre que: 
rango A = rango A*, el sistema homogéneo “siempre tiene solución”. Entonces: 
� Si rango A = rango A* = número de incógnitas, el SELH tiene solución 
única, que es la “solución trivial”, es decir x1 = x2 = .... = xn = 0 
� Si rango A = rango A* < número de incógnitas entonces el SELH tiene 
“infinitas” soluciones. 
 
 
Ejercicio : Aplicar el Teorema de Rouche- Frobenuis a los siguientes SEL, 
representados por su matriz ampliada 
 
a) 










−
−
9150
5431
4321
:
:
:
 b) 










−
0930
0311
0021
:
:
:
 
En efecto , hallamos matrices equivalentes 
 
a)










−
−
9150
5431
4321
:
:
:
∼ 










−
10000
1150
4321
:
:
:
 →rango A = 2 ; y rango A* =3 
Entonces el SEL no tiene solución 
 
b) 










−
0930
0311
0021
:
:
:
∼










−−
0000
0310
0021
:
:
:
→rango A = 2 ; y rango A* =2 y nº de 
incóg=3 
 
Entonces el SELH tiene infinitas soluciones 
 
c) 










−
01030
0311
0021
:
:
:
∼










−−
0100
0310
0021
:
:
:
→→rango A = 3= rango A* =nº de incóg 
 
Entonces el SELH tiene única solución y es la trivial. 
 
 9 
Ejercicio: Las siguientes matrices, representan la matriz ampliada A* de sistemas 
lineales. Aplique el teorema de Rouche − Frobenius y determine que tipo de solución 
admite el sistema al cual representan. 
 









−
−=
5
3
1
410
201
131
A*1 










−=
0
0
0
331
311
021
A*2 










−
−=
6
5
4
712
431
321
A*3 
 
 
Método Matricial para resolver la ecuación matricial 
 
Si en la ecuación matricial, el número de incógnitas y ecuaciones es el mismo, la matriz 
de coeficientes es una matriz cuadrada. 
Y si la matriz A (de coeficientes) de dicho sistema es una matriz no singular, (regular : 
det(A)≠0 ) es decir que admite matriz inversa, se puede trabajar sobre la ecuación 
matricial: 
 A . X = B 
 A−1 A X = A−1 B Premultiplicando por A−1 
 I X = A−1 B Por sea A invertible 
 | X = A−1 B Por propiedad de la identidad 
X = A−1 B Fórmula que permite obtener la Matriz de las 
Incógnitas. 
 
 
 
Ejemplo: Hallar la solución del siguiente sistema, por método matricial : 
 





−=−+−
=−
=−−
24
23
6823
cba
ca
cba
, sabiendo que la inversa de la matriz de coeficientes 
es:












−−
−−
−−
2
1
2
51
4
1
4
111
2
3
2
173
 
 
Ecuación Matricial: 










−
=




















−−
−
−−
2
2
6
141
301
823
c
b
a
 
 
Por método matricial : X=A-1.B=










=










−











−−
−−
−−
0
0
2
2
2
6
2
1
2
51
4
1
4
111
2
3
2
173
 
 
 10 
Ejercicio: Dados los siguientes SEL encuentre, si es posible, la solución, aplicando el 
método matricial. 
 
a)





=−+
=++
=++
4z2yx3
24z6y5x4
18z6y4x2
b)





=−+−
−=−
=+−
5cb4a
6c3a
12c8b2a3
c)



=+
=+
2by2x5
by3x 1 cuando 



=
=



=
=
6
5
4
3
2
1
2
1
b
b
;
b
b
 
 
 
Observaciones Generales de la técnica matricial 
 
Ventajas: Es útil para resolver sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneos (es decir 
AX = B1 ; AX = B2 , ..... , AX = Bn , donde se mantiene la matriz de coeficientes y varía 
la matriz de términos independientes). 
Desventajas: Solo se puede aplicar a sistemas lineales que presentan igual número de 
ecuaciones que de incógnitas. An n Xn1=Bn1 
El cálculo de la matriz inversa es complicado cuando n ≥ 4. 
Tiene acumulación de errores de redondeo. 
Por lo anterior, se hace necesario presentar otro método que también permita encontrar 
la solución de un SEL en caso de que dicho sistema tenga solución, pero es mucho más 
eficiente que el anterior pues es aplicable a sistemas lineales en general. 
Además, a medida que se lo aplica brinda información relacionada al sistema. 
Frecuentemente a este método de lo denomina: 
 
Método de Leibnitz-Cramer 
 
Sea el SEL, AX = B un sistema de n−ecuaciones lineales con n−variables, tal que 
0A)Adet( ≠= . El sistema tiene una solución única dada por: 
 
 
A
A
x 11 = A
A
x 22 = .............. A
A
x nn = 
 
donde iA es el determinante de la matriz Ai que se obtiene sustituyendo la columna i 
de la matriz A por la matriz columna B. 
 
Nota: La importancia de esta regla de Cramer es que da una fórmula para la solución 
de SEL que tienen solución única. 
En la práctica, cuando se tienen sistemas lineales de alta dimensión (n > 3) no es útil 
esta regla. 
 
Ejemplo: Aplicar el Método de Leibnitz- Cramer , para resolver 





=−+−
=−
=−−
04
03
2823
cba
ca
cba
 
Ecuación Matricial: 










−
=




















−−
−
−−
2
2
6
141
301
823
c
b
a
 y det(A)= - 4≠0