Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (92)

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=, ( x < OA = V ( 0 < x < 2 a 2 = 5)v
=» | X = - Í I V ( X E 0 ) V X =
Xi = - | V Xí = I X, + X; = 2
24. Si A es el conjunto solución de la siguiente inecua­
ción: < - X . hallar A,- X - 3x 
- 4 + 3x
Resolución:
- x ^ - 3 x 
- 4 + 3x
- x ^ - 3 x 
- 4 + 3x
x(x + 3)
< - X
> 0 a - x > O a
- x ^ - 3 x 
- 4 + 3x
< O A X < O A > - X '
<x^
3 x - 4 ” ‘ ■ 3 x -4
=» (x< o A x + 3<0 ) A x̂ + 3x< - x (̂3x - 4) 
=. (X < O A X < -3) A 3x̂ + 5x+ 3 > O 
® (x < -3) A (X e IR, pues A < 0)
= » x < - 3 V x = 0 
CS = <-co; -3 ] u {0}
25. Al resolver: •> 0. se obtiene
V̂x̂ - 2 ®7jT+6
(a; b) u (c; d), Determinar: a + b + c + d
Resolución:
, > 0
Vx^ - 2 ® / x T 6
^ x' - 2 > O A > O
®/xT 6
« (x + /2)(x - /2) > O A ^ > 0
Pues: V n e IN: a a '̂’- ’■/a son del mismo signo.
( x < -■ ¡2 V X > / 2 ) A x - 4 < Ox + 6
« (x < - 72 V X > -/2) A ( - 6 < X < 4)
» (x<- /2 A - 6 < x<4 ) V (x>/2 A - 6<x <4 ) 
=» ( - 6 < x < - / 2 ) V (/2 < X < 4)
^ xe (-6 :-./2 > u (/2; 4)
Luego: a = -6; b = - /2
c = / 2 ; d = 4 a + b + c + d = -2
26. Al resolver la inecuación:
Vx + 1 + V2 - X > -6, s© obtiene como conjunto 
solución al intervalo [a; b]. Hallar ab.
Resolución:
Vx+ 1 + V2-X > -6 
* x + 1 > 0 a 2 - x > 0 a 
Vx + 1 + V2 - x
> O - 6 (la desigualdad se satisface)
= , x + 1 > 0 A 2 - x > 0 
= * x > - 1 a x < 2 = » - 1 < x < 2 
Luego: CS = [-1; 2] - [a; b]
=» a = -1 A b = 2 ab= - 2
27. Al resolver la inecuación:
Vx^ - 3x̂ + 5x - 6 > x - 2, se obtiene por conjun­
to solución (-co; a) u (b; +co). Hallar ab.
Resolución:
Tenga en cuenta que:
V nelN: a > b«a ' " ■’ > b^""’
Vx^-3x^ + 5 x - 6 > x - 2 
= x ' - 3x̂ + 5x - 6 > ( X - 2)'
=» x̂ - 3x̂ + 5x - 6 > x̂ - 6x̂ + 12x - 8 
® 3x̂ - 7x + 2 > O 
=» (3x - 1 )(x - 2) > O
1 2
3
=> X E co; ^ u (2; +cti)
1 9Luego: a = a b = 2 ab = -|O o
28 . Determinar el conjunto por extensión:
A = {x e E/(=‘/ 2̂ ) ( ' y i r r í ) ( 'V - 9) > 0)
Si: A = (a; b) u <c; d), hallar: a + b + c + d 
Resolución:
A = {x e E/ (^ /2 ^ )(^ '/ jrn )C V - 9 ) > o}
A = {x G IR/(2 - x)(x + 1)(x̂ - 9) > 0}
=» (x - 2)(x + 1)(x + 3)(x - 3) < O
+
H h
-3 - 1
x e ( - 3 ; - 1 ) u (2; 3)
« A= (-3 ; -1 ) u (2; 3)
Luego: a = -3; b = - l A c = 2; d = 3 
a + b + c + d = 1
29. Si x e E, en m <
hallar: 11m + n 
Resolución;
m <
x ̂- 5x + 9
< n
< n
m <
x - 5x + 9
X ^ X -----------------
x‘‘ - 5x + 9 X - 5x + 9
< n
O < - mx‘ + (5m + 1)x - 9m ^ 
~ x̂ - 5x + 9
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- nx̂ + (5n + 1)x - 9n ^ ^ 
- 5x + 9
O < [mx ̂+ (5m + 1)x - 9m ](x̂ - 5x+ 9) a
[-nx^ + (5n + 1)x - 9n](x ̂- 5x + 9) < O 
Análisis del trinomio: x̂ - 5x + 9, es positivo v x e HL 
Discriminante: A = (-5)^ - 4(9) < O 
Luego, en (I): O < -mx^ + (5m + 1)x - 9m 
V X e IR siempre es positivo o cero.
=> (5m + 1)^- 4(-m)(-9m) < O 
-11m^ + 10m + 1 < O
11m̂ •“ 10m - 1 > O =» (11m + 1)(m - 1) > O
1=* m á u m > 1
Luego, en (II): -nx^ + (5n + 1)x - 9n < O 
nx̂ - (5n + 1 )x + 9n > O 
V X G IR siempre es positivo o cero.
« [-(5n + 1)]̂ - 4n(9n) < O 
-11n^ + 10n + 1 < O
11n" - 10n - 1 > O « (11n + 1)(n - 1)> O
1=> n < - u n > 1
Finalmente de (I) a (II): 
11m < -1
1
11m
11n> 11 
n > 1
Iim + n e (-oo; -
11m + n > 12 
12 u [12; +oo)
30. Si a y b son dos números positivos, siendo a > 
b. Indicar dónde está el error de la siguiente se­
cuencia:
ab > b̂ ...I
-a^ + ab > b̂ -
a(b - a) > (b - a)(b + a) ...III
a > b + a ...IV
0 > b ...V
Resotución:
El error se encuentra en el paso (IV), puesto que 
(b - a) es negativo. En el enunciado se dijo que 
(a > b) y como se ha dividido los dos miembros de 
la desigualdad entre un número negativo, el senti­
do de la desigualdad ha debido invertirse.
31. Hallar el intervalo en el cual debe estar comprendi­
do el valor de n para que la inecuación:
3(2n + 1)x̂ - 2(4n + 5)x + 5n + 9
5x ̂- 6x + 5
< n + 2
Se verifica que para todo valor de x.
Resolución:
Propiedad:
Sea: ax̂ 4- bx + c, con a > 0:
A<0»ax^-Hbx + c>0 , V x e E
Luego, como 5x̂ - 6x -i- 5 > O, v x e E. entonces:
3(2n + 1)x' - 2(4n + 5)x + 5n + 9 <
(n + 2)(5x* - 6x 5) 
(n - 7)x̂ + (2n - 2)x - 1 < O 
(7 - n)x^ + 2(n - 1)x + 1 > O 
Como se debe verificar v x e E 
a > O A A < O
7 - n > 0 A 4(n - 1)^-4(7 - n) < O 
n < 7 A n ^ - n - 6 < 0 
n < 7 A - 2 < n < 3 
- 2 < n < 3
32. Resolver x̂ + 3x ̂+ 3x + 1
x" - 3x ̂-I- 3x - 1 
Resolución:
x̂ + 3x ̂+ 3x + 1
< O
x̂ - 3x ̂+ 3x - 1 
x e ( - 1 ; 1 )
< O (x+1)^
( x ~ l f
< O x+1 < O
33. Si A es el conjunto solución de la inecuación:
(V-2x - 3x')(x - 3) (̂2x - 2) ^ ^ 
(x-1)^Vx^ + 2xJ[-x|
hallar A.
Resolución:
X = 3 V {-2x -3x^ > O A X 0; 1 A
2“J -2 x -3 x^ (x -3 )* 1
(x-1)^J| -xi (x ̂+ 2x)]
>0
X = 3 V {3x ̂+ 2 x < Oa x ^ O; 1 a 1
x(x^ + 2)
0}
<0}
X = 3 V < x < 0 A x ? f e 0 ; l A x < 0 }
«3
X = 3 V < X < O A =
34. Calcular el menor valor k € E. tal que:
2x ̂- 3x + 4 > k, V X G E
Resolución:
2x" - 3x + 4 > k
2Íx^ - | x + > k - 4 + 1 ^ 2fx - > k -
v x e E ; 2 Í x - | ) >0 K - ^ < 0 =» k< ^
Knáx —23
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35. Sean A y B dos conjuntos definidos por 
A = {X E m / |x - 2| - Ix + 3| = 4}
B = { x e E / | x l + |3~xj = 3}
Demostrar: 3 x g A , 3 y e B / x + y = 0
Resolución:
Con A: |x - 2| = 4 + |x + 3|
Usando: |x| = a = x = a v x = -a 
Se tiene:
X - 2 = 4 + |x + 3| V X - 2 = -4 - |x + 3|
=■ |x + 3| = X - 6 V |x + 31 = -X - 2
{ x - 6 > 0 A ( x + 3 = x - 6 V x + 3 = 6 - x ) } 
V { - X - 2 > 0 ^ ( x + 3 = - x - 2 V x + 3 = x + 2) )
=> {x > 6 A (x e 0 V x = •!)} V {x < -2 A
(X - - | V XG0)}
= {x>6 A X = | } V {x< -2 A x - - | }
(xeo} A {x= 2
Con B: |x| + 13 - x| = 13| = | x + 3 - x|
Pero: la + b| = |a| + |b| « ab > O 
=» x { 3 - x) > O =» x ( x - 3) < O 
= x G [0: 3]
Luego: A = | - | j A B = [0: 3]
De donde: para x = - - | G A A y = ^ G B 
^ x + y = 0
3xeA, 3 y e B / x + y = 0
36. Si T es un conjunto definido por
T = {X e IR / | | |x ' + 4 | + 4 x | - | |x ' + 4 | - 4 x || > 32}, 
entonces eí conjunto T ,̂ es;
Resolución;
T = {X G E / Il|x̂ + 4| + 4x| - ||x̂ + 4| - 4x|| > 32} 
De la inecuación;
||x^ + 4 + 4 x | - |x^ + 4 - 4 x || > 32 
> 0 > 0 . VXGE
^ |x^ + 4 + 4 x - x^ - 4 + 4 x | > 32 
^ |8x | > 3 2 = lx| > 4
= x > 4 v x < - 4 = > x e ( - c c ; - 4 ] u (4; + oc)
=» T = ( - o c ; - 4 ] u [4 ; +oc)
T " - ( - 4 ; 4 )
37. En la siguiente ecuación jx + 31 - jx - H = x + 1 
Si M es el número de ralees positivas y N es el 
número de ralees negativas, hallar la relación co­
rrecta entre los valores de M y N.
Resolución:
|x + 3| - |x - 1| = X + 1 
Analizando por intervalos:
S í x ' " - 3 ^ x + 3 < ' 0 a x - i < o 
Luego: x - ^ - 3 a - x - 3 + x - 1 = x + 1 
= » x < - 3 a x = - 4 = » x = - 4 
Para -3 < X < 1: X + 3> O a x - 1 < 0 
Luego: - S ^ x -í ' I a x + 3 + x - 1 = x + 1
= > - 3 < x < 1 A x = - 1 = > x = - 1 
Para x>1: x + 3 > O a x - 1 > 0 
Luego: x>1 a x + 3 - ( x - 1 ) = x+1 
=»x>1 A x = 3=>x = 3 
Con esto; M = 1 a N = 2 
.. = 5
38. Si M es un conjunto definido por:
M = {x G IR / > 2 ^ lx(x + 1)! < |x + 4|},
| x | - 3 
hallar el conjunto M.
Resolución:
De la proposición, resolviendo cada inecuación, se 
tiene:
> 2 = |x| - 3 > O A x̂ > 2(|x| - 3)
| x | - 3
=> |x| > 3 A x̂ - 2|x| + 6 > O 
^ | x |>3 A ( |x l -1 ) ' + 5 > 0 
=» |x| > 3 A X e E => |x| > 3 
= » x > 3 v x < - 3 
|x(x + 1)1 < |x + 4| => |x̂ + x| < |x + 4|
|a| < |b| ^ (a + b)(a - b) < O
=> (x̂ + 2x + 4)(x ̂- 4) < O 
=> x̂ - 4 < O, pues: x̂ + 2x + 4 > O
^ (X + 2)(x - 2 ) < 0 = » - 2 < x < 2 
Luego: 
x̂
!x | - 3
> 2 =» |x(x + 1)1 < |x + 4|
= ( X > 3 V X < - 3 ) => (-2 < X < 2)
= ~ ( X > 3 V x < -3) V (-2 < X < 2) 
= - 3 < x < 3 v - 2 < x < 2 
= - 3 < x < 3 •- M = [-3;3)
>2), significa que la reladón > no seObs.:-
, ] x | - 3 
debe satisfacer, es decir: < 2 V Ixj - 3 = O
39. S( A es un conjuntodefinido por;
A = {x G E / ||x̂ - 11 - x I = x}. hallar la suma de 
los elementos del conjunto A.
Resolución;
A = {x G E/ llx ̂- 1 i - x| = x}
De la ecuación;
x > O A {jx^ - 11 - X = X V - 11 - X = - X
= x > 0 A O x " - 1| = 2 x A | x ' - 1 | = 0 } 
= » x > 0 a { x ^ - 1 = 2 x a x ^ - 1 = - 2 x V x^ - 1 = 0} 
=> X > O A {x^ - 2 x = 1 V x^ + 2 x = 1 V x ^ - 1 = 0 } 
=• X > O A {(x - 1)^ = 2 V (X + 1)^ = 2 V x^ - 1 = 0} 
Resolviendo cada ecuación: 
x > 0 a { ( x = 1 + ^ v x = 1 - ^ ) v 
(x = - 1 + V2 v x = - 1 - - / 2 ) v ( x = 1 v x - 1 ) } 
xefO ;+oo) A x e {1 + < /2 ;1 -V 2 ;-1 + / 2 ; - 1 - ' / 2 ; 1 ; - 1 } 
x e [0 ;+ o o ) n {1 + / 2 ; 1 - / 2 ; - 1 + / 2 ; - 1 - -Z ^ ; ! ; - ! }
=» xe{1 + /2 ; - 1 + V2; 1}
La suma es: 2 /2 + 1
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40. Si M es un conjunto definido por:
M = {y e E / y = |2x | + | - x | + |x - 2| + |x + 10| A 
-10 < X < -2} = (a; b),
hallar el valor de; (b - a)
Resolución:
M = { y e I R / y = |2x | + | - x | + |x - 2 | + |x + 10| a
-10 < X < -2}
y = 2|x| + |x| + |x - 2| + |x + 10|
=> y = 3 |x | + 2 - X + X + 1 0 
^ y = 3 |x | + 12 a - 1 0 < X < - 2 
Luego: - 1 0 < x < - 2 ^ 2 < |x l < 10 
6 < |x| + 4 < 14 = 18 < 3 |x | + 12 < 42
^ 18 < y < 42 
M = {18; 42) = (a; b) 
b - a = 24
a = 18 A b = 42
41. Al resolver la siguiente inecuación:
V6 - 715 - x > Vi - X , obtener su conjunto solu­
ción:
Resolución:
^ - V l 5 - x > - /T ^
1 5 - x > 0 A 6 - V15 - X > 0 a 1 - x > 0 a
6 - V 1 5 - X > 1 - x 
=> x < 15 a V15 - X < 6 a x < 1 a 5 + x > 715 - x 
= ( x < 1 5 A x < 1 ) A 1 5 - x < 3 6 A 5 + x > 0 a 
2 5 + l O x + x ' > 15 - X 
=. (X < 1 A X > - 2 1 A X > - 5 ) A + 11x + 1 0 > O 
^ - 5 < x < 1 A ( x < - 1 0 v x > - 1 )
= ( - 5 < x < 1 A X < - 1 0 ) v ( - 5 < X < 1 A x > - 1 ) 
= > x e 0 V - 1 < x < 1 , - . x € ( - 1 ; 1 ]
42 . Al resolver; ^15 - Ix I < I x I - 7, se obtiene:
[a: b] u [c; d]. Calcular: |ai + |b| + {c| + |d|
Resolución:
/ l 5 - | x | < V | x | - 7
=> 15 - |x| > O A |x| - 7 > O A 15 - |x| < |x| - 7 
^ |x| < 15 A |xl > 7 A |x| > 11 
^ 11 < |x| < 15
=> -15 < X < -11 V 11 < X < 15 
Luego: CS = [-15; -11] u [11; 15]
|a| + |b| + |c| + |dj = 52
43. Si V X G [a; b] u {c}: 2|3 + 5x - 8x̂ | < 1 - x, 
calcular |a| + |b| + |c|
Resolución:
2|3 + 5x -- 8x'| < 1 - X 
=> |16x̂ - lOx - 6| < 1 - X ,
> O
= 1 - X > O A |16x" - lOx - 6| < 11 - x|
Usando: [al < |bl « (a + b)(a - b} < O 
1 - x > O A (16x ̂- 11x - 5)(16x ̂- 9x - 7) < O 
X < 1 A (16x + 5)(16x + 7 )(x- 1)^<0
X < 1 A { X = 1 V
l _
16' u{1>
L u e g o : a = - ^ ; b = - A ; c = 1
44. Resolver;
a| + |b| + |c| = 7/4
' x - 3 j - | x - 4 | / x T l -
+ | x - 4 | + | x - 3 |
Dar la suma de todos los valores enteros que
verifican.
Resolución:
| x - 3 | - | x - 4 [ “Vx + Í - V j ^ ^ 
Vx - 2 + Vx + 1 " " ¡X -4 I + IX -3 I
+ +
Note que: x - 2 > 0 A x + 1 > 0 
= » x > 2 a x > - 1 =» x > 2 
Luego, la inecuación queda así:
(x - 3 ) ' - (X - 4)^ < V x T T - 
=» (2 x - 7 ) ( 1 ) < 3 ^ x < 5 
Con esto: x > 2 a x < 5 
= 2 < x < 5
Los enteros son: 2 ; 3 ; 4 ; 5 y suman 14.
4 5 . Resolver x + 1
x + 2 x̂ + 4x + 4
Resolución:
1 x +
| x + 2 | | x + 2 j | x + 2 [
== x # - 2 A |x + 2| < | x + 1|
«• X - 2 A (2 x + 3 )(1 ) < O 
=» X / - 2 A x < - 3 / 2 
x e { - 3 ; - 3 / 2 ) - { - 2 }
4 6 . Al hallar el conjunto solución de la siguiente 
inecuación; ^ )3 - j x ^ - 6T|(x ̂- 4 x + 3 ) < O, se 
obtiene (a; b) - {Vb}, hallar ab.
Resolución:
V | 3 - [ x ^ - 6 | | ( x - 1 )(x - 3 ) < O
|3 - |x̂ - 8 || > O A (X - 1 )(x - 3) < O 
= » 3 - | x ^ - 6 | ? í : 0 a 1 < x < 3 
=* (x̂ 9 A x̂ 3) A 1 < X < 3
s » X 7 ^ 3 A X ? t - 3 A X # V 3 A X # - V 3 A l < x < 3 
= xe(1 ;3) - {V3}
Luego; a = 1 a b = 3 ab = 3
47. Resolver Vj x - 5 1 < /2x 
Resolución:
V|x-5| <
2x - 1 > O A |x - 51 < 2x - 1
1 a ( x - 5 < 2 x - 1 a x - 5 > 1 - 2 x )
X > ^ A ( -4 < X A X > 2)
=» x> ^ A (X > 2) X > 2
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