algebra-y-trigonom RESUMEN-1135

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9. I) n=1: 4⁄–⁄=1 y (4⁄-1)= (3)=1
II) Si 1+4+4¤+ +4k–⁄= (4 -1), entonces 1+4+4¤+ +4 +4 =(1+4+4¤+ +4 )+4
= (4 -1)+4 = [4 -1+3(4 )]= [4(4 )-1]= (4 -1).
11. I) n=1:
II) Si =
= + =
13. I) n=1: 1¤=1 y 
II) Si 1¤+2¤+3¤+ +k¤= k(k+1)(2k+1), entonces 1¤+2¤+3¤+ +k¤+(k+1)¤
=(1¤+2¤+3¤+ +k¤)+(k+1)¤= k(k+1)(2k+1)+(k+1)¤= (2k‹+9k¤+13k+6)
= (k+1)(k+2)(2k+3)= (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1].
15. I) n=1: 5-1=4 y 
II) Si 4+3+2+ +(5-k)= k(9-k), entonces 4+3+2+ +(5-k)+[5-(k+1)]
=[4+3+2+ +(5-k)]+4-k= k(9-k)+4-k= (9k-k¤+8-2k)= (–k¤+7k+8)
= (k+1)(8-k)= (k+1)[9-(k+1)].
17. I) n=1: 1 (1+1)=2 y 1 2 3=2
II) Si 1 2+2 3+3 4+ +k(k+1)= k(k+1)(k+2), entonces 1 2+2 3+3 4+ +k(k+1)
+(k+1)[(k+1)+1]=[1 2+2 3+3 4+ +k(k+1)]+(k+1)(k+2)
= k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+2)= (k+1)(k+2)(k+3)= (k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2].
19. I) n=1: 1¤+1=2, que es divisible entre 2.
II) Si k¤+k es divisible entre 2, entonces (k+1)¤+(k+1)=k¤+2k+1+k+1=(k¤+k)+2k+2. Como k¤+k es divisible
entre 2y 2k+2 es divisible entre 2, (k+1)¤+(k+1) es divisible entre 2.
21. I) n=1: 1¤-1+2=2 que es divisible entre 2.
II) Si k¤-k+2 es divisible entre 2, entonces (k+1)¤-(k+1)+2=k¤+2k+1-k-1+2=(k¤-k+2)+2k. 
Como k¤-k+2 es divisible entre 2 y 2k es divisible entre dos, (k+1)¤-(k+1)+2 es divisible entre dos.
23. I) n=1: Si x>1, entonces x⁄=x>1.
II) Suponga que si, para un número natural arbitrario k, x>1 entonces xk>1. Multiplique por x ambos lados de la desigualdad x
>1 por x. Si x>1, entonces x >x>1.
25. I) n=1: a-b es un factor de a⁄-b⁄=a-b.
II) Si a-b es un factor de ak-bk, entonces ak±⁄-bk±⁄=a(ak-bk)+bk(a-b).
Como a-b es un factor de ak-bk y a-b es un factor de a-b, entonces a-b es un factor de ak±⁄-bk±⁄.
27. n=1: 1¤-1+41=41 que es un número primo.
n=41: 41¤-41+41=1681=41¤, que no es primo.
29. I) n=1: ar⁄–⁄=a 1=a y a =a, porque r 
 1.
II) Si a+ar+ar¤+ +ark–⁄=a , entonces a+ar+ar¤+ +ark–⁄+ar(k±⁄)–⁄=(a+ar+ar¤+ +ark–⁄)+ark
=a .
1 - rk
1 - r
+ ark =
a(1 - rk) + ark(1 - r)
1 - r
=
a - ark + ark - ark + 1
1 - r
= a �
1 - rk + 1
1 - r
�
pp1 - r
k
1 - r
�p
1 - r1
1 - r
��
k + 1
k
1
3
1
3
1
3
 � 3
1
3
p���
p���
1
3
p���
���
1
3
�
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
p
p1
2
p
1
2
(1)(9 - 1) =
1
2
� 8 = 4
1
6
1
6
1
6
1
6
p
p1
6
p
1
6
� 1 � 2 � 3 = 1
=
k2 + 2k + 1
(k + 1)(k + 2)
=
(k + 1)2
(k + 1)(k + 2)
=
k + 1
k + 2
=
k + 1
(k + 1) + 1
.
k(k + 2) + 1
(k + 1)(k + 2)
1
(k + 1)(k + 2)
=
k
k + 1
+
1
(k + 1)(k + 2)
c 1
1 � 2
+
1
2 � 3
+
1
3 � 4
+ p +
1
k(k + 1)
d
+
1
(k + 1)[(k + 1) + 1]
k
k + 1
, entonces 
1
1 � 2
+
1
2 � 3
+
1
3 � 4
+ p +
1
k(k + 1)
1
1 � 2
+
1
2 � 3
+
1
3 � 4
+ p +
1
k(k + 1)
1
1 � 2
=
1
2
 y 
1
1 + 1
=
1
2
k + 11
3
k1
3
kk1
3
kk1
3
kk - 1p(k + 1)-1k - 1pk1
3
p
1
3
1
3
R112 RESPUESTAS 12.4 Ejercic ios
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