Analisis_de_transitorios_electromagnetic

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IEEE 3º Congreso Internacional en Innovación y Desarrollo 
Tecnológico, 28 al 30 de septiembre 2005, Cuernavaca, Morelos, 
México 
 
MORELOS 
Análisis de transitorios electromagnéticos en redes eléctricas utilizando modelos tipo 
EMTP. 
C. Narvaez Pérez. 
Universidad del Valle de Atemajac, Campus Guadalajara 
Av. Tepeyac 4800 Fraccionamiento Prados Tepeyac 
C.P.45050, Zapopan, Jalisco, México 
camilo.narvaez@univa.mx 
 
Resumen. El problema de la obtención de 
variables de interés: voltajes, corrientes, potencias, etc. 
de los elementos que conforman una red eléctrica, se 
incrementa en función del tamaño de la misma. Con el 
uso de la computadora se pueden resolver grandes 
sistemas de ecuaciones que representen una red 
eléctrica o electrónica; para ello se deben elegir los 
modelos que representen a los elementos que 
conforman el sistema, y por medio de los métodos y 
algoritmos numéricos “adecuados” se ahorrará tiempo y 
memoria de computo en la solución. Los modelos que a 
continuación se exponen se utilizan en el Programa para 
Transitorios Electromagnéticos (EMTP de sus siglas en 
inglés, Electromagnetic Transient Program). Estos 
modelos son muy simples pero efectivos; de ahí la 
incorporación de estos en el presente trabajo. 
Abstract. The problem to get voltages, currents 
and powers in elements that conform a circuit, increase 
in function of the number of their elements. With 
computers it’s easy to resolve big equation systems that 
represent a determinate circuit; but is very important to 
choice adequate models because they save time and 
computer memory in their solution. The EMTP models 
(Electromagnetic Transient Program) are simple and 
effective; these are the reasons of their incorporation in 
this investigation. 
 
Introducción. Existen diversos programas 
computacionales de simulación de redes eléctricas y 
electrónicas: PSpice, OrCAD, Electronics Workbench, 
entre otros, además de que paquetes de programación 
tales como: Mathcad, C++, Matlab, Maple, etc. pueden 
incorporar algoritmos que permitan la simulación de 
transitorios electromagnéticos en las redes [1,2]. Uno 
de los primeros programas utilizados para este fin fue el 
EMTP; el programa EMTP es uno de los más 
utilizados por la industria eléctrica en todo el mundo. El 
EMTP fue originado por Dommel [3,4] en la década de 
los sesentas, antes de las modernas técnicas de la 
programación estructurada, y posteriormente fue 
expandido por el mismo Dommel y Meyer así como 
por otros especialistas. En este programa pueden 
simularse grandes sistemas con una gran variedad de 
componentes, incluyendo elementos no lineales. 
 En este trabajo se aborda el análisis de transitorios 
electromagnéticos en las redes que contengan 
elementos eléctricos lineales. Las simulaciones son 
realizadas por medio del programa Matlab (Matrix 
Laboratory) [5], utilizando modelos de los elementos de 
tipo EMTP [3,4]. El programa Matlab posee 
herramientas de graficación muy poderosas, además de 
que es cada vez más utilizado por diversas instituciones 
educativas a nivel mundial. 
El EMTP, basa su funcionamiento en el uso 
de la regla trapezoidal de integración para encontrar una 
aproximación numérica de la solución de las ecuaciones 
diferenciales que describen el comportamiento en el 
tiempo de los elementos de un circuito o red eléctrica. 
Existen diversos elementos que componen las redes, 
pero los elementos con parámetros distribuidos (cables 
y líneas de transmisión) son de los más comunes e 
indispensables, pero a la vez requieren una modelación 
minuciosa. Para la inclusión de líneas de transmisión se 
adoptó el Método de Bergeron de Ondas Viajeras 
que es aplicable al análisis de líneas ideales de 
transmisión [6]. Posteriormente se aplica la técnica de 
Bergeron para un modelo de líneas con parámetros 
dependientes de la frecuencia. Si se desea la 
incorporación del Método de Bergeron a un programa 
de computo para la simulación de transitorios 
electromagnéticos, se deben considerar a los elementos 
más comunes que se conectan por medio de las líneas 
de transmisión. A continuación se hace una pequeña 
descripción del programa EMTP, así como la 
descripción de los modelos de los elementos utilizados 
en redes que contengan tanto elementos lineales con 
parámetros concentrados como distribuidos. 
Análisis de Transitorios Electromagnéticos en Redes Eléctricas Utilizando Modelos tipo EMTP 
mailto:camilo.narvaez@univa.mx
 
3º Congreso Internacional en Innovación y Desarrollo Tecnológico, 
28 al 30 de septiembre 2005, Cuernavaca, Mor., México 
 
Modelos tipo EMTP. Las ecuaciones diferenciales 
de las redes se obtienen aplicando el método nodal. De 
esta forma las variables de estado del circuito son los 
voltajes nodales. En la figura 1 se muestra un esquema 
que ilustra una red eléctrica conectada al nodo k (nodo 
general), en este esquema se incluye los elementos más 
comunes conectados en las redes eléctricas. 
Ii
L.T.
m
o
k
LR
q
C
Figura No. 1 Esquema con elementos comunes de las redes 
eléctricas. 
 
Modelos de parámetros concentrados. Las 
ecuaciones que representan a cada uno de los elementos 
concentrados más comunes que se conectan entre las 
ramas de una red eléctrica se proporcionan a 
continuación. 
 Elemento Resistivo. Es el elemento más sencillo, 
su modelo equivalente tipo EMTP está representado 
por la siguiente ecuación: ( ) kookko ivvG =− (1) 
donde: ko
ko
R
1
G = (2) 
es la conductancia. Cabe señalar que los superíndices 
de las variables, representan a los nodos a los cuales se 
conecta el elemento y no potencias (véase figura 1). 
 Elemento Inductivo. La ecuación diferencial que 
representa a una inductancia constante viene dada para 
el caso del modelo tradicional por: 
( )
dt
di
Lvv
kp
pk =− . (3) 
En la figura 2 se muestra una curva que representa la 
corriente a través de un inductor en función del tiempo. 
En esta figura se puede observar que si 12 ttt −=∆ se 
hace lo suficientemente pequeño, aplicando la regla 
trapezoidal a (3) puede ser substituida por: 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )
t
ttiti
L
2
ttvttvtvtv kpkppkpk
∆
∆−−=∆−−∆−+− (4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i(t)
t 1
i(t-∆t)
i
t 2
t
∆t
i(t)
t 1
i(t-∆t)
i
t 2
t
∆t
Figura No. 2 Variación de la corriente en un inductor en el 
tiempo. 
De la ecuación anterior se puede obtener una ecuación 
discretizada de la corriente de una rama inductiva en un 
instante t, ikp, dada por la siguiente expresión: 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( ttittvttvtvtv
L2
t
ti kppkpkkp ∆−+∆−−∆−+−∆= ) , (5) 
la ecuación (5) se puede expresar de la siguiente 
manera: 
( ) ( ) ( )[ ] kphistpkkp Itvtv
L2
t
ti +−∆= (6) 
donde Ikphist es la corriente de historia (un ∆t antes del 
tiempo actual) del inductor 
( ) ( )[ ] ( ttittvttv
L2
t
I kppkkphist ∆−+∆−−∆−∆= ) . (7) 
El análisis de (7) permite verificar que la rama 
inductiva que une los nodos k y p se puede representar, 
en forma discretizada, por la rama mostrada en la figura 
3b, en donde: 
L2
t
Gkp
∆= , (8) 
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es una conductancia equivalente del inductor en 
cuestión. 
En la figura 3a se ilustra un inductor, así como su 
modelo equivalente tipo EMTP, figura 3b. 
Gkq
Ikqhist
ikq
(Vk-Vq)Gkqk
Vk Vq
q
Vk
k
Vq
q
ikq
a) b)
ikq
Figura No. 3 Elemento inductivo y su circuito equivalente 
EMTP. 
 Elemento Capacitivo. De forma similar, se puede 
encontrar una representación para la rama capacitiva, 
así como su expresión circuital discretizada, dada en 
(9), 
( ) ( ) ( )[ ] kqhistqkkq Itvtv
t
C2
ti +−∆= (9) 
donde: ( ) ( )[ ] ( ttittvttv
t
C2
I kqqkkqhist ∆−−∆−−∆−∆−= ) (10) 
y 
t
C2
Gkq ∆= (11) 
es la conductancia equivalente para el capacitor. En la 
figura 4b se puede apreciar el modelo del circuito del 
capacitor. 
Figura No. 4 Elemento capacitivo y sucircuito equivalente 
EMTP. 
M l 
Elemento de retardo ínea de Transmisión 
odelo de la línea ideal monofásica. Para e
 o L
multiconductora con parámetros dependientes de la 
frecuencia. Los alambres o pistas que unen a los 
diversos elementos que componen una red a “altas” 
frecuencias se comportan como líneas de transmisión; 
las ecuaciones que las representan, las ecuaciones del 
Telegrafista, [7] son: 
∗∂+∗=∂− ilirv
tx ∂∂
v
 (12) 
tx ∂
∗∂+∗=∂
∂− cvgi
∗” representa la operación 
 (13) 
donde el símbolo “
convolución, v al vector de voltajes, i al vector de 
corrientes, r la matriz de resistencias longitudinales, l la 
matriz de inductancias longitudinales, g la matriz de 
conductancias transversales y c la matriz de 
capacitancias transversales, cada uno de los elementos 
de las matrices r, l, g y c son funciones del tiempo y en 
por unidad de longitud. Estas ecuaciones son para 
líneas multiconductoras, pero para el caso de líneas 
monofásicas ideales los parámetros r y g se consideran 
igual cero, y la inductancia l y capacitancia c como 
constantes, entonces, (12) y (13) se pueden expresar de 
la siguiente forma: 
i
l
v ∂=−∂ (14) 
tx ∂∂
t
v
c
x
i
∂
∂=∂
−∂
. (15) 
La solución d or 
D’Alembert [8]: 
e estas ecuaciones fue propuesta p
( ) ( )tcxftcxFi o +−−= (16) 
Vk
k
i kq
a)
i kq
q
Vq Vk
k
b)
Ikqhist
Gkq
(Vk-Vq)Gkq
Vq
i kq
q
o
)tco+ (17) ( ) (xfztcxFzv coc +−=
c es arb rias. donde: F(x-cot) y f(x+cot) son fun ion itra
c = velocidad de propagación de la onda en la línea. 
se 
zc = impedancia característica de la línea. 
o
Si se multiplica a (16) por zc y se suma con (17) 
tiene: ( )tcxFz2izv −=+ . (18) occ
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Se puede notar que la expresión (v+zci) es constante si 
(x-cot) se mantiene constante. De aquí se puede afirmar 
que si un observador viaja a lo largo de la línea a una 
velocidad igual a co, entonces éste observará un valor 
de (v+zci) constante, esto sugiere que la onda (v+zci) 
recorre la línea de un extremo a otro en un tiempo τ, 
dado por: 
oc
l=τ (19) 
donde ℓ = longitud de la línea. Esto significa que si un 
observador en el instante t-τ ve el valor de la onda de 
voltaje, ) en un extremo de la línea, en 
el instante t observará el valor de la onda como 
 (el signo negativo se debe a que i
( ) ( τ−+τ− tiztv kck
( )timc( ) ztvm − m tiene 
signo contrario a ik en el otro extremo de la línea, es 
decir, el valor es igual pero visto τ segundos antes en el 
extremo de inicio. Lo anterior se puede expresar como: 
( ) ( ) ( ) ( )tiztvtiztv mcmkck −=τ−+τ− . (20) 
 De la ecuación (20) se puede encontrar una 
expresión para calcular la corriente en un extremo de la 
línea en el instante t, esta expresión esta dada por (21) 
como: ( ) ( ) mhistm
c
m Itv
z
1
ti += (21) 
donde: ( ) ( τ−−τ−−= titv
z
1
I kk
c
mhist ) (22) 
y 
c
mk
z
1
GG == . (23) 
La ecuación (21) es una expresión en función 
del tiempo de viaje de la onda (τ) que es aplicable a 
ambos extremos de la línea. Al igual que para el caso de 
las ramas inductiva y capacitiva, (21) es la 
representación de la línea de transmisión. El circuito 
equivalente se muestra en la figura 5. 
 
 
 v
 
 
Figura No. 5 Circuito equivalente tipo EMTP de la línea de 
transmisión monofásica ideal. 
 En la tabla I se resumen los modelos tipo EMTP 
que se utilizan en el presente trabajo, para el análisis de 
transitorios electromagnéticos en redes eléctricas. 
Tabla I 
Modelos discretizados de los componentes de una red eléctrica 
Tipo de rama Conductancia (G) Corriente de historia (Ihist) 
Resistiva (parámetros concentrados)
koR
1
 
0 
Inductiva (parámetros concentrados)
L2
t∆
 ( ) ( )[ ] ( )ttittvttv
L2
t kppk ∆−+∆−−∆−∆ 
Capacitiva (parámetros 
concentrados) t
C2
∆ ( ) ( )[ ] ( )ttittvttvtC2 kqqk ∆−−∆−−∆−∆− 
Línea de transmisión monofásica 
ideal (parámetros distribuidos) cZ
1
 
( ) ( )τ−−τ−− ••• titvG 
 
� según sea el nodo emisor, k, o el nodo receptor m. 
 
Modelo de la línea monofásica con parámetros 
dependientes de la frecuencia. Uno de los 
primeros modelos de la línea de transmisión en el 
dominio del tiempo con parámetros dependientes de la 
frecuencia fue el de Budner [9]. Él utilizó el concepto 
de función de peso en un modelo de admitancias, la 
simulación utilizando este método es muy oscilatoria e 
imprecisa; además incluía convoluciones para varios 
términos. El método además es lento en cuanto a 
tiempo de computo se refiere [10,11]. 
 Después, J. K. Snelson [12] retoma el trabajo de 
Budner con un cambio de variables en los voltajes y 
corrientes en el dominio del tiempo. De (16) y (17) 
considerando la dependencia de la frecuencia en los 
parámetros de la línea, se tienen las expresiones: ( ) ( tcxfztcxFzv ococ +∗ )+−∗= (24) 
( ) ( )tcxftcxFi oo +−−= . (25) 
Si se define a: ( ) ( tcxFtcx oo −= )b − (26) 
y se toma la convención de que b(x-cot) es la onda de 
regreso, y la onda de ida es, f(x+cot), entonces sumando 
(24) y (25) previamente convolucionada por yc, y 
consid
y
k m
Ik hist (t) Im hist (t) 
G k 
+ 
- 
+
-
k (t) vm (t)
ik (t) im (t)
G m
erando (26) se obtiene: 
( )tcxb2iv oc −=+∗ (27) 
ahora, si se resta (25) a (24) previamente 
convolucionada por yc se obtiene: 
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 ( )tcxf2ivy oc −=−∗ . (28) 
De las ecuaciones (27) y (28) se puede llegar a las 
Ecuaciones de Onda Viajeras para los nodos emisor, 
k, y receptor, m, de la línea de transmisión: 
kk
c
k ivyf +∗= (29) 
mm
c
m ivyf +∗= (30) 
kk
c
k ivyb −∗= (31) 
mm
c
m ivyb −∗= . (32) 
 Del sistema de ecuaciones hiperbólicas para la 
línea multiconductora de transmisión [13], se pueden 
obtener para una línea monofásica: 
( ) ( ) mcmTk IZsenhVcoshV ll Ψ−Ψ= (33) 
( ) ( )mmck IcoshVsenhYI ll Ψ−Ψ= (34) 
si ahora se resta (33) a (34) previamente multiplicada 
por -Zc: 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ mccmTkck IZsenhcoshZVsenhcoshIZV ⋅Ψ−Ψ+Ψ−Ψ=− llll ] (35) 
la ecuación (35) puede simplificarse mediante las 
definiciones de las funciones hiperbólicas: 
( ) ( ) m
c
mkk
c IeZVeVIZ
ll ΨΨ −−=− --
( )
 (36) 
donde: ; (37) lΨ−−= eA
la función A es llamada función de peso o de 
propagación y contiene el tiempo de retardo así como la 
atenuación debido a las pérdidas de la onda viajera de 
voltaje y corriente. Multiplicando por Yc a (36) se tiene: 
( ) [ ]mmckck IVYeVYI +−=− Ψl- (38) 
pasando al dominio de la frecuencia a (29), (30), (31) y 
(32): (39) 
kk
c
k IVYF +=
mm
c
m IVYF += (40) 
kk
c
k IVYB −= (41) 
mm
c
m IVYB −= , (42) 
de (39), (40), (41) y (42) considerando a (37) se puede 
escribir: mk AFB =− (43) 
y km AFB =− (44) 
de (43) y (44) se puede observar que las ondas de 
regreso poseen un retraso implícito con respecto a las 
ondas de ida. Si ahora se despejan la corriente Ik de (41) 
e Im de (42) respectivamente, se obtienen las siguientes 
ecuaciones: (45) kkc
k BVYI −=
mm
c
m BVYI −= (46) 
o bien: (47) mkc
k AFVYI +=
km
c
m AFVYI += (48) 
estas dos últimas se pueden representar sustituyendo 
(40) en (47), y (39) en (48) de la siguiente forma: [ ]mmckck IVYAVYI ++= (49) [ ]kkcmcm IVYAVYI ++= (50) 
las dos ecuaciones anteriores se pueden incorporar a un 
programa de simulación de transitorios 
electromagnéticos, en el dominio de la frecuencia, 
mediante el Método de la Trasformada Numérica de 
Laplace. Pasando a (49) y (50) al dominio del tiempo se 
llega a las siguientes expresiones: 
( )τ−+∗= tivyi kkck (51) 
( )τ−+∗= tivyi mmcm (52) 
donde: ( ) [ ]mmck ivyati +∗∗=τ− (53) 
( ) [ ]kkcm ivyati +∗∗=τ− (54) 
 Las ecuaciones (53) y (54)son las corrientes de 
historia del nodo emisor y el nodo receptor 
respectivamente. En (51) y (52), que son las solución a 
las ecuaciones de la línea en el dominio del tiempo, se 
tienen convoluciones sencillas entre la función de 
propagación y la corriente y dobles entre la función de 
propagación, la admitancia característica y el voltaje. 
Esto conlleva un gran esfuerzo para obtener las 
corrientes de historia de los nodos extremos de una 
línea de transmisión. De ahí la importancia de 
aproximar las funciones de peso y la admitancia 
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característica por medio de otras funciones equivalentes 
más sencillas. Dichas aproximaciones se pueden llevar 
acabo por síntesis de funciones racionales, las cuales se 
realizan en el dominio de la frecuencia. 
 
Método nodal. Una red eléctrica incluye 
componentes con diversas características particulares, 
de ahí la importancia de la selección del método a 
utilizar para la representación de la interconexión de 
estos elementos de acuerdo al tipo de análisis que se 
lleve a cabo. Al tener las conductancias de los 
elementos (ver sección anterior), el análisis con 
variables de nodos representa una buena opción para la 
simulación de transitorios en redes, ya que se puede 
formar la matriz nodal que permite la obtención de los 
voltajes de los nodos que se estén analizando. Dicha 
matriz de conductancias describe las características 
eléctricas de los componentes de la red. Con la matriz 
de conductancias es posible obtener para un estado o 
tiempo dado el comportamiento de los elementos que 
conforman al sistema. 
 Para simplificar el método se convierten todas las 
fuentes de voltaje en fuentes equivalentes de corriente 
(fuentes equivalentes de Norton). Se considera que no 
hay acoplamiento mutuo entre las inductancias y que 
las fuentes no son controladas por algún otro elemento, 
y solo se consideran elementos pasivos como las 
resistores, los inductores, las capacitores y líneas de 
transmisión. 
Para una red eléctrica, al aplicar el método nodal, 
se asume que las corrientes positivas salen del nodo 
analizado [14]. Se cuenta con n+1 nodos en la red, 
considerando al de referencia. Si se aplica la Ley de 
Corrientes de Kirchhoff al k-ésimo nodo de una red 
cualquiera, se obtiene la siguiente expresión: 
0iii kn1k1k =+++ L (55) 
o bien: 
( ) ( ) ( )nhisthist1fn1fnn2211kn21 iiiivGvGvGvGGG ++−++=+++−+++ LLLL
.(56) 
 Entonces, al agrupar las n ecuaciones se llega al 
siguiente sistema de ecuaciones: 
histiiGv −= , (57) 
donde: G es la matriz de conductancias nodales, 
v es el vector de voltajes nodales en el instante t, 
i es el vector de inyecciones de corriente debidas a 
fuentes explícitas 
ihist es el vector de inyecciones de corriente debidas 
a términos de historia de los elementos. 
 Si el sistema cuenta con fuentes de voltaje, 
entonces, los voltajes de algunos de los nodos del 
sistema son conocidos, de tal manera que no es 
necesario calcular su valor. La ecuación (57) puede 
entonces expresarse en la forma: 



−


=







bhist
ahist
b
a
b
a
bba
aba
i
i
i
i
v
v
GG
GG (58) 
los superíndices a denotan a los nodos de la red, cuyos 
voltaje son desconocidos, y los superíndices b a los 
nodos cuyos voltajes están determinados por fuentes de 
tensión conectados a ellos. De (58) y los equivalentes 
de Norton para las fuentes de voltaje, se llega a la 
siguiente expresión: [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]babahistaaa vGiivG −−= . (59) 
Así, los términos del miembro derecho de (59) son 
conocidos y solo resta resolver el sistema de ecuaciones 
para el vector va. Esto puede realizarse con distintos 
métodos, tales como la factorización LU, la eliminación 
gaussiana, etc. Por medio de la solución mediante 
integraciones secuenciales de (59) se pueden simular 
transitorios electromagnéticos en redes, mediante 
algoritmos de computo adecuados. 
 Es importante señalar que una matriz de 
conductancias nodales tiene las siguientes 
características: 
a) Cada elemento de la diagonal principal es la suma 
de todas y cada una de las conductancias 
conectadas a un nodo específico. 
b) Cada elemento fuera de la diagonal principal es de 
signo negativo, y representa al o a los elementos 
que se interconectan entre un par de nodos. 
c) La matriz de conductancias resultante es simétrica. 
Cuando una red tiene un gran número de 
elementos, su matriz nodal puede ser dispersa y 
conviene tratarla mediante técnicas apropiadas, o bien 
formar la matriz nodal de tal manera que se conforme 
por bloques o submatrices, esto con el fin de facilitar su 
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manipulación por medio de técnicas matriciales 
apropiadas que permitan la solución del sistema en un 
tiempo computo determinado y obtener programas más 
eficientes. 
 
Ejemplo numérico de aplicación. En esta sección 
se analizan los transitorios provocados por la 
energetización de una red que contiene una fuente con 
impedancia interna, una línea monofásica ideal y una 
carga capacitiva. 
La red está formada por una línea alimentada con 
una fuente no ideal con impedancia resistiva y 
posteriormente se aplica una fuente con impedancia 
resistiva-inductiva, en ambos casos se visualiza el nodo 
de carga, el extremo receptor de la línea, como el punto 
de interés de análisis. En la figura 6a y 6b se ilustra la 
red eléctrica utilizada para la simulación del transitorio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura No. 6 Red eléctrica para la simulación de un transitorio 
electromagnético. 
La línea tiene las siguientes características: 
r = 0.0159 m (radio del conductor), 
h = 19 m (altura del conductor, respecto a la tierra), 
d = 75000 m (longitud del conductor) 
la carga es puramente capacitiva con un valor de 100 
nF, y la fuente es un escalón sin retraso con un valor de 
1 V. 
En este ejemplo se destaca la importancia que tiene 
el valor de la resistencia interna de la fuente en los 
picos provocados por los rebotes de las ondas viajeras, 
ya que para valores pequeños de la resistencia, se tienen 
picos bastante pronunciados, y para valores grandes de 
la resistencia se disminuyen los picos. 
Este comportamiento se debe a que la resistencia 
atenúa las ondas dependiendo su valor. Lo anterior se 
puede visualizar en las figuras 7a y 7b para diferentes 
valores de la resistencia interna de la fuente. Se 
escogieron valores grandes para la resistencia interna de 
la fuente, para fines de una buena visualización del 
efecto de la misma sobre la onda de voltaje de la línea. 
h = 19 m
ρt = 100 Ω−m
r = 0.0159 m
ρ c = 2.82x10-8 Ω-m
G = 3x10-11 mhos/m
Z
c
l = 75 km
rfuente = x Ω
lfuente = 0.02 H
Línea de transmisión
a) Vista transversal.
b) Vista longitudinal, de conexión.
h = 19 m
ρt = 100 Ω−m
r = 0.0159 m
ρ c = 2.82x10-8 Ω-m
G = 3x10-11 mhos/m
Z
c
l = 75 km
rfuente = x Ω
lfuente = 0.02 H
Línea de transmisión
a) Vista transversal.
b) Vista longitudinal, de conexión.
 Para los resultados ilustrados en la figura 7a y 7b 
corresponden a un incremento de tiempo, ∆t, igual a τ/20. Se comparan los resultados con la solución en el 
dominio de la frecuencia obtenidos mediante el Método 
de la Trasformada Numérica de Laplace, para la 
corroboración de resultados. 
Es importante señalar que cuando se tiene un 
transitorio en una línea, la impedancia interna de la 
fuente se comporta como una inductancia, de ahí la 
necesidad de visualizar los efectos de esta sobre las 
ondas que se propagan por las líneas. Para observar lo 
anterior, se presentan, en la figura 8, los resultados de 
las simulaciones de un transitorio con la impedancia de 
fuente de 1 µΩ de resistencia y una inductancia de 20 
mH. Con la misma carga capacitivade 100 nF, esto con 
el fin de comparar los resultados con los presentados en 
la figura 7a. 
 
 
 
 
 
 
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3º Congreso Internacional en Innovación y Desarrollo Tecnológico, 
28 al 30 de septiembre 2005, Cuernavaca, Mor., México 
 
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
 t (m s )
 V m
 B e rg e ro n ( lín e a c o n tin u a )
 L a p la c e (l ín e a p u n te a d a ) 
 
 
 
 
 
 
 
a) 10 ohms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) 100 ohms. 
Figura No. 7 Comparación para diferentes valores de la 
resistencia interna de la fuente. 
En la figura 8 se puede apreciar el 
defasamiento de la onda de voltaje, debido al efecto 
inductivo de la impedancia de la fuente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura No. 8 Transitorio para impedancia de la fuente inductiva 
de 20 milihenrios. 
Conclusiones. Se ha presentado el método para 
simular y analizar transitorios electromagnéticos en 
redes eléctricas, con modelos de elementos tipo EMTP, 
que contienen elementos lineales con parámetros 
concentrados, resistencias, inductancias y capacitancias, 
o parámetros distribuidos, línea monofásica ideal, 
modelada por esquemas basados en el Método de 
Bergeron, de forma que se pone de relieve mediante los 
resultados obtenidos la importancia de dichos 
esquemas, en lo que respecta a la precisión y rapidez de 
computo. Se optó por parámetros sin dependencia de la 
frecuencia ya que las líneas con parámetros constantes 
para fines prácticos son ampliamente utilizadas 
obteniéndose resultados con una precisión aceptable 
[2]. Los resultados de las simulaciones en el dominio 
del tiempo se validan mediante el Método de la 
Transformada Numérica de Laplace. Se resaltan varias 
cualidades de la red simulada en el ejemplo numérico, 
con la finalidad de hacer notar la utilidad de los 
algoritmos utilizados en el método desarrollado. 
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
1 .4
1 .6
1 .8
2
 t (m s )
 V m B e rg e ro n ( lín e a c o n tin u a )
 L a p la c e (l ín e a p u n te a d a )
 
Trabajos futuros. Aunque este trabajo se aboca a la 
representación de elementos lineales, sin dependencia 
de la frecuencia, el método aquí presentado se puede 
expandir a redes que contengan elementos no lineales, 
semiconductores, por ejemplo, y a elementos que 
tengan dependencia de la frecuencia, transistores, líneas 
de transmisión etc., de forma que la gama de 
posibilidades de representación de sistemas físicos 
reales puede extenderse a conveniencia del modelador, 
analista o simulador de redes. En el presente trabajo se 
consideró la línea de transmisión monofásica, pero 
muchos sistemas reales tienen sistemas 
multiconductores con acoplamientos entre fases; 
además, para la simulación de algunos fenómenos como 
el flameo inverso, se tiene que las torres de transmisión 
se pueden modelar como líneas no homogéneas, ya que 
sus parámetros varían con la longitud. Para esto el 
Método de Bergeron puede utilizarse con la 
consideración de que cada tramo de la torre puede ser 
modelado como una gran cantidad de líneas pequeñas 
con parámetros diferentes en cada una de ellas. Así se 
obtiene una torre modelada por medio de líneas de 
transmisión acopladas; cada una de las cuales tiene sus 
propias características, acordes con lo utilizado por 
diversos métodos en el tratamiento de dicho problema. 
De esta manera se obtiene la variación de los 
parámetros a lo largo de la longitud de la torre. Además 
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
 t (m s )
 V m
 Im p e d a n c ia d e f u e n te in d u c tiv a (l ín e a c o n t in u a )
 Im p e d a n c ia d e f u e n te re s is t iv a (l ín e a p u n te a d a )
 
3º Congreso Internacional en Innovación y Desarrollo Tecnológico, 
28 al 30 de septiembre 2005, Cuernavaca, Mor., México 
 
es deseable aplicar la teoría de las matrices 
idempotentes para el caso de la línea con parámetros 
dependientes de la frecuencia, tanto para la línea 
uniforme como para la no uniforme [13]. Es importante 
señalar que si se modela la línea por el Método de 
Bergeron con discretización a lo largo de la longitud, se 
tiene oportunidad de incluir elementos no lineales en la 
misma, tales como el efecto corona; o bien extender el 
método desarrollado en este trabajo a los análisis de 
cables subterráneos y submarinos. Para modelar los 
parámetros geométricos y eléctricos de la línea así 
como la función de propagación o función de peso, 
considerando tanto al conductor como la tierra, como 
medios conductores no ideales, es decir, tomando en 
cuenta la dependencia de la frecuencia en éstos. Para 
esto, en las líneas polifásicas solo se prosigue a 
sintetizar cada uno de los elementos de las matrices Yc 
y de A y aplicar los algoritmos de convolución 
recursiva a los esquemas [11,13]. 
Bibliografía. 
[1] Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku, 
“Circuitos Eléctricos”, McGraw Hill, México 2002, p 
911-937. 
[2] Robert L. Boylestad, “Introducción al Análisis de 
Circuitos”, Pearson-Prentice Hall, Décima Edición, 
México 2004, p 1193-1194. 
[3] Hermann W. Dommel, “Digital Computer Solution of 
Electromagnetic Transients in Single and Multiphase 
Networks”, IEEE Trans. Power Apparatus and 
Systems, vol PAS-88, pp 388-399, April 1969. 
[4] Hermann W. Dommel, “Electromagnetic Transients 
Program Reference Manual (EMTP Theory Book)”, 
Bonneville Power Administration, Portland Oregon, 
U.S.A. August 1986. 
[5] Nakamura, Shoichiro, “Análisis Numérico y 
Visualización Gráfica con MATLAB”, Prentice Hall, 
Primera Edición, 1997, p 325-387. 
[6] L. Bergeron, “Du Coup de Belier en Hydraulique au 
Coup de Froude en Electricité”. Paris: Donod, 1949. 
Transl. “Water Hammer in Hydraulics and Wave 
Surges in Electricity”. (Translating Committee 
Sponsored by ASME). New York: Wiley, 1961. 
[7] Richard Becker, “Electromagnetic Fields and 
Interactions”, Volume I, Dover Publications Inc., New 
York 1964, pages 228-266. 
[8] Daniel A. Marcus, “Ecuaciones Diferenciales”, 
Compañía Editorial Continental S. A. De C. V., 
México 1993, páginas 590-591. 
[9] A. Budner, “Introduction of Frequency-Dependence 
Line Parameters into an Electromagnetic Transients 
Program”, IEEE Trans. Power Apparatus and 
Systems, vol PAS-89, pp 88-97, January 1970. 
[10] José R. Martí, “Accurate Modelling of Frequency-
Dependent Transmission Lines in Electromagnetic 
Transient Simulations”, IEEE Trans. Power Apparatus 
and Systems, vol PAS-101, No.1, pp 147-157,January 
1982. 
[11] José R. Martí, “The Problem Frequency Dependence 
in Transmission Lines Modelling”, Doctoral 
Dissertation, The University of British Columbia, 
Canada, pp 75-92, April 1981. 
[12] J. K. Snelson “Propagation of Travelling Waves on 
Transmission Lines Frequency Dependence 
Parameters”, IEEE Trans., PAS-91, pp 85-91, 
January/February 1972. 
[13] Camilo Narvaez Pérez “Modelos de ondas viajeras 
para el análisis de transitorios electromagnéticos en 
líneas de transmisión”, Tesis de maestría, 
CINVESTAV, Unidad Guadalajara, p 6-17, Febrero 
2001. 
[14] M. E. Van Valkenburg, “Análisis de Redes”, Editorial 
Limusa, México 1986, páginas 92-95. 
Camilo Narvaez Pérez nació el 7 de 
febrero de 1971 en Guadalajara Jalisco; 
egresado de la Universidad de 
Guadalajara como ingeniero mecánico 
electricista (1992-1997), obtuvo su grado 
de la maestría en ingeniería eléctrica en el 
CINVESTAV Unidad Guadalajara (1998-
2000) y actualmente labora como analista 
en el Centro Nacional de Control de 
Energía, CENACE, Área de control 
Occidental, CFE y además es profesor de 
ingeniería en electrónica y computación 
de la Universidad del Valle de Atemajac, 
UNIVA, Campus Guadalajara. Su área de 
interés es sobre los transitorios 
electromagnéticos y la generación 
alternativa de energía eléctrica (MHD y 
solar, principalmente). 
CENACE, Centro Nacional de Control de Energía Área 
de Control Occidental, CFE. Vicente Guerrero1234, Colonia 
Agua Blanca Ind. C.P. 45235, Zapopan, Jalisco, México. 
camilo.narvaes@cfe.gob.mx. 
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